2024秋七年级数学上册 第2章 有理数2.2 有理数与无理数 2无理数（实数及其性质）教学实录（新版）苏科版

2024秋七年级数学上册第2章有理数2.2有理数与无理数2无理数（实数及其性质）教学实录（新版）苏科版科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）2024秋七年级数学上册第2章有理数2.2有理数与无理数2无理数（实数及其性质）教学实录（新版）苏科版教学内容分析1.本节课的主要教学内容：本节课主要讲解实数的分类，包括有理数和无理数的概念，以及实数的性质。

2.教学内容与学生已有知识的联系：本节课内容与七年级上册第2章有理数2.1实数的相关知识紧密相连，学生在学习本节课之前已经掌握了有理数的概念和性质，为本节课的学习奠定了基础。核心素养目标分析本节课旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等核心素养。通过学习无理数的概念和性质，学生能够提高对实数体系的理解，增强数学抽象能力；通过探究无理数的性质，学生能够锻炼逻辑推理和数学建模能力；同时，通过实际操作和思考，学生能够提升直观想象和数学运算能力，为后续数学学习打下坚实基础。学情分析在七年级上册第2章有理数2.2无理数的教学中，面对的学生群体通常具备以下特点：

1.学生层次：学生来自不同的学习背景，学习基础存在差异。部分学生在小学阶段对数学有较好的理解和掌握，能够快速适应新知识的学习；而另一部分学生可能在数学基础方面存在一定困难，需要更多的指导和帮助。

2.知识基础：学生在进入初中之前已经学习了整数、小数、分数等基本数学概念，对数的概念有一定的认识。然而，对于无理数的概念，许多学生可能比较陌生，需要通过本节课的学习来建立新的认知。

3.能力方面：学生在计算能力、逻辑推理能力以及空间想象能力上存在差异。计算能力较强的学生能够较快地掌握无理数的运算，而逻辑推理和空间想象能力较弱的学生可能在理解无理数的性质时遇到困难。

4.素质方面：学生的自主学习能力、合作学习能力和问题解决能力参差不齐。部分学生能够独立探索问题，而部分学生则需要在教师的引导下逐步培养这些能力。

5.行为习惯：学生在课堂上的行为习惯对教学效果有直接影响。有的学生能够认真听讲，积极参与课堂互动；而有的学生可能注意力不集中，课堂参与度较低。教学资源准备1.教材：确保每位学生都有《2024秋七年级数学上册》教材，特别是第2章有理数2.2无理数部分。

2.辅助材料：准备与无理数相关的图片、图表、视频等多媒体资源，如π的无限不循环小数表示、圆周率的历史介绍等，以帮助学生直观理解无理数的概念。

3.实验器材：准备直尺、圆规等工具，用于学生进行测量和绘图实验，以加深对无理数性质的直观认识。

4.教室布置：设置分组讨论区，以便学生进行小组合作学习；在教室一角布置实验操作台，方便学生进行实际操作。教学过程一、导入新课

1.老师角色：亲切地与学生打招呼，营造轻松的课堂氛围。

2.学生角色：积极回应老师，展现学习热情。

老师：“同学们，我们上一节课学习了实数的概念，那么今天我们将进一步探索实数的分类，了解无理数这一重要概念。大家准备好了吗？”

二、新课导入

1.老师角色：通过提问，引导学生回顾已学知识，为新课做好铺垫。

2.学生角色：认真思考，积极参与讨论。

老师：“回顾一下，我们已经学习了哪些实数？请举例说明。”

学生1：“有整数、分数、小数等。”

老师：“非常好，那么这些实数之间有什么联系呢？”

学生2：“它们都是可以表示成有限小数或无限循环小数的数。”

老师：“没错，这些都是有理数。那么，除了这些有理数，还有没有其他的实数呢？”

三、新课讲解

1.无理数的概念

（1）老师角色：讲解无理数的定义，通过实例帮助学生理解。

（2）学生角色：认真听讲，记录重点。

老师：“无理数是指不能表示成两个整数之比的实数。简单来说，就是不能写成有限小数或无限循环小数的实数。比如，π、√2等。”

（2）老师角色：展示π的无限不循环小数表示，让学生直观感受无理数的特性。

（3）学生角色：观察图片，思考无理数的特点。

2.无理数的性质

（1）老师角色：讲解无理数的性质，如无理数的加减乘除运算、无理数与有理数的比较等。

（2）学生角色：认真听讲，记录重点。

老师：“无理数与有理数进行运算时，运算结果仍是无理数。例如，√2+2=√2+√4=√2+2=2√2，2√2是无理数。”

（2）老师角色：通过实例，让学生理解无理数与有理数的比较。

（3）学生角色：观察实例，思考无理数与有理数的区别。

3.无理数的应用

（1）老师角色：介绍无理数在生活中的应用，如建筑设计、科学研究等。

（2）学生角色：认真听讲，了解无理数的实际应用。

老师：“无理数在建筑设计、科学研究等领域有着广泛的应用。例如，在建筑设计中，需要用到π来计算圆的周长和面积；在科学研究领域，无理数可以帮助我们解决很多问题。”

四、课堂练习

1.老师角色：布置与新课内容相关的练习题，让学生巩固所学知识。

2.学生角色：认真做题，检验自己的学习效果。

老师：“下面请大家完成以下练习题，请同学们在小组内讨论，互相帮助。”

五、课堂小结

1.老师角色：对本节课所学内容进行总结，强调重点。

2.学生角色：回顾本节课所学知识，整理笔记。

老师：“今天我们学习了无理数的概念、性质和应用。希望大家能够掌握无理数的定义、性质和应用，并在日常生活中发现无理数的存在。”

六、布置作业

1.老师角色：布置课后作业，巩固所学知识。

2.学生角色：认真完成作业，为下一节课做好准备。

老师：“请大家课后完成以下作业：阅读教材第2章有理数2.2无理数部分，并完成课后习题。”

七、课堂反馈

1.老师角色：了解学生的学习情况，解答学生的疑问。

2.学生角色：提出疑问，与老师进行互动。

老师：“同学们，今天的学习就到这里，如果大家还有什么疑问，请大胆提出。”

八、下课

1.老师角色：对学生的学习情况进行评价，鼓励学生继续努力。

2.学生角色：认真听讲，表达自己的学习感受。

老师：“今天的课程到此结束，希望大家能够通过今天的学习，对无理数有更深入的了解。希望大家在今后的学习中，能够继续保持这种积极向上的学习态度，努力提高自己的数学素养。”教学资源拓展1.拓展资源：

-无理数的发现历史：介绍无理数的发现过程，如古希腊数学家毕达哥拉斯对勾股定理的研究，以及无理数概念的提出。

-无理数的应用实例：收集一些实际生活中无理数应用的案例，如建筑设计中的圆周率π的应用，物理学中的自然常数e的应用等。

-无理数的性质探究：提供一些关于无理数性质的探究题目，如证明√2+√3是无理数，或者探究无理数乘以有理数的结果等。

2.拓展建议：

-阅读推荐书籍：《数学的故事》等书籍，了解数学发展的历史和数学家的故事，激发学生对数学的兴趣。

-观看科普视频：推荐一些关于数学和实数的科普视频，如《数学之美》、《实数的奥秘》等，帮助学生从不同角度理解无理数。

-参与数学竞赛：鼓励学生参加数学竞赛，如全国中学生数学奥林匹克竞赛，通过竞赛提高数学思维能力和解题技巧。

-实践活动：组织学生进行实践活动，如测量校园内物体的长度，用无理数π计算圆的周长和面积，让学生在实际操作中感受无理数的应用。

-小组讨论：引导学生进行小组讨论，探讨无理数在科学研究和日常生活中的应用，培养学生的合作学习和问题解决能力。

-家庭作业延伸：布置一些与无理数相关的家庭作业，如让学生调查家庭或社区中无理数的应用实例，并撰写报告。

-课外阅读：推荐一些关于数学史的书籍或文章，让学生了解数学的发展历程，激发学生对数学的探索欲望。

-数学软件学习：介绍一些数学软件，如MATLAB、Python等，让学生学会使用这些工具进行数学计算和图形绘制，加深对无理数概念的理解。教学反思与总结今天这节课，我们一起探讨了无理数这个概念，我想对整个教学过程进行一些反思和总结。

首先，我觉得在教学方法上，我尝试了一些新的策略。比如，我引入了与无理数相关的历史故事，像毕达哥拉斯的勾股定理的故事，这样不仅激发了学生的兴趣，也让他们看到了数学在人类历史中的重要作用。我发现，当学生们了解到数学背后的故事时，他们的学习动力会大大增强。

在教学过程中，我也注重了学生的参与。我设计了小组讨论环节，让学生们自己探索无理数的性质，这种合作学习的方式让他们在互动中学习，不仅提高了他们的合作能力，也锻炼了他们的逻辑思维。

当然，我也发现了一些不足。比如，在讲解无理数的运算性质时，我发现一些学生还是感到有些困难。这说明我在讲解时可能没有做到足够的具体和清晰。以后，我会更加注意这一点，确保每一个知识点都能被学生充分理解。

在教学管理上，我注意到课堂纪律方面还有一些需要改进的地方。有些学生虽然表面上看起来在听讲，但实际上心不在焉。这让我意识到，课堂管理不仅仅是对学生的约束，更是对教学环境的营造。我需要更加关注课堂氛围的营造，让学生们在轻松的环境中更好地学习。

在情感态度方面，学生们对数学的兴趣似乎有所提升。他们不再觉得数学是一门枯燥的学科，而是开始认识到数学在生活中的应用价值。

针对教学中存在的问题和不足，我提出以下改进措施和建议：

-对于讲解难度较大的知识点，我会采用更多的实例和图示，帮助学生更好地理解。

-加强课堂纪律管理，通过互动和游戏等方式提高学生的注意力。

-在课后，我会针对不同学生的学习情况，提供个性化的辅导和练习，确保每个学生都能跟上教学进度。

-定期与家长沟通，了解学生在家的学习情况，共同关注学生的成长。典型例题讲解例题1：已知√2+√3是无理数，证明√2-√3也是无理数。

解答过程：

由于√2+√3是无理数，设√2-√3=a，其中a是有理数。

则有（√2+√3）+（√2-√3）=2√2=a。

因此，2√2是有理数，这与√2是无理数矛盾。

所以，假设不成立，√2-√3也是无理数。

例题2：计算（√3+√2）（√3-√2）。

解答过程：

（√3+√2）（√3-√2）=(√3)^2-(√2)^2=3-2=1。

例题3：若a和b是实数，且a^2+b^2=2，证明a+b是无理数。

解答过程：

假设a+b是有理数，则（a+b）^2也是有理数。

即a^2+2ab+b^2是有理数。

由于a^2+b^2=2，代入上式得2+2ab是有理数。

因此，2ab也是有理数，这与a和b都是无理数矛盾。

所以，假设不成立，a+b是无理数。

例题4：求下列无理数的平方根：

（1）√18

（2）√50

解答过程：

（1）√18=√(9×2)=√9×√2=3√2。

（2）√50=√(25×2)=√25×√2=5√2。

例题5：若a和b是实数，且a^2+b^2=1，证明a^3+b^3=1。

解答过程：

由于a^2+b^2=1，可以得出a^2=1-b^2。

则a^3=a×a^2=a×(1-b^2)=a-ab^2。

同理，b^3=b×b^2=b×(1-a^2)=b-ba^2。

因此，a^3+b^3=(a-ab^2)+(b-ba^2)=a+b-ab(a+b)。

由于a^2+b^2=1，代入上式得a+b-ab(a+b)=a+b-ab=1。内容逻辑关系①本文重点知识点：

-有理数：包括整数和分数，可以表示成有限小数或无限循环小数。

-无理数：不能表示成两个整数之比的实数，表现为无限不循环小数。

-实数：有理数和无理数的总称。

②关键词：

-无限不循环小数

-无理数

-实数

③重点句子：

-“无理数是指不能表示成两个整数之比的实数。”

-“无理数表现为无限不循环小数。”

-“实数是有理数和无理数的总称。”教学评价与反馈1.课堂表现：

学生们在课堂上的表现总体良好，大部分学生能够积极参与讨论，对无理数的概念有了初步的理解。部分学生在回答问题时能够准确表述无理数的性质，显示出他们对新知识的掌握。然而，也有一些学生在回答问题时显得有些犹豫，需要进一步的指导和鼓励。

2.小组讨论成果展示：

在小组讨论环节，学生们能够有效地进行合作学习，共同解决问题。小组讨论成果的展示环节，学生们能够清晰地表达自己的观点，并能够倾听他人的意见。通过讨论，学生们对无理数的概念有了更深入的理解，并且能够将理论知识与实际应用相结合。

3.随堂测试：

随堂测试结果显示，大部分学生对无理数的概念和性质有了一定的掌握。测试中涉及到的无理数运算、比较和证明题目，学生们能够正确解答。但在一些复杂的问题上，部分学生仍然存在困难，需要进一步练习和巩固。

4.学生自评与互评：

在课程结束后，我让学生们进行自我评价和互评。学生们普遍认为，通过本节课的学习，他们对无理数的认识有了很大的提升。在自我评价中，学生们指出了自己在学习过程中的优点和不足，如对无理数性质的掌握程度、参与讨论的积极性等。在互评中，学生们能够客观地评价同伴的表现，并提出改进建议。

5.教师评价与反馈