《 备考指南 数学 》课件-第11章 第1讲

计数原理、概率、随机变量及其分布第十一章课标考点考情简析计数原理常与古典概型综合考查；对二项式定理的考查主要是利用通项公式求特定项；对正态分布的考查，可能在选择、填空题中单独考查，也可能在解答题中出现；以实际问题为背景，考查分布列、期望等是高考的热点题型2021年新高考Ⅰ卷8(相互独立事件的概率乘法公式)2021年新高考Ⅰ卷18(离散型随机变量分布列及数学期望)2021年甲卷理科10(以排列组合为载体的古典概型)2021年甲卷文科10(古典概型及其概率计算公式)2021年乙卷理科6(排列组合的应用)2021年浙江13(二项展开式的通项公式的运用)2021年浙江15(古典概型的概率，组合数公式的应用，离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量的期望)素养阐述数据分析：收集和整理数据，理解和处理数据，获得和解释结论，概括和形成知识数学建模：发现和提出问题，建立和求解模型，检验和完善模型，分析和解决问题备考指津命题形式：高考在本章一般命制1道小题、1道大题或者1道大题，分值占5～17分备考方向：从近几年高考试题可以看出，概率统计试题的阅读量和信息量都有所加强，考查角度趋向于应用概率统计知识对实际问题作出决策第1讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理课标要求考情概览通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义考向预测：从近三年高考情况来看，对两个计数原理很少独立命题．预测本年度高考将会综合考查两个计数原理与排列组合知识．试题以客观题的形式呈现，难度不大，属中、低档题型．学科素养：主要考查数学抽象、逻辑推理、数学运算的素养栏目导航01基础整合

自测纠偏03素养微专

直击高考02重难突破

能力提升04配套训练基础整合自测纠偏11.分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝________种不同的方法．m＋n

2.分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝________种不同的方法．m×n

【特别提醒】1．分类加法计数原理的每类方法都能独立完成这件事，它是独立的、一次的，且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事．各类方法之间是互斥的、并列的、独立的．2．分步乘法计数原理的每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，只有各个步骤都完成了才能完成这件事．各步之间是相互依存的，并且既不能重复也不能遗漏．【常用结论】1．完成一件事可以有n类不同方案，各类方案相互独立，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法……在第n类方案中有mn种不同的方法．那么，完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．2．完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法．那么，完成这件事共有N＝m1m2…mn种不同的方法．1．(2021年北京月考)已知两条异面直线a，b

上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定的不同的平面个数为 (

)A．40 B．16C．13 D．10【答案】C2．(教材改编)设集合A＝{1,3,5,7,9}，B＝{2,4,6,8}，a∈A，b∈B，则直线ax＋by＝2021的条数是

(

)A．4 B．5C．20 D．9【答案】C3．有5个不同的棱柱、3个不同的棱锥、4个不同的圆台、2个不同的球，若从中取出2个几何体，使多面体和旋转体各一个，则不同的取法种数是

(

)A．14 B．23C．48 D．120【答案】C4．(2021年日照检测)甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有______种．【答案】205．(2021年首都师大附中月考)从－2,0,3,4这四个数中选三个数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c

的系数，则可组成______个不同的二次函数，其中偶函数有______个(用数字作答)．【答案】18

6用两个计数原理解决计数问题时，关键是明确需要分类还是分步．有时可能应用两个计数原理，即分类的方法可能要运用分步完成，分步的方法可能会采取分类的思想求解．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．

(

)(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．

(

)(3)在分步乘法计数原理中，事情是分步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有每个步骤都完成后，这件事情才算完成．

(

)(4)如果完成一件事情有n个不同步骤，在每一步中都有若干种不同的方法mi(i＝1,2,3，…，n)，那么完成这件事共有m1m2m3…mn种方法．

(

)(5)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．

(

)【答案】(1)×

(2)√

(3)√

(4)√

(5)√重难突破能力提升2

(2021年苏州期中)埃及金字塔之谜是人类史上最大的谜，它的神奇远远超过了人类的想象．在埃及金字塔内有组神秘的数字142857，因为142857×2＝285714,142857×3＝428571,142857×4＝571428，…，所以这组数字又叫“走马灯数”．该组数字还有如下发现：142＋857＝999,428＋571＝999，285＋714＝999，…，若从这组神秘数字中任选3个数字构成一个三位数x，剩下的三个数字构成另一个三位数y，且x＋y＝999，将所有可能的三位数x按从小到大依次排序，则第12个三位数x为 (

)A．214 B．215C．248 D．284分类加法计数原理的应用【答案】C【解析】根据题意，数字142857中，两个数字之和为9的组合有1＋8＝9,2＋7＝9,4＋5＝9，共3组，若x＋y＝999，x从小到大排列为124,125,142,147,152,157,174,175,214,215,241,248，故第12个三位数x为248.故选C．【变式精练】1．(1)(2021年日照检测)从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为 (

)A．3 B．4C．6 D．8(2)(2021年呼和浩特检测)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有_________个．【答案】(1)D

(2)36

有6名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有________种不同的报名方法．【答案】120【解析】每项限报一个，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有6×5×4＝120(种)．分步乘法计数原理的应用【变式精练】2．(2021年福州模拟)数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏．如图是数独的一个简化版，由3行3列9个单元格构成．玩该游戏时，需要将数字1,2,3(各3个)全部填入单元格，每个单元格填一个数字，要求每一行、每一列均有1,2,3这三个数字，则不同的填法有(

)A．12种 B．24种

C．72种 D．216种【答案】A【解析】先填第一行，有3×2×1＝6(种)不同填法，再填第二行第一列，有2种不同填法，当该单元格填好后，其他单元格唯一确定．根据分步乘法计数原理，共有6×2＝12(种)不同的填法．示通法利用两个计数原理解决应用问题的一般思路(1)弄清完成一件事是做什么．(2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类．(3)弄清分步、分类的标准是什么．(4)利用两个计数原理求解．两个原理的综合应用考向1涂色问题

(1)(2021年合肥模拟)如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数有

(

)A．24 B．48C．96 D．120

(2)(2021年南京月考)在一个正六边形的六个区域涂色(如图)，要求同一区域同一种颜色，相邻的两块区域(有公共边)涂不同的颜色，现有5种不同的颜色可供选择，则不同涂色方案有 (

)A．720种 B．2160种C．4100种 D．4400种【答案】(1)C

(2)C【解析】(1)若A，D

颜色相同，先涂E有4种涂法，再涂A，D

有3种涂法，再涂B有2种涂法，C只有1种涂法，共有4×3×2×1＝24(种)；若A，D

颜色不同，先涂E有4种涂法，再涂A有3种涂法，再涂D有2种涂法，当B和D相同时，C有2种涂法，当B和D不同时，C只有1种涂法，共有4×3×2×(2＋1)＝72(种)．所以共有24＋72＝96(种)不同的涂色方法．(2)考虑A，C，E三个区域用同一种颜色，共有方法数为5×43＝320种；考虑A，C，E三个区域用2种颜色，共有方法数为(5×4×3)×4×3×3＝2160种；考虑A，C，E三个区域用3种颜色，共有方法数为5×4×3×33＝1620种．所以共有方法数为320＋2160＋1620＝4100种．故选C．考向2几何问题

(1)如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 (

)A．48 B．18

C．24 D．36(2)如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”．在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是 (

)A．60 B．48

C．36 D．24【答案】(1)D

(2)B【解析】(1)第1类，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有2×12＝24(个)；第2类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个．所以正方体中“正交线面对”共有24＋12＝36(个)．(2)长方体的6个表面构成的“平行线面组”的个数为6×6＝36，另含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”的个数为6×2＝12，故符合条件的“平行线面组”的个数是36＋12＝48.考向3集合问题

(1)已知集合M＝{1，－2，－3}，N＝{－4,5,6,7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第三、四象限内不同的点的个数是 (

)A．10 B．11C．12 D．13(2)已知集合M＝{1,2,3,4}，集合A，B为集合M的非空子集，若对∀x∈A，y∈B，x<y恒成立，则称(A，B)为集合M的一个“子集对”，则集合M的“子集对”共有________个．

【答案】(1)B

(2)17【解析】(1)当N中的元素为纵坐标时，M中的元素有3种取法，N中的元素有1种取法，所以有3×1＝3个不同的点；当M中的元素为纵坐标时，N中的元素有4种取法，M中的元素有2种取法，所以有4×2＝8个不同的点．综上，共有3＋8＝11个不同的点．(2)当A＝{1}时，B有23－1种情况；当A＝{2}时，B有22－1种情况；当A＝{3}时，B有1种情况；当A＝{1,2}时，B有22－1种情况；当A＝{1,3}，{2,3}，{1,2,3}时，B均有1种情况；所以满足题意的“子集对”共有7＋3＋1＋3＋3＝17(个)．【变式精练】3．(1)(2021年北京十五中测试)如图的5个区域，中心区域是一幅图画，现要在其余4个区域中涂色，有4种颜色可供选择，要求每1个区域只涂1种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为

(

)A．64 B．72C．84 D．96(2)(2021年青岛期中)已知集合M＝{－2,3}，N＝{－4,5,6}，依次从集合M，N中各取出一个数分别作为点P的横坐标和纵坐标，则在平面直角坐标系中，位于第一、二象限内的点P的个数为 (

)A．4 B．5C．6 D．7(3)如图，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有________个(用数字作答)．【答案】(1)C

(2)A

(3)40【解析】(1)涂色方法分两类：①A和C同色，可从4种颜色中任选1种，有4种选法，B可从余下的3种颜色中任选1种，有3种选法，同理D也有3种选法，则不同的涂色方法种数为4×3×3＝36；②A和C不同色，不妨先从A涂色，有4种选法，C有3种选法，B有2种选法，D有2种选法，则不同的涂色方法种数为4×3×2×2＝48.故不同的涂色方法种数为36＋48＝84.(2)要使得点P在平面直角坐标系中位于第一、二象限内，且集合M中的元素作为点的横坐标，N中的元素作为点的纵坐标，则在第一象限的点共有1×2＝2个；在第二象限的点共有1×2＝2个．由分类加法计数原理可得满足题意的点P的个数为2＋2＝4.故选A．(3)把与正八边形有公共边的三角形分为两类：第一类，有一条公共边的三角形共有8×4＝32(个)．第二类，有两条公共边的三角形共有8个．由分类加法计数原理知，共有32＋8＝40(个)．素养微专直击高考3易错警示——两个计数原理的应用【考查角度】计数原理的