《 备考指南 数学 》课件-第7章 第3讲

数列第七章第3讲等比数列及其前n项和课标要求考情概览1．理解等比数列的概念．2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．3．能在具体的问题情境中发现数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．4．体会等比数列与指数函数的关系．考向预测：从近三年高考情况来看，本讲一直是高考中的重点．预测本年度高考将会以等比数列的通项公式及其性质、等比数列的前n项和为考查重点，也可能将等比数列的通项、前n项和及性质综合考查，此外，还可能会与等差数列综合考查．题型以客观题或解答题的形式呈现，属中档题型．学科素养：主要考查数学抽象、逻辑推理、数学运算的素养栏目导航01基础整合

自测纠偏03素养微专

直击高考02重难突破

能力提升04配套训练基础整合自测纠偏11．等比数列的概念(1)如果一个数列从第____项起，每一项与它的前一项的比等于________非零常数，那么这个数列叫做等比数列．(2)如果三个数a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的__________，其中G＝______．

2

同一个q

等比中项2．等比数列的通项公式及前n项和公式(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝________．通项公式的推广：an＝amqn－m．a1qn－1

(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠－1)．【特别提醒】1．由an＋1＝qan，q≠0并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0．2．在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形导致解题失误．1．(教材改编)对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是

(

)A．a1，a3，a9成等比数列 B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列 D．a3，a6，a9成等比数列【答案】D2．(2021年重庆模拟)已知{an}为正项等比数列，且a2a4＝4，设Tn为该数列的前n项积，则T5＝ (

)A．8

B．16

C．32

D．64【答案】C3．(2021年甲卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若S2＝4，S4＝6，则S6＝ (

)A．7

B．8

C．9

D．10【答案】A【答案】AD判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．

(

)(2)G为a，b的等比中项⇔G2＝ab． (

)(3)如果数列{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列． (

)【答案】(1)×

(2)×

(3)×

(4)×

(5)×

(6)×重难突破能力提升2示通法熟练掌握等比数列的通项公式及前n项和公式，尤其是运用等比数列前n项和公式中注意公比是否为1，同时注意整体转化思想在解题中的运用．等比数列的基本运算(2)(2021年江西模拟)已知数列{an}为等比数列，公比为q，若a5＝4(a4－a3)，则q＝ (

)A．4

B．3

C．2

D．1【答案】(1)C

(2)C【解析】(1)由a4－a3＝36，a2＝6，则有q2－q＝6，解得q＝3或q＝－2(舍去)，又由a2＝6，则a1＝2．故选C．(2)由题意，得a1

q4＝4(a1

q3－a1

q2)，解得q＝2．故选C．【答案】(1)D

(2)B(2)(2021年贵阳月考)设单调递增等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a4＝10，a2a3a4＝64，则正确的是 (

)A．Sn＝2n－1－1

B．an＝2nC．Sn＋1－Sn＝2n＋1

D．Sn＝2n－1【答案】(1)C

(2)D【变式精练】1．设等比数列{an}的公比为整数，前n项和为Sn，若a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，则S8＝ (

)A．510

B．508

C．254

D．252(3)(2021年松原模拟)(多选)在数学课堂上，为提高学生探究分析问题的能力，教师引导学生构造新数列：现有一个每项都为1的常数列，在此数列的第n(n∈N*)项与第n＋1项之间插入首项为2，公比为2的等比数列的前n项，从而形成新的数列{an}，数列{an}的前n项和为Sn，则 (

)A．a2021＝25

B．a2021＝26C．S2021＝3×263＋59

D．S2021＝264－3【答案】(1)A

(2)B

(3)ADS2021＝1×63＋62×21＋61×22＋60×23＋…＋1×262＋21＋22＋23＋24＋25＝125＋62×21＋61×22＋60×23＋…＋1×262，令T＝62×21＋61×22＋60×23＋…＋1×262，则2T＝62×22＋61×23＋60×24＋…＋1×263,2T－T＝－62×21＋22＋23＋24＋…＋262＋1×263，T＝264－128，所以S2021＝264－3，故C错误，D正确．故选AD．等比数列的判定与证明(1)证明：由an＋2＝2an＋1＋3an，得an＋2＋an＋1＝3(an＋1＋an)，又{an}的各项都为正数，所以数列{an＋an＋1}是公比为3的等比数列．【解题技巧】等比数列的4种常用判定方法

[提醒](1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定；(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．

(2020年Ⅰ卷)设{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8＝

(

)A．12

B．24

C．30

D．32等比数列的性质及应用【答案】(1)D

(2)C【解题技巧】1．在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．2．在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．(2)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________．【答案】(1)D

(2)2素养微专直击高考3对于数列通项公式的求解，除了我们已经学习的方法以外，根据所给递推公式的特点，还有以下几种构造方式．类型一形如an＋1＝can＋d(c≠0，其中a1＝a)型(1)若c＝1，数列{an}为等差数列；(2)若d＝0，数列{an}为等比数列；(3)若c≠1且d≠0，数列{an}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．思想方法——构造新数列因为a1＝S1＝1，S1＋1＝2，所以{Sn＋1}是首项为2，公比为2的等比数列．所以Sn＋1＝2n，Sn＝2n－1．当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，a1＝1也满足此式，故an＝2n－1(