2024年四川省资阳市中考数学试卷【含解析】

第1页（共1页）2024年四川省资阳市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）3的相反数为（）A．﹣3 B． C． D．32．（4分）下列计算正确的是（）A．a3+a2＝a5 B．a3﹣a2＝a C．（a2）3＝a5 D．a5÷a2＝a33．（4分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（）A．长方体 B．棱锥 C．圆锥 D．球体4．（4分）6名学生一周做家务的天数依次为4，4，5，7，7，7，这组数据的中位数和众数分别为（）A．5，4 B．6，5 C．6，7 D．7，75．（4分）在平面直角坐标系中，将点（﹣2，1）沿y轴向上平移1个单位后，得到的点的坐标为（）A．（﹣2，0） B．（﹣2，2） C．（﹣3，1） D．（﹣1，1）6．（4分）如图，AB∥CD，过点D作DE⊥AC于点E．若∠D＝50°，则∠A的度数为（）A．130° B．140° C．150° D．160°7．（4分）已知一个多边形的每个外角都等于60°，则该多边形的边数是（）A．4 B．5 C．6 D．78．（4分）若m，则整数m的值为（）A．2 B．3 C．4 D．59．（4分）第14届国际数学教育大会（ICME﹣14）会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若EF：AH＝1：3，则sin∠ABE＝（）A． B． C． D．10．（4分）已知二次函数yx2+bx与yx2﹣bx的图象均过点A（4，0）和坐标原点O，这两个函数在0≤x≤4时形成的封闭图象如图所示，P为线段OA的中点，过点P且与x轴不重合的直线与封闭图象交于B，C两点．给出下列结论：①b＝2；②PB＝PC；③以O，A，B，C为顶点的四边形可以为正方形；④若点B的横坐标为1，点Q在y轴上（Q，B，C三点不共线），则△BCQ周长的最小值为5．其中，所有正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）11．（4分）若（a﹣1）2+|b﹣2|＝0，则ab＝．12．（4分）2024年政府工作报告提出，我国今年发展主要预期目标是：国内生产总值增长5%左右，城镇新增就业1200万人以上……将数“1200万”用科学记数法表示为．13．（4分）一个不透明的袋中装有6个白球和m个红球，这些球除颜色外无其他差别．充分搅匀后，从袋中随机取出一个球是白球的概率为，则m＝．14．（4分）小王前往距家2000米的公司参会，先以v0（米/分）的速度步行一段时间后，再改骑共享单车直达会议地点，到达时距会议开始还有14分钟，小王距家的路程S（单位：米）与距家的时间t（单位：分钟）之间的函数图象如图所示．若小王全程以v0（米/分）的速度步行，则他到达时距会议开始还有分钟．15．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2．以点A为圆心，AD长为半径作弧交AB于点E，再以AB为直径作半圆，与交于点F，则图中阴影部分的面积为．16．（4分）在△ABC中，∠A＝60°，AC＝4．若△ABC是锐角三角形，则边AB长的取值范围是．三、解答题（本大题共8个小题、共86分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（9分）先化简，再求值：（1），其中x＝3．18．（10分）我国古诗词源远流长．某校以“赏诗词之美、寻文化之根、铸民族之魂”为主题，组织学生开展了古诗词知识竞赛活动．为了解学生对古诗词的掌握情况，该校随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将成绩分为A，B，C，D四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：（1）本次共抽取了名学生的竞赛成绩，并补全条形统计图；（2）若该校共有2000人参加本次竞赛活动，估计竞赛成绩为B等级的学生人数；（3）学校在竞赛成绩为A等级中的甲、乙、丙、丁这4名学生里，随机选取2人参加经典诵读活动，用画树状图或列表法求出甲、乙两人中恰好有1人被选中的概率．19．（10分）2024年巴黎奥运会将于7月26日至8月11日举行，某经销店调查发现：与吉祥物相关的A，B两款纪念品深受青少年喜爱．已知购进3个A款比购进2个B款多用120元；购进1个A款和2个B款共用200元．（1）分别求出A，B两款纪念品的进货单价；（2）该商店决定购进这两款纪念品共70个，其总费用不超过5000元，则至少应购买B款纪念品多少个？20．（10分）如图，已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y的图象相交于A（m，4），B（4，n）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）若点C（t，t）在一次函数的图象上，直线CO与反比例函数的图象在第三象限内交于点D，求点D的坐标，并写出直线CD在图中的一个特征．21．（11分）如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，点D在⊙O外，延长DC，AB相交于点E，过点D作DF⊥AB于点F，交AC于点G，DG＝DC．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为6，点F为线段OA的中点，CE＝8，求DF的长．22．（11分）如图，某海域有两灯塔A，B，其中灯塔B在灯塔A的南偏东30°方向，且A，B相距海里．一渔船在C处捕鱼，测得C处在灯塔A的北偏东30°方向、灯塔B的正北方向．（1）求B，C两处的距离；（2）该渔船从C处沿北偏东65°方向航行一段时间后，突发故障滞留于D处，并发出求救信号．此时，在灯塔B处的渔政船测得D处在北偏东27°方向，便立即以18海里/小时的速度沿BD方向航行至D处救援，求渔政船的航行时间．（注：点A，B，C，D在同一水平面内；参考数据：tan65°≈2.1，tan27°≈0.5）23．（12分）（1）【观察发现】如图1，在△ABC中，点D在边BC上．若∠BAD＝∠C，则AB2＝BD•BC，请证明；（2）【灵活运用】如图2，在△ABC中，∠BAC＝60°，点D为边BC的中点，CA＝CD＝2，点E在AB上，连接AD，DE．若∠AED＝∠CAD，求BE的长；（3）【拓展延伸】如图3，在菱形ABCD中，AB＝5，点E，F分别在边AD，CD上，∠ABC＝2∠EBF，延长AD，BF相交于点G．若BE＝4，DG＝6，求FG的长．24．（13分）已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于C点，且B（4，0），BC＝4．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P是抛物线在第一象限内的一点，连接PB，PC，过点P作PD⊥x轴于点D，交BC于点K．记△PBC，△BDK的面积分别为S1，S2，求S1﹣S2的最大值；（3）如图2，连接AC，点E为线段AC的中点，过点E作EF⊥AC交x轴于点F．抛物线上是否存在点Q，使∠QFE＝2∠OCA？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

2024年四川省资阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）3的相反数为（）A．﹣3 B． C． D．3【解答】解：3的相反数是﹣3．故选：A．2．（4分）下列计算正确的是（）A．a3+a2＝a5 B．a3﹣a2＝a C．（a2）3＝a5 D．a5÷a2＝a3【解答】解：A．a3与a2不是同类项，所以不能合并，故本选项不符合题意；B．a3与a2不是同类项，所以不能合并，故本选项不符合题意；C．（a2）3＝a6，故本选项不符合题意；D．a5÷a2＝a3，故本选项符合题意；故选：D．3．（4分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（）A．长方体 B．棱锥 C．圆锥 D．球体【解答】解：根据三视图的形状，结合三视图的定义以及几何体的形状特征可得该几何体为长方体．故选：A．4．（4分）6名学生一周做家务的天数依次为4，4，5，7，7，7，这组数据的中位数和众数分别为（）A．5，4 B．6，5 C．6，7 D．7，7【解答】解：这组数据的中位数为6，所以这组数据的众数为7，故选：C．5．（4分）在平面直角坐标系中，将点（﹣2，1）沿y轴向上平移1个单位后，得到的点的坐标为（）A．（﹣2，0） B．（﹣2，2） C．（﹣3，1） D．（﹣1，1）【解答】解：将点（﹣2，1）沿y轴向上平移1个单位后，得到的点的坐标为（﹣2，2），故答案为：B．6．（4分）如图，AB∥CD，过点D作DE⊥AC于点E．若∠D＝50°，则∠A的度数为（）A．130° B．140° C．150° D．160°【解答】解：∵DE⊥AC，∴∠DEC＝90°，在△CDE中，∠D＝50°，∠DEC＝90°，∴∠C＝40°，又∵AB∥CD，∴∠A+∠C＝180°，∴∠A＝180°﹣∠C＝140°．故选：B．7．（4分）已知一个多边形的每个外角都等于60°，则该多边形的边数是（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：∵任意多边形的外角和都是360°，又∵这个多边形的每个外角都相等，且等于60°，∴该多边形的边数是360°÷60°＝6，故选：C．8．（4分）若m，则整数m的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：∵23，34，而m，∴整数m的值为3，故选：B．9．（4分）第14届国际数学教育大会（ICME﹣14）会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若EF：AH＝1：3，则sin∠ABE＝（）A． B． C． D．【解答】解：根据题意，设EF＝x，则AH＝3x，∵△ABE≌△DAH，四边形EFGH为正方形，∴AH＝BE＝3x，EF＝HE＝x，∴AE＝4x，∵∠AEB＝90°，∴，∴，故选：C．10．（4分）已知二次函数yx2+bx与yx2﹣bx的图象均过点A（4，0）和坐标原点O，这两个函数在0≤x≤4时形成的封闭图象如图所示，P为线段OA的中点，过点P且与x轴不重合的直线与封闭图象交于B，C两点．给出下列结论：①b＝2；②PB＝PC；③以O，A，B，C为顶点的四边形可以为正方形；④若点B的横坐标为1，点Q在y轴上（Q，B，C三点不共线），则△BCQ周长的最小值为5．其中，所有正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①∵二次函数与的图象均过点A（4，0）和坐标原点O，P为线段OA的中点，∴P（2，0），两个函数的对称轴均为直线x＝2，∴，解得：b＝2，故①正确；②如图，过点B作BD⊥x交x轴于点D，过点C作CE⊥x交x轴于点E，∴∠CEP＝∠BDP＝90°，由函数的对称性可知PE＝DP，在△CEP和△BDP中，，∴△CEP≌△BDP（ASA），∴PB＝PC，故②正确；③当点B、C分别在两个函数的顶点上时，BC⊥OA，点B、C的横坐标均为2，由①可知两个函数的解析式分别为，，∴B（2，2），C（2，﹣2），∴BC＝2﹣（﹣2）＝4，∵点A（4，0），∴OA＝4，∴BC＝OA，由∵BC⊥OA，∴此时以O，A，B，C为顶点的四边形为正方形，故③正确；④作点B关于y轴的对称点B′，连接B′C交y轴于点Q，此时△BCQ周长的最小，最小值为BQ+CQ+BC＝B′Q+CQ+BC＝B′C+BC，∵点B的横坐标为1，∴，点C的横坐标为3，∴，，∴，，∴△BCQ周长的最小值为，故④正确；故选：D．二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）11．（4分）若（a﹣1）2+|b﹣2|＝0，则ab＝2．【解答】解：∵（a﹣1）2+|b﹣2|＝0，∴a﹣1＝0，b﹣2＝0，∴a＝1，b＝2，∴ab＝2，故答案为：2．12．（4分）2024年政府工作报告提出，我国今年发展主要预期目标是：国内生产总值增长5%左右，城镇新增就业1200万人以上……将数“1200万”用科学记数法表示为1.2×107．【解答】解：1200万＝12000000＝1.2×107，故答案为：1.2×107．13．（4分）一个不透明的袋中装有6个白球和m个红球，这些球除颜色外无其他差别．充分搅匀后，从袋中随机取出一个球是白球的概率为，则m＝9．【解答】解：根据题意得：，解得m＝9，经检验，m＝9是原方程的解．故答案为：9．14．（4分）小王前往距家2000米的公司参会，先以v0（米/分）的速度步行一段时间后，再改骑共享单车直达会议地点，到达时距会议开始还有14分钟，小王距家的路程S（单位：米）与距家的时间t（单位：分钟）之间的函数图象如图所示．若小王全程以v0（米/分）的速度步行，则他到达时距会议开始还有5分钟．【解答】解：v0＝800÷10＝80（米/分钟），2000÷80＝25（分钟），14+16﹣25＝5（分钟）．故答案为：5．15．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2．以点A为圆心，AD长为半径作弧交AB于点E，再以AB为直径作半圆，与交于点F，则图中阴影部分的面积为．【解答】解：如图，连接AF、EF．由题意易知△AEF是等边三角形，S阴＝S半圆﹣S扇形AEF﹣S弓形AF＝2π（）．故答案为：．16．（4分）在△ABC中，∠A＝60°，AC＝4．若△ABC是锐角三角形，则边AB长的取值范围是2＜AB＜8．【解答】解：如图，当CB1⊥AB1时，此时AB最短，AB1AC＝2，当B2C⊥AC时，此时AB最长，AB2＝2AC＝8，所以边AB长的取值范围是2＜AB＜8，故答案为：2＜AB＜8．三、解答题（本大题共8个小题、共86分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（9分）先化简，再求值：（1），其中x＝3．【解答】解：（1）•，当x＝3时，原式1．18．（10分）我国古诗词源远流长．某校以“赏诗词之美、寻文化之根、铸民族之魂”为主题，组织学生开展了古诗词知识竞赛活动．为了解学生对古诗词的掌握情况，该校随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将成绩分为A，B，C，D四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：（1）本次共抽取了400名学生的竞赛成绩，并补全条形统计图；（2）若该校共有2000人参加本次竞赛活动，估计竞赛成绩为B等级的学生人数；（3）学校在竞赛成绩为A等级中的甲、乙、丙、丁这4名学生里，随机选取2人参加经典诵读活动，用画树状图或列表法求出甲、乙两人中恰好有1人被选中的概率．【解答】解：（1）80÷20%＝400（名），∴D等级的人数为：400﹣120﹣160﹣80＝40（名），补全条形统计图如下：（2）2000800（人），答：估计竞赛成绩为B等级的学生人数为800人；（3）画树状图如下：，共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人中恰好有1人被选中的结果有8种，∴甲、乙两人中恰好有1人被选中的概率为．19．（10分）2024年巴黎奥运会将于7月26日至8月11日举行，某经销店调查发现：与吉祥物相关的A，B两款纪念品深受青少年喜爱．已知购进3个A款比购进2个B款多用120元；购进1个A款和2个B款共用200元．（1）分别求出A，B两款纪念品的进货单价；（2）该商店决定购进这两款纪念品共70个，其总费用不超过5000元，则至少应购买B款纪念品多少个？【解答】解：（1）设出A，B两款纪念品的进货单价分别为x，y．则，解得，答：A，B两款纪念品的进货单价分别为80元和60元．（2）设购买m件B种纪念品，（70﹣m）件A种纪念品，根据题意，得60m+80（70﹣m）≤5000，解得m≥30，答：至少应购买B款纪念品30个．20．（10分）如图，已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y的图象相交于A（m，4），B（4，n）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）若点C（t，t）在一次函数的图象上，直线CO与反比例函数的图象在第三象限内交于点D，求点D的坐标，并写出直线CD在图中的一个特征．【解答】解：（1）∵A（m，4），B（4，n）两点在反比例函数y图象上，∴m＝1，n＝1，∴A（1，4），B（4，1），∵A（1，4），B（4，1）在一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象上，，解得，∴一次函数解析式为y＝﹣x+5；（2）由题意可知，直线CD的解析式为y＝x，联立方程组得，解得，，∴点D（﹣2，﹣2），直线CD与直线AB互相垂直．21．（11分）如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，点D在⊙O外，延长DC，AB相交于点E，过点D作DF⊥AB于点F，交AC于点G，DG＝DC．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为6，点F为线段OA的中点，CE＝8，求DF的长．【解答】（1）证明：连接OC，∵DG＝DC，∴∠DGC＝∠DCG，∵∠DGC＝∠AGF，∴∠DCG＝∠AGF，∵DF⊥AB，∴∠AFG＝90°，∴∠A+∠AGF＝90°，∵OC＝OA，∴∠A＝∠ACO，∴∠DCG+∠ACO＝90°，∴∠DCO＝90°，∵OC是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：由（1）知，∠OCE＝90°，∵OC＝6，CE＝8，∴OE10，∵OA＝6，点F为线段OA的中点，∴OFOA＝3，∴EF＝13，∵∠DFE＝∠OCE＝90°，∠E＝∠E，∴△OCE∽△DFE，∴，∴，∴DF．22．（11分）如图，某海域有两灯塔A，B，其中灯塔B在灯塔A的南偏东30°方向，且A，B相距海里．一渔船在C处捕鱼，测得C处在灯塔A的北偏东30°方向、灯塔B的正北方向．（1）求B，C两处的距离；（2）该渔船从C处沿北偏东65°方向航行一段时间后，突发故障滞留于D处，并发出求救信号．此时，在灯塔B处的渔政船测得D处在北偏东27°方向，便立即以18海里/小时的速度沿BD方向航行至D处救援，求渔政船的航行时间．（注：点A，B，C，D在同一水平面内；参考数据：tan65°≈2.1，tan27°≈0.5）【解答】解：（1）由题意得，∠ACB＝∠ABC＝30°，∴AB＝AC海里，过A作AH⊥BC于H，∴∠AHC＝∠AHB＝90°，CH＝BH，∴CH＝BHAB8（海里），∴BC＝16海里，答：B，C两处的距离为16海里；（2）过D作DG⊥BC于G，在Rt△BDG中，BG2DG，在Rt△CDG中，CG，∵BC＝BG﹣CG，∴2DG16，∴DG＝10.5（海里），∴CG＝5海里，∴BG＝BC+CG＝21（海里），∴BD（海里），∴渔政船的航行时间为18（小时）．23．（12分）（1）【观察发现】如图1，在△ABC中，点D在边BC上．若∠BAD＝∠C，则AB2＝BD•BC，请证明；（2）【灵活运用】如图2，在△ABC中，∠BAC＝60°，点D为边BC的中点，CA＝CD＝2，点E在AB上，连接AD，DE．若∠AED＝∠CAD，求BE的长；（3）【拓展延伸】如图3，在菱形ABCD中，AB＝5，点E，F分别在边AD，CD上，∠ABC＝2∠EBF，延长AD，BF相交于点G．若BE＝4，DG＝6，求FG的长．【解答】（1）证明：∵∠BAD＝∠C，∠ABD＝∠CBA，∴△ABD∽△CBA，∴，∴AB2＝BD•BC；（2）解：过点C作CF⊥AB于点F，过点D作DG⊥AB于点G，则∠AFC＝∠AGD＝90°，∴DF∥DG，∠BAC＝60°，∴，，∵D为BC的中点，∴，∵DF∥DG，∴△BDG∽△BCF，∴，∴，∴，∴，∴，∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠CDA，∵∠AED＝∠CAD，∴∠AED＝∠CDA，∴∠AED+∠BED＝∠ADC+∠ADB＝180°，∴∠BED＝∠ADB，∵∠DBE＝∠ABD，∴△BED∽△BAD，∴，即，解得：；（3）解：连接BD，∵四边形ABCD为菱形，∴，AD＝AB＝BC＝5，AD∥BC，∵∠ABC＝2∠EBF，∴∠ABD＝∠CBD＝∠EBF，∴∠EBF﹣∠DBF＝∠CBD﹣∠DBF，即∠DBE＝∠CBF，∵AD∥BC，∴∠CBF＝∠G，∴∠DBE＝∠G，∵∠DEB＝∠BEG，∴△BED∽△GEB，∴，∵DG＝6，∴EG＝DE+6，∴，解得：DE＝2，负值舍去，∴EG＝2+6＝8，∴AE＝AD﹣DE＝3，∵AE2+BE2＝32+42＝52＝AB2，∴△ABE为直角三角形，∠AEB＝90°，∴∠BEG＝180°﹣90°＝90°，∴在Rt△BEG中根据勾股定理得：