三角形的证明复习课

三角形的有关证明复习课在本章中你学到了什么？角的平分线通过探究,猜测,计算和证明得到定理与等腰三角形,等边三角形有关的结论与直角三角形有关的结论命题的逆命题及其真假线段的垂直平分线

全等三角形学习目的：1、会断定两个三角形全等2、会用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和断定进展证明。3、会用反证法证明命题的成立.4、会用线段垂直平分线、角平分线定理及其结论解决问题。重点：探究证明的思路和方法；难点：准确地表达推理证明过程。怎么证明几何命题？证明命题的一般步骤:(1)理解题意:分清命题的条件(),结论(求证);(2)根据题意,画出图形;(3)结合图形,用符号语言写出“〞和“求证〞;(4)分析题意,探究证明思路(可以由“因〞导“果〞综合法或者由“果〞逆推“因〞分析法);(5)根据思路,运用数学符号和数学语言条理明晰地写出证明过程;(6)检查表达过程是否正确,完善.知识点一：全等三角形一般三角形

全等的条件：1.定义〔重合〕法；；；；5.AAS.直角三角形全等特有的条件：HL.包括直角三角形不包括其它形状的三角形解题中常用的4种方法分析：此题利用边角边公理证明两个三角形全等.由题目只要证明AF＝CE，∠A＝∠C例1

如图2，AE＝CF，AD∥BC，AD＝CB，求证：△

ADF≌△CBE

说明：本题的解题关键是证明AF＝CE，∠A＝∠

C，易错点是将AE与CF直接作为对应边，而错误地写为：

又因为AD∥BC，〔？〕〔？〕例2：如图3，△ABC≌△A1B1C1，AD、A1D1分别是△ABC和△A1B1C1的高.求证：AD=A1D1图3证明：∵△ABC≌△A1B1C1〔〕∴AB=A1B1，∠B=∠B1〔全等三角形的对应边、对应角相等〕∵AD、A1D1分别是△ABC、△A1B1C1的高〔〕∴∠ADB=∠A1D1B1=90°.

在△ABC和△A1B1C1中∠B=∠B1〔已证〕∠ADB=∠A1D1B1〔已证〕AB=A1B〔已证〕∴△ABC≌△A1B1C〔AAS〕∴AD=A1D1〔全等三角形的对应边相等〕全等三角形对应边上的中线角平分线呢？练一练12、如图6，：∠A＝90°，AB=BD，ED⊥BC于D.求证：AE＝ED

提示：找两个全等三角形，需连结BE.图6知识点二：等腰三角形的性质定理性质：1、等腰三角形的相等，即等边对2、等腰三角形的、、互相重合；即“三线合一〞3、等腰三角形两底角的平分线，两腰上的中线,两腰上的高；断定：有两个角相等的三角形是等腰三角形。即等角对。两个底角等角顶角平分线底边上的中线底边上的高等边相等相等相等:如图,点D,E在△ABC的边BC上，AD=AE,AB=AC.求证:BD=CE.ABCEDF练一练知识点二、等边三角形性质和断定定理性质定理：等边三角形的都相等，都相等，并且每个角都等于；断定定理：一个角等于的为等边三角形。三个内角都为的三角形是等边三角形。三条边三个角60°等腰三角形60°60°ABCDEF：如图，在等边三角形ABC的三边上分别取点D，E，F，使得AD=BF=CE.求证：△DEF是等边三角形。练一练ABCDEF知识点三、与直角三角形有关的定理1、直角三角形的互余。2、有两个锐角的三角形是直角三角形。3、在直角三角形中，假如一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于的；4、勾股定理：直角三角形的平方和等于的平方。5、和对应相等的两个直角三角形全等。()6、勾股定理的逆定理：两锐角互余斜边一半斜边一直角边HL两条直角边斜边假如三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形。1、如以下图,在△ABC中，∠ACB=900，∠A=300，CD⊥AB于点D,试着推导出BD与AD的数量关系。动脑筋，能力提升ABCD2、如图，∠ACB=∠BDA=900,要使△ACB≌△BDA，还需要添加什么条件？请你选择其中的一个加以证明。开放探究题知识点四、反证法反证法的步骤是什么？第一步是假设命题结论不成立；第二步是推导，从假设出发，经过推理得出与定义、根本领实、已有的定理或者条件相矛盾的结果。第三步是下结论，得出假设命题不成立是错误的，即所求证命题成立。

求证：等腰三角形的底角必为锐角。A已知：△ABC中，AB=AC。求证：∠B.∠C均为锐角BC

我思考,我进步定理线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点间隔相等.∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点(),∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点间隔相等).ACBPMN逆定理到一条线段两个端点间隔相等的点,在这条线段的垂直平分线上.如上图,∵PA=PB(),∴点P在AB的垂直平分线上(到一条线段两个端点间隔相等的点,在这条线段的垂直平分线上).知识点五：线段垂直平分线定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的间隔相等.如图,在△ABC中,∵c,a,b分别是AB,BC,AC的垂直平分线,∴c,a,b相交于一点P,且PA=PB=PC(三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的间隔相等).ABCPabc2.如图,在△ABC中,AC=27,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,△BCE的周长等于50,求BC的长.BAEDC练一练3.如下图，在△ABC中，∠B＝22.5°,AB的垂直平分线交BC于点D，DF⊥AC于点F,并与BC边上的高AE交于G.求证：EG＝EC.1如图S1－1，在△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A＝30°，∠ACB＝80°，则∠BCE＝________.50°

知识点六：角平分线定理：角平分线上的点到这个角的两边间隔相等.∵

OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E.∴PD=PE.OCB1A2PDE逆定理在一个角的内部,且到角的两边间隔相等的点,在这个角的平分线上.如图,∵PA=PB,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(),∴点P在∠AOB的平分线上.(在一个角的内部,且到角的两边间隔相等的点,在这个角的平分线上).定理:三角形的三条角平分线相交于一点，且这点到三角形三边的间隔相等。如图,∵AN,CM,BO分别是△ABC的角平分线PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,∴AN,BO,CM交于P点,

PD=PE=PF.1、如图S1－8，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE＝∠CDE，∠DCE＝∠ECB.求证：CD＝AD＋BC.图S1－8练一练[解析]结论是CD＝AD＋BC，可考虑用“截长补短法〞中的“截长〞，即在CD上截取CF＝CB，只要再证DF＝DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而到达简化问题的目的．图S1－9证明：在CD上截取CF＝BC，如图S1－9，在△FCE与△BCE中，∴△FCE≌△BCE(SAS)，∴∠2＝∠1.∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD＝180°.又∠ADE＝∠CDE，∴∠DCE＋∠CDE＝90°，∴∠2＋∠3＝90°，∠1＋∠4＝90°，∴∠3＝∠4.在△FDE与△ADE中，∴△FDE≌△ADE(ASA)，∴DF＝DA.∵CD＝DF+CF，∴CD＝AD+BC.2、如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=900，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E。〔1〕CD=4cm，求AC的长；〔2〕求证：AB=AC+CD。ACBDE3、如下图，AB∥C