清华大学-杨虎-应用数理统计课后习题参考答案

习题一

1设总体X的样本容量〃=5,写出在下列4种情况下样本的联合概率分布.

1)X~2)X~P(2)；

3)X4)X~

解设总体的样本为X],X2,X3,X4,X,,

1)对总体X~3(1,〃)，

P(X]=%,X?=/，X3~x3,X4=x4,X5=毛)

=立P氏=须)=立武(1-。尸

/=11=1

=/严(1-〃严田

其中：无二。£七

3/=1

2)对总体X〜，(/1)

P(X[=X],X?=X2,X3—工3'Xq=x4,X5=毛)

坨P(Xj")年彳T

/=1i=lAi-

产血

=--e

口中

/=1

其中：工=(£七

□J=l

3)对总体X〜。(外))

51

a<x.

—，…㈤=口3Trr。—一a,

"0,其他

4)对总体X~N(〃,1)

5513一〃1=(21户exp/-；之(西

/(%，…，毛)二口/(七)二

z=i/=172兀\/1=1

2为了研究玻璃产品在集装箱托运过程中的损坏情况，现随机抽取20个集装箱检查其

产品损坏的件数，记录结果为：1,I,I,I,2,(),0,1,3,1,0,0,2,4,0,3,I,

4,0,2,写出样本频率分布、经验分布函数并画出图形.

解设«:0』,2,3,4)代表各箱检查中抽到的产品损坏件数，由题意可统计出如下的样

本频率分布表1.1：

表1.1频率分布表

i01234

个数67322

A0.30.350.150.10.1

经验分布函数的定义式为:

0,为</)

l,x2%

据此得出样本分布函数:

o,x<0

0.3,0<x<\

0.65,\<x<2

().8,2<x<3

0.9,3<x<4

1,x>4

0.9

0.82

0.6

0.5

0.2

0

024

图1.1经验分布函数

3某地区测量了95位男性成年人身高，得数据（单位：cm）如下:

组下限165167169171173175177

组上限167169171173175177179

人数310212322115

试画出身高直方图,它是否近似服从某个正态分布密度函数的图形.

解

数据直方图

图1.2数据宜方图

它近似服从均值为172,方差为5.64的正态分布，即N（172,5.64）.

4设总体X的方差为4,均值为〃，现抽取容量为100的样本，试确定常数女，使得

满足P（户一“〈幻=0.9.

X-N

解p(匿-=p<5k

/4/100

=?（一5攵＜5（又一〃）＜5女）

因女较大，由中心极限定理，/2〜N（0,l）：

“100

P(R<A)Q中(5%)—①(一5%)

二。（56一（1一①（5幻）

二2①（5左）一1=0.9

所以：6(52)=0.95

查表得：5%=1.65,.•.攵=0.33

5从总体X~7V(52,6.32)中抽取容量为36的样本，求样本均值落在50.8到53.8之间

的概率.

_5?

一1.1429<1一<1.7143

V,V6.32/36'')

Y_co

・,・♦='~N(0,l)

V6.32/36

厂.尸(50.8<X<53.8)=P(-1J429vUv1.7143)

=0(1.7143)-0(-1.1429)

=0.9564-(1-0.8729)

=0.8293

6从总体X~N(20,3)中分别抽取容量为10与15的两个独立的样本，求它们的均值之

差的绝对值大于0.3的概率.

解设两个独立的样本分别为：X，，x。与匕，L，其对应的样本均值为：又和「.

由题意知：》和「相互独立，且：

_3-3

G~N(20,—)，F~N(20,—)

1015

p(\x-F|>o.3)=I-P(|X-r|<o,3)

=1-P(曰

5/05

・・・N—F〜N(0,0.5)

V-Y

-j—~N(0,1)

V0.5

P(|X-F|>03)=2-26(0.4243)=0.6744

7设%,产附是总体乂~"(0,4)的样本，试确定C,使得尸(£x：>C)=0.05.

解因X「N(O,4),则Z~N(0,l),且各样本相互独立，则有:

\2

10

工与-r(io)

I2

t1w

2z2c

所XX

乩>-->-

».44

/=ll=i

rz1t、

2c

尸X

-<

I4i4-

k,

l=l

z

rItc

p<

-\2--=0.95

l44

x

»=l

查卡方分位数表:c/4=18.31»则c=73.24.

8设总体X具有连续的分布函数氏“)，X|,…,X”是来自总体X的样木，且

EX/",定义随机变量：

1,Xj>〃

,/=1,2,

[0，X,<〃

试确定统计量£匕的分布.

/=|

解由已知条件得：毛~8(1,〃)，其中〃二1-&(4).

因为X,互相独立，所以工也互相独立，再根据二项分布的可加性，有

£匕~3(几〃)，〃=1—七(〃).

1=1

9设X，,X“是来自总体X的样本，试求成，。门与工假设总体的分布为:

1)X~B(N,p);2)X~P(4);3)X~U[a,勿;4)X~N(〃,1);

解1)EX=EX=Np

DQDX_Np("p)

nn

ES2=DX=Np(l-p)

2)EX=EX=A

诲=二乂

nn

ES2=DX=A

a+b

3)EX=EX

2

DX_（b-a）2

DX=

~n~~12/z

ES'=QX=（人〃）

12

EX=EX=JLI

nn

ES2=DX=\

10tx,,X”为总体X~N（〃,（T2）的样本，求

与。豆（X,—其产

_»=1

解

七［£优-町=E［（〃-1）S［=（〃T）的

=［n-\）DX=（/:-l）cr3

=D［（H-l）S2］=cr4D5-萌

。摩（X「对-p-

5-1）§2

又因为所以:喈（XL到=2（/7-l）cr4

设天,,X。来自正态总体N（o.l）,定义：==|f|，K=，力IX/,计算£乙七K.

11

〃7

解由题意知N~N（O,I/〃），令：Y=G又,则y~N（o,i）

£|y|=五七（冈）=，=｝），匕4力二7二1ye'dy

，2/Tyyj27co

E（Y）=E（|又|）=

「］“1n

E（Y2）=E-Xl\l=-ZE（|X,I）=4|X

\nr=l/〃r=l

12设%,.,X”是总体X~N（小4）的样本，区为样本均值，试问样本容量〃应分别

取多大，才能使以下各式成立：

1)E\X-/z|2<0.1；2)E\X-p|<().1;3)P(|X-//|<l)=0.95o

解1)

・・・X〜N(4,4)&W=U~N(0,1)

n*2/yln

E\X-

n\_\l/4n)_

4

=-(l+0)<0.1

所以：7?>40

2)

令.Z

笠2/6=U~N(0,1)

倒")=f同意‘"点

=

|2/日

i而

潞。1

所以：E\X-JLJ\=-

计算可得：n>225

3)

P(X-/7|<1)=P(-1<X-A<1)

=/一口之工如

122/yfn2J

2

-l>0.95

查表可得：—>«0975=1.96,n>15.36,而〃取整数，〃之16.

13设（X1,,X“）和（X，匕）是两个样本，且有关系式：r=1（X,-a）（4/均为常

b

数，8#0）,忒求两样本均值文和P■之间的关系，两样本"s和s；之间的关系.

1n1

解因：F%x,一）

哈伯x"

14设X，/5是总体乂~%（0,1）的样本.

1）试确定常数9,4，使得以乂产乂）+4。，+乂4+*!!）2~/（〃），并求出〃；

2）试确定常数C2,使得C2（X；+X；）/（X：+X,+Xj2~F（m,n）,并求出m和n.

解1）因：X1+X2~N（0,2）,X3+X4+X5~N（0,3）

v1vx+x+x

标准化得：।l2~N(O,1),二~音~^~N(O,1)且两式相互独立

V2V3

<x,+x,Y(xy+x+xY

故:(yrJ+rV345J-r（2）

可得：c.=—,d.=~,n=2

1213

2）因：X；+X；~/（2）,S4宜〜/⑴,

X,2+X；)/2

所以：一(2,1),

XM+XJ

3

/3

可得：g=一,，〃=2,”=1.

-2

15设〃（办今（,小〃）分别是Z分布和〃分布的〃分位数，求证

［心2（〃）『=6-〃（1，办

证明设仪二片”（1,0,

则：P(F<a)=\-p<^>P(-4a<4F<4a)=\-p

oP(T<4a)-P(T<-4a)=1-p

<=>2P(T<4oc)=2-p

P(T&n)=\-E

2

所以：\[a=ip(n)

I----

2

故：a=t：(〃)=1

I---

2

16设X1,X2是来自总体X~N（O,1）的一个样本，求常数c,使:

H~~r>d=o.i.

22

[(XI+X2)+(X,-X2))

ViV

解易知X+X2~N(0,2),则।'~X(0,l)；

v2

X—X

同理XI-X2~N(0,2),则/2~N(0/)

又因：aw(X1+X2，x—X2)=o,所以x+x2与x—x2相a独立.

P~~>c=P

((X+X2)2+(X「XJ27J2

(X}-X2)

l(X-—c)

=P（~1T）>--=--0.1

（号）1-c

/

所以：—=7；9(1J)=39.9

1-c

计算得：c=0.976.

17设X-X*.为总体X~N(〃，)的容量〃+1的样本，冗S?为样本

(X..X“)的样本均值和洋本方差，求证:

2)X-X^-m—a2)；

n

C、一〃一1I

3)x「X~N(0,——<).

2

解1)因：E(X,r+1-X)=0,D(Xn+-X)=—cy

n

―,〃一1c。2Z八

又：一rS~〜二(/—I)

(7

2

2)由1)可得；X-X„+1-?7(O,-o-)

n

3)因：E(X,-X)=0,£)(X-X)=—o-2

n

所以：〜N(0,4二!■/)

18设%,"为总体」~伏〃,『)的样本,G为样本均值，求〃，使得

P(|X-//1<O.25rr)>0.95.

解

•.u=2Lzg~N(o,i)

(7/yJn

_(X-

z.P(\X-ju\<0.25c)=P-0.256<<0.25«

'7Va!yjn

=2①(0.25、町-IN0.95

所以:①(0.25分核0.975

查表可得：0.25〃>“0975=196,即/?>62.

19设%,,X〃为总体X〜U也向的样本，试求：

I)X⑴的密度函数；2)X⑺的密度函数；

解因：X~U[a,例，

所以X的密度函数为：

1,一

一、；---,工£[。向

f(x)=<h-a，

0,x^[atb]

0,x<a

~、x-a」,

r(.r)=--------、a<x<n

b-a

],x>b

M

山定理：^1)(X)=W(1-F(X))-7(X)

/■)—yI

叱—y-]--”[。阳

=b-ab-a

0,x^[a,b]

几)(x)=〃/a))“T/(x)

=b—ab—a

0,x^[a,b]

20设X1,.,X$为总体X~N(12,4)的样本，试求：

1)P(X⑴<10);2)P(X<5)<15)

解

---X~N(12,4)

XT2〜N(0,1)

2

P(X(I)<10)=l-P(X(I)>10)

=i-np(x/>io)

1=1

=i-n(i-p(xl.<io))

f=l

I

=in10

=1-(1-①(-1))5

=1-①$⑴=0.5785

P(X⑸<15)=立P(X,<15)

r=l

二。

ni=\

=6（1.5）=0.9332、=0.7077

21设（X1,，乂…乂1…，X,…）为总体X~N（O,"）的一个样本，试确定下列统计量的分

布：

AM

疲X；

〃ZX：m

1)Yx=-------——;2)K=^——;3)Yy=—住Xi

maAna|1zx

，注X：\I=I

Vi.1r-m4l

m

解1)因为：ZXj~N(0,/2')

J=I

m

卜

所以:i=l~N(O,1),Z+/(〃)

y[m<y

/=m+lO

Xim+nx?

且与Z—相互独立，由抽样定理可得:

5gi=m+\b

Z，nx

G汽Xjj=l

升=————2=~，(〃)

m>n+»Im+nv

ZxiJz才n

i=m+IVi=〃什I0.

22

2)因为：—-Z(w),—YX^z(n)

bi=lOi=/n+l

1ni1tn+n

且3Zx：与占ZX；相互独立，

bo-,Xi

〃：1〃l/

这X；x；“？

所以：叫：言「"?)

m£X；—X；/力

l=W+lbl=/H4-l/

3)因为：£X「N(O,m『),£Xj~N(O,q)

f=lr=w+1

m〃1十〃

(ZXJ2(ZX,)2

所以：F,⑴,——Z2(l)

mbn(y

〃？—

(XX,)2(ZXJ2

且曰2与上％—相互独立，

m(y~ncr~

IY

rm+n~*2).

由卡方分布可加性得:

〃b\i=m-¥n>

22设总体X服从正态分布N(4,/),样本%,乂2,…,X”来自总体X,0是样本

方差，问样本容量〃取多大能满足P\(〃_*<32.67=0.95?

解由抽样分布定理：Z2(/?-1),P(^-52<32.67)=0.95,

b<y~

杳表可得：n—l=21,n=22.

23从两个正态总体中分别抽取容量为20和15的两独立的样本，设总体方差相等,

S：,S；分别为两样本方差，求”斗

解设〃尸20,%=15分别为两样本的容量，〃为总体方差，由题意,

3二粤〜八⑼，3二萼“。4)

——样本方差：Q亭…

号卜4§2

(S'

所以：P^>2.39=1-P"W2.39=1-0.95=0.05.

\S2

24设总体X抽取容量为20的样本X「X2,…,X20,求概率

(20\

手(TO

1)P10.85<-^——----<37.57:

b

(20\

Z(A>%)2

2)P11.65<-^——----<38.58

a~

解1)因工Z幺〜N(0,1),且各样本间相互独立，所以:

a

次(X,R

i=l=r-r(2o)

(7

故：P(10.85</2<37.57)=0.99-0.05=0.94

2(X/-X)19s2

2)因：上一；——二--~/(19),所以：

ba'

P^11.65<—r<38.58J=0.995-0.1=0.895.

25设总体X~N(80,b2),从中抽取一容量为25的样本，试在下列两种情况下

p(区-8q>3)的值：

1)已知。=20；

2)。未知，但已知样本标准差5=7.2674.

解1)

•.X~N(80,〃)

BN喈,磊M),需…)

叩网>3)=P［解/

(3、

=1-P\U\<-=1-2①(0.75)+1

<4/

=2-2x0.7734=0.4532

2)P(|X-8O|>3)=P

=1-P(|T|<2.064)=I-2x0.975+1=0.05

26Xp,X“设为总体的样本，取s?为样本均值和样本方差，当〃=2()

时，求：

I)P(G<4+—^―);2)p(\S2-az|<—);

3)确定C,使户(——>c)=o.9O.

解1)

,J-<1=0.8413

(T/V20

199

=P9.5<^-<28.5

其中#20=T1-9s~%2(、]9),则

<CT

=P9.5<^-<28.5

CT-

=P(9.5<72<28.5)=0.95-0.05=0.9

3)

"X-/z<V20

、S/而c、

其中，T-------T=~/(19)•则

5/V20

=0.9

所以:—=%(19)=1.328，计算得:c=3.3676

c

27设总体X的均值以与方差/存在，若X「X2,…,X”为它的一个样本，V是样本

均值，试证明对iw/,相关系数------.

n-\

--cov(X.-X,X-X)

证明r(Xj-X,X-X)=y'—

^D(X-X)^D(X.-X)

——7?1.2

D(Xi-X)=D(X.-X)=——a

n

2

Cov(Xi-X,XrX)=E(XiXj-XiX-X/X-XX)=--(y

———1

所以：MX「X,X[X)=---------.

n-l

28.设总体X~N(〃Q2),从该总体中抽取简单随机样本X1,X?,…,X2“(〃N1),X

是它的样本均值，求统计量r=t(Xj+Xi-2》)2的数学期望.

r=l

解因X~N(4,b),*|,*2「:*2”(，亚1)为该总体的简单随机样本，令

r=X,.+X„+I.,则有工~N(2〃,2b2)

可得：y=l£y=2X

n<=i

T=Z(\+"2对=2F)2=(〃-1)S；

/=l/=1

ET=(n-\)ES；=2(n-\)(y2

习题二

1设总体的分布密度为:

0<x<1

0,其它

（X1,「X”）为其样本，求参数a的矩估计量自和极大似然估计量Z.现测得样本观测值

为：0.1,0.2,0.9,0.8,0.7,0.7,求参数a的估计值.

解计算其最大似然估计：

L(a，x…=n[(a+l)¥]=(o+l)”[*

InL(a,X1...x„)=/?ln(a+1)4-a，Inx.

/=1

2-=InL(a,X)...x,?)=〃+aVlnx=0

daa+1M

-〃--=0.2112

1=1

其矩估计为:

X=1(0.1+02+0.9+0.8+0.7+0.7)=^

L工a+2=卫•上空=

EX=\(a+\]xa+idx=(a+1)——=X^=0.3077

Ja+20a+2X-l

一八”2X.।n

所以：%二-^-7，12二-1+~------，

XTZlnX,

\i=l7

d,«0.3077,cz2«0.2112

2设总体X服从区间血上的均匀分布，即X~U[0.例，（X/,X“）为其样本，

1）求参数夕的矩估计量a和极大似然估计量。：

2）现测得一组样本观测值：1.3,0.6,1.7,2.2,0.3,1.1,试分别用矩法和极大似然法求总

体均值、总体方差的估计值.

解1）矩估计量：

EX=^，-=X一,八a=2X-=2.4

21

最大似然估计量：

〃11

InL(。,％...x„)=--^=0

无解.此时，依定义可得：0.=max

•ISiS”

2)矩法：EX=g=1.2,OX=3=0.472

极大似然估计：EX=%=1.1,OX=2=0.4033

212

3设王，…,X,,是来自总体X的样本，试分别求总体未知参数的矩估计量与极大似然估计

量.已知总体X的分布密度为:

I)/(X㈤4小‘"0.八0未知

0.xW0

2'

2)/(x;A)=—e*,x=0,1,2,,4>0未知

a<.x<>b

3)f(x;a,b)="b-a9〃<〃未知

0其它

0<0<.r<+00

4)〃x；e)=<。未知

0其它

5)f(x;a,fi)=<fi4>0，其中参数a,尸未知

0,x<a

——.V0<x<8

6)f(x;aQ=<0"',a,尸>0，其中参数万未知

0,x<a

4x1-j

7)=A>°,”0未知

0,x<,0

8)=x=2,3,,0<0<\

解1)

1_人1

矩法估计：EX=—=X,Ay

最大似然估计:

.

=，[fi

,=,

王…z)=n*"',InL(A,x,...xn)=〃ln4—4£王

i=l/=1

_£lnL=ZL_yX/=0,X=^=l

我2£之七x

J=1

2)

X〜尸⑷

矩估计：EX=A=X,^=X

最大似然估计:

A(A,X1...x?)=[]—€'=ey=y—,]nA=—nA,+nxInA,一〉:%

/=!Xi11_Xi

a__nx„--

—InZ/=—nH-----=0,4=X

dAA

3)

矩估计：EX=-,DX=^^-

212

联立方程：

6ZH-Z?_________

~~2~=\a=X-y]3M；

(——a)?=M^\b=X+，3M；

I122

最大似然估计:

顼山・・怎）="（W）=-幻

dInLn

=。,无解.，当人则：XM‘使得似然函数最大,

dab-a

依照定义，&=四2%,同理可得0=嚅七

4)

矩估计:

EX=\-dx=3\nx\^,不存在

0x

最大似然估计：

Me,%…x,：)=fi4=^n^«nL=〃In8-2^Inxi

/=!Xii=\Xi

a〃­

=lnL===O,无解；依照定义，9=X”)

ca0•

矩估计：

+QC+O0

EX=jM《-a"dx=J(a+/力=a「⑴+/3T(2)

aP0

=a+/?=X

EX2=f(a+J3t)2e~ldt=c^2r(l)+2aj3T(2)4-^2r(3)

o

=a2+2aB+2,2=(a+咛+俨=也

n

最大似然估计：

F..・％〃)=。

L(a,*3-ax.=£〃exp--L(Z7J-na)

iric1_

In£=-/?lnB----nx-----

PB

8._nd..nn_、八

葭近=济°'方返=一『炉z-"）=°’无解

依定义有：应/=X⑴，局=X—a=X—X（］）

6）

矩估计：Ex=]：xQj=：/]=M

EX2=CX2—xa-xdx=吧=M,

J。优a+1-

解方程组可得：厂〕~广

V^2府々M；

最大似然估计：

〃

（・・・）=焉口，〃

La0XZ=fl/xMblnL=lnar7aIn/?+（a_l）Z】nXj

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