陕西省石泉县高中数学 第一章 计数原理 1.1.2 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（二）教学实录 北师大版选修2-3

陕西省石泉县高中数学第一章计数原理1.1.2分类加法计数原理与分步乘法计数原理（二）教学实录北师大版选修2-3主备人备课成员设计意图本节课将重点讲解分类加法计数原理与分步乘法计数原理（二），旨在帮助学生理解并掌握计数原理的应用。通过实际例子，引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生运用计数原理解决实际问题的能力。核心素养目标1.培养学生的逻辑推理能力，通过计数原理的学习，引导学生运用数学思维解决实际问题。

2.增强学生的数学建模意识，让学生在分析问题过程中，学会将实际问题转化为数学模型。

3.提升学生的数学应用能力，通过实例教学，让学生体会到数学在生活中的广泛应用。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：

学生在进入本节课之前，已经学习了基本的数学概念和运算，如集合、排列组合等，这些知识为本节课的分类加法计数原理与分步乘法计数原理的学习奠定了基础。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：

高中学生对数学的兴趣因人而异，部分学生对计数原理这类抽象的数学概念可能感到兴趣不足。学生的学习能力方面，部分学生具备较强的逻辑思维能力，能够快速理解并应用计数原理；而部分学生可能需要更多的时间来消化和理解。学习风格上，有的学生偏好通过实例学习，有的则更倾向于理论推导。

3.学生可能遇到的困难和挑战：

学生在学习计数原理时可能遇到的困难包括对抽象概念的难以理解、无法将理论与实际应用相结合、以及在解决复杂问题时缺乏解题策略。此外，学生在面对多个步骤的计数问题时，可能会感到步骤繁琐，难以把握解题的脉络。学具准备Xxx课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学资源-多媒体教学设备：投影仪、计算机

-教学软件：数学教学软件、几何画板等

-信息化资源：网络教学平台、数学教育网站资源

-教学手段：实物教具（如骰子、卡片）、PPT演示文稿

-练习题集：配套练习册、历年高考题库教学过程一、导入新课

1.老师提问：同学们，我们已经学习了基本的计数原理，还记得吗？

2.学生回答，老师总结：是的，我们已经学习了加法原理和乘法原理，今天我们将进一步探讨分类加法计数原理与分步乘法计数原理。

二、新课讲授

1.老师讲解分类加法计数原理的定义：将一个事件分解为若干个互斥的子事件，每个子事件发生的方式数目相加，即为该事件发生的方式数目。

2.老师举例说明：例如，从三个不同的水果中选择两个水果，可以用分类加法计数原理来计算不同的选择方式。

3.学生跟随老师的讲解，理解分类加法计数原理的应用。

4.老师讲解分步乘法计数原理的定义：如果一个事件可以分解为若干个相互独立的步骤，每个步骤的方式数目相乘，即为该事件发生的方式数目。

5.老师举例说明：例如，从三个不同的水果中选择两个水果，并要求先选择一个水果再选择一个水果，可以用分步乘法计数原理来计算不同的选择方式。

6.学生跟随老师的讲解，理解分步乘法计数原理的应用。

三、巩固练习

1.老师出示练习题，学生独立完成。

2.学生展示解题过程，老师点评并纠正错误。

四、课堂讨论

1.老师提出问题：如何将分类加法计数原理与分步乘法计数原理应用于实际问题？

2.学生分组讨论，提出解决方案。

3.每组选派代表进行汇报，老师点评。

五、总结与拓展

1.老师总结本节课的重点内容：分类加法计数原理与分步乘法计数原理的定义、应用。

2.老师提出拓展问题：如何将计数原理应用于概率计算？

3.学生思考并回答，老师点评。

六、布置作业

1.老师布置课后作业，要求学生完成课本中的相关练习题。

2.学生记录作业内容，准备课后复习。

七、课堂小结

1.老师回顾本节课的学习内容，强调分类加法计数原理与分步乘法计数原理的重要性。

2.学生总结本节课所学，提出疑问或分享学习心得。

3.老师对学生的提问进行解答，鼓励学生积极参与课堂互动。

八、课后反思

1.老师反思本节课的教学效果，总结教学过程中的优点和不足。

2.老师根据学生的反馈，调整教学策略，提高教学质量。知识点梳理1.计数原理的基本概念

-计数原理是数学中研究事件发生方式数目的基本原理。

-计数原理分为加法原理和乘法原理。

2.加法原理

-加法原理：如果一个事件可以分解为若干个互斥的子事件，那么这个事件发生的方式数目等于各个子事件发生方式数目的和。

-互斥事件：指两个事件不可能同时发生。

3.乘法原理

-乘法原理：如果一个事件可以分解为若干个相互独立的步骤，那么这个事件发生的方式数目等于各个步骤发生方式数目的乘积。

-独立事件：指一个事件的发生不影响另一个事件的发生。

4.分类加法计数原理

-分类加法计数原理：将一个事件分解为若干个互斥的子事件，每个子事件发生的方式数目相加，即为该事件发生的方式数目。

-应用：在解决实际问题中，当事件可以按照不同的方式分类时，可以使用分类加法计数原理。

5.分步乘法计数原理

-分步乘法计数原理：如果一个事件可以分解为若干个相互独立的步骤，每个步骤的方式数目相乘，即为该事件发生的方式数目。

-应用：在解决实际问题中，当事件可以按照一系列步骤进行时，可以使用分步乘法计数原理。

6.计数原理的应用

-解决排列问题：通过计数原理可以计算排列的总数。

-解决组合问题：通过计数原理可以计算组合的总数。

-解决概率问题：通过计数原理可以计算事件发生的概率。

7.计数原理的拓展

-排列与组合的公式：通过计数原理可以推导出排列与组合的公式。

-概率的计算：通过计数原理可以计算概率问题中的各种情况。

8.计数原理的注意事项

-确保事件是互斥的或独立的。

-正确分解事件为子事件或步骤。

-注意计算过程中的细节，避免出错。

9.实际应用案例

-生活中的排列问题：如生日排序、座位安排等。

-生活中的组合问题：如购物选择、团队组建等。

-概率问题：如抽奖、彩票等。

10.总结

-计数原理是数学中重要的基本原理，广泛应用于解决实际问题。

-掌握计数原理的定义、应用和注意事项，有助于提高解决实际问题的能力。板书设计①计数原理基本概念

-加法原理：互斥事件发生方式数目之和

-乘法原理：独立事件发生方式数目之积

②分类加法计数原理

-定义：将事件分解为互斥子事件，相加得到总数

-公式：S=Σn_i

-n_i表示第i个子事件的发生方式数目

③分步乘法计数原理

-定义：将事件分解为独立步骤，相乘得到总数

-公式：S=Πn_j

-n_j表示第j个步骤的发生方式数目

④应用实例

-排列问题：P(n,r)=n!/(n-r)!

-组合问题：C(n,r)=n!/[r!*(n-r)!]

⑤注意事项

-确保事件互斥或独立

-正确分解事件为子事件或步骤

-计算过程中注意细节

⑥实际应用

-排列问题实例

-组合问题实例

-概率问题实例

⑦总结

-计数原理在解决实际问题中的应用

-排列与组合公式

-概率计算方法教学反思与总结今天这节课，我们学习了分类加法计数原理与分步乘法计数原理。我觉得在教学方法上，我尝试了一些新的策略，但也发现了一些可以改进的地方。

首先，我在导入部分通过提问的方式，让学生回顾了之前学过的加法原理和乘法原理，这样既复习了旧知识，也为新知识的引入做了铺垫。我发现学生们对这种互动式教学比较感兴趣，参与度也较高。

在讲解新知识时，我使用了实例来帮助学生理解。比如，我用选择水果的例子来解释分类加法计数原理，用购买礼物的步骤来解释分步乘法计数原理。这些实例贴近生活，学生们更容易理解。不过，我也注意到有些学生对于抽象的概念还是有些吃力，他们可能需要更多的实际操作来加深理解。

在教学过程中，我尽量让每个学生都有机会表达自己的想法，这样不仅能够提高他们的参与度，还能培养他们的逻辑思维和表达能力。但是，我也发现有些学生在回答问题时不够自信，这可能是因为他们对知识的掌握不够牢固。

情感态度方面，学生们对数学的兴趣似乎有所增加，他们在遇到困难时也能够更加耐心地去解决。这让我感到非常欣慰。

当然，在教学中也存在一些问题和不足。比如，我在讲解一些较难的概念时，可能没有足够的时间让学生消化吸收，导致一些学生跟不上进度。此外，我在课堂管理上还需要更加细致，以确保每个学生都能积极参与到教学中来。

针对这些问题，我计划在今后的教学中采取以下改进措施：

1.对于较难的概念，我会提前准备一些辅助材料，如视频、图表等，帮助学生更好地理解。

2.我会设计一些更具挑战性的问题，让学生在解决问题的过程中深化对知识的理解。

3.我会加强课堂管理，确保每个学生都能集中注意力，参与到课堂活动中。

4.我会更多地关注学生的个体差异，针对不同学生的学习需求，提供个性化的指导。课后拓展1.拓展内容：

-阅读材料：《离散数学》中关于计数原理的章节，特别是关于排列组合和概率论的部分。

-视频资源：在线教育平台上关于计数原理应用的讲解视频，如“计数原理在生活中的应用”系列视频。

2.拓展要求：

-鼓励学生利用课后时间阅读《离散数学》相关章节，通过阅读，学生可以更深入地理解计数原理的理论基础和应用领域。

-观看在线教育平台上的讲解视频，这些视频往往通过实例和动画形式，帮助学生更好地理解计数原理在实际问题中的应用。

-学生可以尝试自己解决一些课后练习题，这些题目通常与实际生活或数学竞赛题目有关，有助于提高学生的应用能力。

-鼓励学生之间互相讨论和交流，通过小组合作，共同解决难题，提升团队协作能力。

-教师可以定期组织讨论会，让学生分享自己的学习心得和拓展成果，这样可以激发学生的学习兴趣，同时也能让学生从他人的经验中学习。

-对于有疑问的学生，教师可以提供个别辅导，解答他们在学习过程中遇到的问题，确保每个学生都能跟上教学进度。

-学生可以尝试将计数原理应用于自己的兴趣项目或日常生活中遇到的问题，如设计游戏、解决日常生活中的优化问题等，这样可以提高学生的创新能力和实践能力。教学评价与反馈1.课堂表现：

学生们在课堂上表现积极，对于分类加法计数原理与分步乘法计数原理的理解较为迅速。大部分学生能够跟上教学进度，对基本概念和公式的掌握较为牢固。

2.小组讨论成果展示：

在小组讨论环节，学生们能够有效地合作，共同探讨问题，并提出了多种解决策略。特别是在解决复杂问题时，学生们能够运用所学知识，通过分类和分步的方法找到解决方案。

3.随堂测试：

随堂测试结果显示，学生对基本概念的理解和应用能力较好。大部分学生能够正确应用计数原理解决简单的实际问题。但在解决一些综合性问题时，部分学生仍存在一定的困难。

4.学生自评与互评：

学生们对自己的学习进行了自评，指出自己在理解抽象概念和运用公式解决复杂问题方面的不足。同时，他们也进行了互评，互相指出在讨论和表达上的优点和需要改进的地方。

5.教师评价与反馈：

针对课堂表现，教师评价如下：

-针对课堂参与度：学生们普遍能够积极参与课堂讨论，但有个别学生参与度不高，需要进一步鼓励和引导。

-针对知识掌握：大部分学生对基本概念和公式掌握较好，但在实际应用中，部分学生仍需加强练习。

-针对问题解决能力：学生们在解决简单问题时表现良好，但在面对复杂问题时，需要进一步提高分