《 备考指南 数学 》课件-第7章 第4讲

数列第七章第4讲数列求和及数列的综合应用课标要求考情概览1．熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式．2．掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法．考向预测：从近三年高考情况来看，公式法求和是高考的热点内容，是数列求和的基础，小题及解答题经常涉及，难度不大；错位相减法一般出现在解答题的第(2)问，对运算能力要求较高，难度中等；裂项求和法主要在解答题中考查，主要考查裂项的基本方法．学科素养：主要考查逻辑推理、数学运算的素养栏目导航01基础整合

自测纠偏03素养微专

直击高考02重难突破

能力提升04配套训练基础整合自测纠偏12．数列求和的几种常用方法(1)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．(2)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．(3)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解．(4)倒序相加法如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解．【特别提醒】1．直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论．2．在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如qn，qn＋1的式子应进行合并．3．在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性．1．(教材改编)数列{1＋2n－1}的前n项和为 (

)A．1＋2n

B．2＋2nC．n＋2n－1

D．n＋2＋2n【答案】C【答案】C【答案】A4．(2021年湖南联考)(多选)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an＋2－an＝2，n∈N*，则 (

)A．a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，…为等差数列B．a2－a1，a4－a3，a6－a5，…为常数列C．a2n－1＝4n－3D．若数列{bn}满足bn＝(－1)n·an，则数列{bn}的前100项和为100【答案】ABD5．(教材改编)已知数列{an}的前n项和为Sn且an＝n·2n，则Sn＝________．【答案】(n－1)2n＋1＋2解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成．(2)不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和．【答案】(1)√

(2)√

(3)√

(4)×

(5)√重难突破能力提升2

(2020年新高考卷)已知公比大于1的等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＝8．(1)求{an}的通项公式；(2)记bm为{an}在区间(0，m](m∈N*)中的项的个数，求数列{bm}的前100项和S100．分组转化法求和(2)由题设及(1)知b1＝0，且当2n≤m＜2n＋1时，bm＝n．所以S100＝b1＋(b2＋b3)＋(b4＋b5＋b6＋b7)＋…＋(b32＋b33＋…＋b63)＋(b64＋b65＋…＋b100)＝0＋1×2＋2×22＋3×23＋4×24＋5×25＋6×(100－63)＝480．2．利用分组转化法求和的3个关键点会“列方程”即会利用方程思想求出等差数列与等比数列中的基本量会“用公式”会利用等差(比)数列的通项公式，求出所求数列的通项公式会“分组求和”观察数列的通项公式的特征，若数列是由若干个简单数列(如等差数列、等比数列、常数列等)组成，则求前n项和时可用分组求和法，把数列分成几个可以直接求和的数列【变式精练】1．(2021年昆明一模)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，已知a1＝b1＝1，b4＝64，q＝2d．(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)记cn＝a2n－1＋b2n，求数列{cn}的前n项和Sn．解：(1)因为b4＝64，所以b1q3＝64，又b1＝1，所以q＝4．又q＝2d，所以d＝2．因为a1＝1，所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝b1qn－1＝4n－1．示通法若数列的通项可转化为f(n＋1)－f(n)的形式，常采用裂项求和的方法．使用裂项法，要注意正负相消时，消去了哪些项，保留了哪些项．由于数列{an}中每一项an均裂成一正一负两项，所以互为相反数的项合并为零后，所剩正数项与负数项的项数必是一样多．裂项相消法求和【答案】C

(1)解：由S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0，得[Sn－(n2＋n)](Sn＋1)＝0.由于{an}是正项数列，所以Sn＞0，Sn＋1＞0，得Sn＝n2＋n．于是a1＝S1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n，当n＝1时，也满足a1＝2×1．综上，数列{an}的通项公式为an＝2n．【解题技巧】裂项相消法求数列{an}的前n项和裂项相消法求和的实质是先将数列中的通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，其解题的关键就是准确裂项和消项．(1)基本步骤(2)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．(3)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．错位相减法求和【解题技巧】错位相减法求数列{an}的前n项和(1)适用条件：若{an}是公差为d(d≠0)的等差数列，{bn}是公比为q(q≠1)的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和Sn；(2)基本步骤(3)注意事项：①在写出Sn与qSn的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出Sn－qSn；②作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号．【变式精练】3．(2020年Ⅰ卷)设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项．(1)求{an}的公比；(2)若a1＝1，求数列{nan}的前n项和．解：(1)设{an}的公比为q，由题意得2a1＝a2＋a3，即2a1＝a1q＋a1q2．所以q2＋q－2＝0，解得q＝1(舍去)或q＝－2．故{an}的公比为－2．素养微专直击高考3有关数列奇偶项的问题是高考中经常涉及的问题，解决此类问题的难点在于搞清数列奇数项和偶数项的首项、项数、公差(比)等．如何解决此类问题呢？下面从两方面讲起．运算求解能力——奇偶项求和的痛点思维卡壳点看到繁杂