医用物理学 第2版 课件 第3章 波动 声波

第三章

波动声波

波动（简称波）波机械波：电磁波：物质波：它们产生的机制各不相同，性质上也有本质的区别，但也有许多共同的规律，如反射、折射、干涉等。

本章以机械波为例介绍波的一般性质。即振动状态的空间传播水波、声波、地震波等；光波、无线电波、X射线等；与实物粒子相联系的波。

条件一、机械波的产生波源：作机械振动的物体机械振动以一定速度在弹性介质中弹性介质：承担传播振动的物质由近及远地传播出去，就形成机械波。123456789101112弹性介质细绳上波的产生说明(1)波动中各质点并不随波前进。在波动过程中，传播的只是质点的振动状态。p点t时刻的振动状态和o点时刻振动状态相同波动是相位的传播。对波是质点振动状态在的传播的正确理解至关重要。细绳op

振动曲线tsyx波动曲线(波形图）(2)波动曲线与振动曲线不同。波面二、

波的几何描述在波传播过程中，任一时刻介质中振动相位相同的点联结成的面。波面也称为波阵面。波面球面波波面波前在某一时刻，波传播到的最前面的波面。波面为球面的波称为球面波波面为平面的波称为平面波显然，波面上所有点的振动状态都相同，但振动状态相同的点不一定在同一波面上。表示波传播方向的射线称为波线。球面波波面波线波线波面波线平面波四.波长周期频率和波速波线上相邻的振动状态相同的两点间的距离。xu即波源作一次完全振动，波前进的距离。或者波动在一个周期内传播的距离。波长(λ)波的周期就是波源振动的周期。单位时间内通过波线上某一点完整波长的个数。波的频率就是波源振动的频率。频率与周期的关系为振动状态在介质中的传播速度。波速与波长、周期和频率的关系为一个完整的波通过波线上的某点所需的时间。(1)波的周期和频率与介质的性质无关；一般情况下，与波源振动的周期和频率相同。(2)波速大小决定于介质的性质（弹性和密度），与波的频率无关。介质密度越大，波速越小；弹性越好，波速越大。说明简谐波:

波源做简谐振动，在弹性介质中传播形成的波。简谐波又称为余弦波或单色波。

波面为平面的简谐波(本章主要讨论内容）平面简谐波①主要讨论在无吸收（即介质不吸收所传播的能量）、各向同性、均匀无限大介质中传播的平面简谐波。说明简谐波的特点：②平面简谐波的特征：各质点振动的频率相同、振幅相同。波所到之处所有质点都做同频率的简谐振动。一、平面简谐波的波动方程（波函数）

实验证实：对于平面简谐波其波线相互平行，且各波线上波的传播情况相同，因此任选取一波线，研究这一波线上波的传播规律就可以了。xyP称为平面简谐波的波函数（或波动方程或波动表达式）简谐振动物体其振动规律用振动方程表示，即注意：x轴正向可以与波线方向相同也可以相反。u如何研究波线上波的传播规律？yxxPO已知一、平面简谐波的波动方程（波函数）点O的振动状态点

Pt

时刻点

P的振动状态

时刻点O的振动状态P点在t时刻的位移为波函数或波动方程波动方程：描述各质点振动位移随质点平衡位置和时间t的变化关系研究波的传播规律等就是要得到波函数。如何求得波函数？

要想得到波函数，需要三个条件：①已知波的传播方向；②波速；③某点振动方程。xxPO

从时间看,t时刻P点振动位移与时刻O点的振动位移相同；从相位看，t时刻P点的相位与时刻O点的振动相位相同;“-”号表示P点处质点振动相位较O点处质点相位落后P点波函数或波的表达式沿x轴正向传播的平面简谐波，设原点振动方程为：P点振动比O点振动晚沿x轴正向传播的平面简谐波波函数平面简谐波的波函数波函数的其它形式一、平面简谐波的波函数（波函数）yxxPO

上式为沿x轴正向传播的平面简谐波的波函数。二、几点重要说明：1.如果坐标原点的振动方程为则平面简谐波的波函数yxxPO

2.如果已知坐标为点的振动方程yxxPO

.xxPO

从时间看,t时刻P点振动位移与时刻O点的振动位移相同；从相位看，t时刻P点的相位与时刻O点的振动相位相同;“+”号表示P点处质点振动相位较O点处质点相位超前P点波函数或波的表达式3.沿x轴负向传播的平面简谐波，设原点振动方程为：P点振动比O点振动早沿x轴负向传播的平面简谐波波函数

(1)

当x=x0为定值，有y=y(t)表示x0处质点的振动方程三、波函数的物理意义yxxPO

下面我们以沿x轴正向传播的平面简谐波的波函数为例介绍：

(2)

当t=t0为定值，有y=y(x)给出了t0时刻不同质点离开平衡位置的位移，即该时刻的波形。yx任意两质点x1

和x2振动的相位差为：yxOx1x2三、波函数的物理意义

(3)

如果x和t

都在变化，表示不同时刻各质点的位移。如果知道波的传播方向和t时刻的波形图，我们可以：①画出下一时刻的波形；②得到各个质点振动速度方向。t时刻的波形Oyxt+Δt时刻的波形它说明波的传播是波形沿波传播方向以波速平移，即行波。三、波函数的物理意义四、关于波函数的问题波函数是本章的重要内容，关于波函数问题主要有两大类：第一类问题为已知波动方程，求波的波速、波长、周期、频率和波的振幅以及某一质点的振动位移和振动速度等。例1一平面简谐波沿x轴正方向传播，已知其波函数为

求：

①波的振幅、波长、周期及波速；

②x=5m处质点振动位移和速度。比较法(与标准形式比较）标准形式波函数为比较可得解：①波的振幅为②第二类问题为已知波的传播方向、波速、某一点振动方程等，求波函数及某一点振动位移和速度等。如图，在下列情况下试求波函数：(3)若

u沿x轴负向，以上两种情况又如何？例2

(1)以

A为原点；(2)以

B为原点；BA已知A点的振动方程为：

A点振动方程为：以A为原点，在x轴上任取一点P，AP距离为x则波函数为：解：PBA

(2)

B点为原点：以

A为原点：以

B为原点：波函数为:PBA

PBA

(3)若u沿x轴负向

一平面简谐波沿x轴正方向传播，已知振幅0.01m，周期为2.0s

波长为

2.0m。在t=0时，坐标原点处的质点位于平衡位置沿y轴的正方向运动。求:（1）波动方程；（2）x=0.5m

处质点的振动方程。 例3解：则波动方程为x=0.5m处质点的振动方程波速坐标原点处质点振动方程为由题意可知例4：已知：

,t=0的波形如图所示求：1.振幅、波长和波的周期。

2.波函数(波动表达式）?

解：1.由图可知由波速、波长及周期之间关系2.坐标原点处质点振动方程波函数为一、波的能量前面介绍了波的概念和波函数：波就是振动状态的传播。O点t时刻的振动状态P点P点在t时刻振动状态和O点在t-△t时刻振动状态相同！波的传播过程也是能量的传播，接下来我们讨论能量问题。研究波的能量时，把介质分成许多很小的体积元，如果知道每个体积元波的机械能，则所有体积元机械能的和就是波在介质中传播时的机械能。一、波的能量以细棒中的平面简谐波纵波为例讨论波的能量s,ρu

整个细棒分成许多体积很小部分，由于体积很小称为体积元。则所有体积元机械能的和就是波在细棒中传播时的机械能。其关键是求出任意一个体积元中波的能量。xx△xux△xxuxxy△x+△y

体积元中波的能量就是体积元的动能和势能之和。一、波的能量1.体积元的动能uxxy△x+△yux△xx

考虑体积元的动能时，由于体积元很小，可以把体积元看成质点，其振动动能就是体积元的动能，即介质密度为ρ与时间、位置有关，是一个具有周期性的变量2.体积元的势能可以证明：在同一体积元的动能和势能总是完全相等，且同相位的。即一、波的能量ux△xxuxxy△x+△y体积元本身形变具有的势能，为体积元的势能，即体积元总机械能△E周期性的变量上下抖动振速=0v振速最大v形变最小形变最大t时刻波形t+dt未起振的体积元定性分析以绳中横波为例将一软绳划分为多个长度相等的体积元波动中各体积元产生不同程度的弹性形变，具有弹性/形变势能pEr各体积元以变化的速率上下振动，具有变化的振动动能vEkr一、波的能量说明在波的传播过程中，介质中任一体积元的动能和势能总是等值同相的。xyOAB速度最小，形变也最小速度最大，形变也最大A点体积元的动能、势能同时达到最小；B点体积元的动能、势能同时达到最大。与弹簧振子的振动能量变化规律是不同的。一、波的能量说明⑵在波的传播过程中，介质中任一体积元的机械能不守恒,这说明了波是能量的传播。体积元的机械能uxxy△x+△y体积元机械能随时空周期性变化，表明体积元在波传播过程中不断吸收和放出能量；因此，波动过程是能量的传播过程。波动过程中能量的传播速度也是波速。二、波的强度体积元的机械能

在波的传播过程中，单位体积介质中的机械能称为波的能量密度，用w表示波的能量密度也是时间和空间的函数。1.能量密度：2.平均能量密度:

单位体积中的机械能在一个周期内的平均值，用表示平均能量密度与体积元的位置无关。（因为是平均值）由于具有周期性，一个周期的平均能量密度即可代表整列波3.波的强度单位时间内通过垂直于波传播方向上的单位面积上的平均能量。用I表示大小：单位：W/m2s对于给定介质，波的强度与频率和振幅的平方成正比对于给定介质，同一列波而言，频率相同，波的强度仅与振幅的平方成正比三、波的衰减波的强度随传播距离的增加而减弱、振幅减小的现象。原因：⑴扩散衰减：波面增大，单位面积能量减小，球面波⑵散射衰减：由于散射，减小原来传播方向的能量⑶介质内摩擦力：转化为其他形式能量规律：μ是介质的吸收系数一、波的衍射亦称波的“绕射”、是波的重要特性之一。是指波在传播过程中，遇到障碍物或缝隙时传播方向发生变化，波可以绕过障碍物继续传播，这种现象叫做波的衍射。

障碍物或缝隙的宽度越小，而波长越大，则衍射现象就越明显。(1)知某一时刻波前，可用几何方法决定下一时刻波前；R1R2S1S2O二、惠更斯原理(1)行进中的波面（波前）上任意一点都可看作是新的波源（子波源）;(3)各个子波所形成的包迹，就是新波前。(2)所有子波源各自向外发出球面子波；说明(2)亦适用于电磁波，非均匀和各向异性媒质；(3)解释衍射、反射、折射现象；一、波的叠加原理1.波传播的独立性2.叠加原理几列波传播过程中在某一区域相遇时，各波保持它们各自的频率、波长、振动方向等特性不变，像未相遇一样继续沿原来的传播方向前进。

在波相遇区域内，任一质点的位移，为各波单独存在时所引起的位移的矢量和。n1n2二、波的干涉干涉现象

相干波相干条件频率相同、振动方向相同、相位相同或相位差恒定一般情况下，各个波的振动方向和频率均不同，相位关系不确定，叠加的合成波较为复杂。

本书仅讨论频率相同、振动方向相同、相位相同或相位差恒定两列简谐波的叠加。这样的两列波在空间相遇，某些点上的振动始终加强，某些点上的振动始终减弱的现象称为波的干涉。•••相干波源能产生干涉现象的两列波，称为相干波。产生相干波的波源，称为相干波源•三、干涉规律（重点）根据叠加原理可知，P点处振动方程为S1S2•

合振动的振幅P两波源发出的波单独传到P点，引起的位移分别：两相干波源S1、S2振动方程为波的叠加本质就是振动的合成特别注意：两个谐振动的合振动的振幅取决于两个分振动的相位之差，即回顾一下相位差当称为干涉加强当称为干涉减弱•

空间点振动的情况分析P讨论干涉加强

若干涉减弱两波源发出的波在P点相遇，所走过的路程之差，称为波程差P例：如图A、B两点为相干波源，振幅皆为5cm，频率为100Hz，两波源初相差为。波速为10m/s，试求P点的干涉结果。20m15mABP解：由图可知AP=15mA、B在P点的相位差故：P点因干涉而静止。例：两个相干波源A、B的初相相同，频率均为550Hz，振幅均为0.5m，波源发出波的波速为330m/s，A、B发出的波在两者之间连线P点相遇，AP=12m，BP=15m，则相遇点P处的合振幅为[]

A.1mB.0.5mC.0D.2m解：合振幅取决于相位差相遇点P处的合振幅A、B为两相干波源，距离为10m，振幅相同，

相同，初相差为

,u=400m/s,ν

=100Hz。例A、B连线上因干涉而静止的各点位置。求解BAP10mr1r2即在A、B

连线上外侧干涉加强，不会出现静止点在A、B

连线上外侧则P在A、B中间BAPr1r210m干涉减弱在A，B之间距离A点为

r1

=1，3，5，7，9m处出现静止点一.弦线上的驻波实验波腹波节两列振幅相等、传播方向相反的相干波叠加形成驻波(a)(b)(c)OOOBBBC1C2C3C1C2D1D4D2D3D1D2D3实验发现驻波有以下特点：①无波形移动，是一种特殊振动。②波节：始终静止不动。③波腹：振幅最大的点。④相邻波节（或波腹）之间距离都是二、驻波方程（掌握上述驻波运动方程或波函数获得方法）说明：⑴驻波是一种特殊振动；驻波方程

⑵驻波方程中与时间无关，只与质点的位置有关，其绝对值表示各点的振幅；⑶驻波方程中是时间的函数，表明各位置上质点都在做同频率的简谐振动。例：入射波与反射波在一根很长的细线上传播，它们的表达式为求：驻波方程解：由波的叠加原理驻波方程为驻波方程表明所有质点做角频率为5π的简谐振动，不同位置的质点的振幅不同。三、驻波的特点⒈波腹和波节各点都做同频率的简谐振动，但各点振幅不同。波腹（振幅为2A）位置满足：相邻两个波腹之间距离为：波节（振幅为0）位置满足：相邻两个波节之间距离（称为波段）为：0λ/4λ3/4⒉驻波的相位特征波节将媒质划分为λ/2的许多波段，每段中各质点的振动振幅不同，但相位皆相同。而相邻波段间各质点的振动相位相反；即驻波中不存在相位的传播。⒊

驻波的能量势能动能势能没有能量的定向传播。能量只是在波节和波腹之间，进行动能和势能的转化。

最大位移处，v=0，Ek=0,波节两侧振动相反，波节形变最大，Ep最大；能量在波节处以势能存在。平衡位置时，v最大，Ek最大；形变消失，Ep=0；能量在波腹附近以动能存在。例：

两个波在一根很长的细线上传播，它们的表达式为求：⑴证明细线作驻波式振动；⑵波节和波腹的位置；

⑶求波腹处和x=1/3m处振幅。解：⑴合成波的表达式为满足驻波方程，所以为驻波。⑵波节：波腹：⑶波腹处振幅为A=0.12m；x=1/3m处振幅为一、声速频率在20Hz~20kHz的机械波，可引起人耳的听觉，这样的机械波叫声波。频率低于20Hz的机械波，不可引起人耳的感觉，这样的机械波叫次声波。频率高于20kHz的机械波，不可引起人耳的感觉，这样的机械波叫超声波。晕船、晕车、次声武器。声波在弹性介质中的传播速度，称为声速。影响声速大小主要是介质的弹性和密度及介质的温度。二、声压、声阻抗声强声压：（以空气为例）有声波时的压强p与没有声波的压强p0之差。空间各点声压随时间周期性变化声阻抗：介质的密度与声波在该介质中传播速度的乘积为该介质的声阻抗，简称声阻，用Z表示。即：声阻抗是反映介质声学特征的物理量。声压和声阻抗概念适合一切机械波，包括超声波、次声波。

介质

声速

(m/s)

密度

(kg/m3)

声阻抗

(kgm-2s-1)

空气344(20℃)1.214.16102

水1480(20℃)988.21.48106

脂肪14009701.36106肌肉157010401.63106几种介质的声速和声阻抗声强:

单位时间内通过与声波传播方向垂直的单位面积的声波的平均能量。三、声波的反射与折射（适用于超声波）在声波中，关心反射波（回波）和折射波（透射波）的强度。定义：称为反射系数称为透射系数反射系数和透射系数由入射角和两种介质的声阻抗决定。一般情况下很复杂杂，下面介绍一特殊情况下反射系数和透射系数。不考虑介质吸收：则反射波：回波或回声折射波：透射波Z1Z2IiIt反射系数：透射系数:（1）当或即两种介质声阻抗相差较大时，有能量几乎都被反射回去。Z1Z2说明：垂直入射：声波垂直入射到两介质的分界面（2）当即两介质声阻抗相近时，有能量几乎都透射到第二媒质中。Z1Z2Ir在垂直入射条件下，入射角为零，反射角和折射角也均为零。

例：超声波由空气进入人体，则进入人体的声波强度是入射前强度的百分之几？如果经蓖麻油（Z=1.36106）传入，则进入声波的强度是多少？Z空气=0.0004106，Z人=1.63106解：1）由空气进入2）如果经蓖麻油进入这说明：超声诊断和治疗时，为了使超声波进入人体，要在探头和体表之间抹液体状的导声耦合剂。人体探头空气层人体液体耦合剂液体耦合剂应满足的条件：其声阻抗同人体组织声阻抗相近！四、听觉区域一定频率的声波（20Hz~20kHz）声强必须达到一定值，才能被人耳感觉到。如1kHz的声音，最低强度10-12W/m2。100Hz的声音，最低强度10-9W/m2。决定人耳对声波反应的因素：声频、声强。听阈：能够引起人耳听觉的最小声强值。对1kHz的声波，能引起人耳听觉的最低声强为10-12W/m2。即1kHz的声波的听阈为10-12W/m2痛阈：人耳能够忍受的最大声强值。对于1kHz声波能够忍受的最大声强值为1W/m2，超过此值人耳感到疼痛。即1kHz

声波的痛阈为1W/m2对于不同频率的声波（声音）其听阈是不同的。对于不同频率的声波（声音）其痛阈是不同的。02040608010012020100100010000110-210-410-610-810-1010-12声强(W/m2)声强级（dB)频率(Hz)听阈曲线痛阈曲线0120方方听阈曲线：听阈随声音的频率变化曲线痛阈曲线：痛阈随声音的频率变化曲线听觉区域：声强在听阈曲线与痛阈曲线之间，频率在20Hz~20000Hz之间的区域。在听觉区域内，声强相差是很大，1kHz的声音，听阈I=10-12W/m2，痛阈I=1W/m2。两者相差1012倍。人耳主观上不能分辨1012个等级。声强级：单位：贝尔（B），如果采用分贝（dB）做单位，则五、声强级定义：如果某一声波的声强为I，则该声波的声强级L为

例：1kHz的声音，听阈I=10-12W/m2，痛阈I=1W/m2，其对应声强级分别为多少？例：在教室中讲课的声强为10-6W/m2，求声强级。解：例：某种马达开动时产生的噪音为10-7W/m2,求（1）开动一台马达，其噪音为多少dB?(2)开动两台马达，其噪音为多少dB?解：解：听阈对应的声强级为痛阈对应的声强级为⑴⑵几种声音的声强和声强级声源声强级（dB）火车或大汽车闹市65轻声响的收音机40耳语树叶微动声强（W/m2)10-12010-102010-8

日常谈话3.2×10-610-57010-390产生痛觉1120对1kHz的声音，听阈I=10-12W/m2，痛阈I=1W/m2。人耳不能分辨1012个等级。但引入声强级后，声强级把声强从10-12W/m2~1W/m2分成12个等级，刚好和正常人耳听起来的响度一样。(100Hz,37dB)这个声音与

(1000Hz,0dB)声音给人耳造成的感觉一样，则这两个声音响度级均为0方。响度相同点所组成的曲线叫等响曲线。响度级：频率为1000Hz纯音的响度级数值上等于其声强级的大小。响度级的单位用方（phon)表示。例：对于1KHz声音，其听阈响度级为0方，痛阈响度级为120方六、响度级和等响曲线声音的响度不但取决于声强，也与声音的频率有关。声强或声强级相同，但频率不同的声音，响度可能相差很大。为了比较不同声音响度的大小，引入响度级的概念。响度级仅给出了1kHz声音的响度级，其它频率的响度级如何定义？对于其它频率的声音其响度级规定如下：该声音与1kHz声音进行比较，如果和1kHz某一声强级的声音等响，则两者具有相同的响度级。声源频率接收频率

人耳听到的声音的频率与声源的频率相同吗？讨论当汽车驶近时，行驶的声音越来越尖锐；汽车远离时，行驶的声音越来越低吟。音调：由频率决定，频率越高音调越高，频率越低音调越低。多普勒效应:当观察者与波源相对静止时，观察者收到的频率等于波源的频率；当观察者与波源相对运动时，观察者收到的频率不等于波源的频率。多普勒（1803-1853），奥地利物理学家几个重要物理量：1、声源频率（f0）：声源完成一次全振动，向外发出一个波长的波。声源频率表示单位时间内完成的全振动的次数，因此声源的频率等于单位时间内声源发出的完整波的个数。2、观察者接收频率（f）：是单位时间内观察者接收到的完整波的个数。3、声速（u）：声波在介质中的传播速度，与声源、观察者运动无关。4、声源速度（vs）5、观察者速度（vo）一声源静止，观察者运动（）观察者接收的频率观察者向声源运动观察者远离声源运动观察者收到的频率大于声源频率观察者收到的频率小于波源频率二声源运动，观察者静止（）A观察者接收的频率波源向观察者运动观察者收到的频率大于波源频率波源远离观察者运动观察者收到的频率小于波源频率三波源与观察者同时相对介质运动（）波源与观察者相向运动波源与观察者相背运动四声源与观察者不沿二者连线运动S

O

例：火车鸣笛匀速行驶，观察者在铁路旁，测得火车驶来时汽笛声频为440Hz，火车驶去时汽笛声频为392Hz，试计算火车速度。（空气中声速为330m/s）解：观察者静止v0=0，火车速度vs，汽笛频率为f0，火车驶来时观察者测得汽笛声频为f

1=440Hz

火车驶去时观察者测得汽笛声频为f

2=392Hz例利用多普勒效应监测车速，固定波源发出频率为100kHz的超声波，当汽车向波源行驶时，与波源安装在一起的接收器接收到从汽车反射回来的波的频率为110kHz.已知空气中的声速为330m/s，求车速.

解:(1)波源静止，车为观察者，接收频率为

(2)车为波源，向接收器运动，接收器静止，接收器接收频率为车速五超声多普勒测血流仪vf0f2

RBC收到的频率f1把RBC当成声源，发射频率为f1探头收到的频率f2探头发射的频率f0多普勒频移由于u>>v，探头一、超声波的产生与接收压电效应：某些晶体（石英等），受到外界压力或拉力

作用时，在晶体受压或受拉的两个表面出现等量正负电荷现象，亦称压电效应(亦称正压电效应）。+++---+++---说明:⑴产生正负电荷的量与施加的外力大小成正比；⑵外力去掉后，产生的正负电荷消失；⑶具有压电效应的晶体称为压电晶体.压电晶体压电晶体晶体电致伸缩效应（逆压电效应）：当压电晶体两个表面加上电压时，晶体的厚度将沿电场的方向发生变化。高频信号发生器压电晶体+++++-----高频信号发生器压电晶体+++++-----压电晶体说明：⑴压电晶体厚度变化与施加电压大小成正比；⑵电压消失，压电晶体形变消失.信号发生器+++++-----结论:压电晶体在正弦信号作用下做同频率的简谐振动.超声波的产生：当把压电晶体放入高频电场中时，它就会按照电压的频率伸缩，在介质中产生超声波。超声波高频信号发生器探头：是在压电晶体两个表面镀一层很薄的金属膜（如银）并引出导线构成，可产生超声也可接收（探测）超声.探头t说明：⑴利用压电晶体的电致伸缩效应产生超声波；⑵产生超声波的频率等于高频信号的频率；⑶高频信号发生器工作可以是连续的，也可以是间歇式工作。超声波的接收：超声波探头说明：⑴利用压电晶体的压电效应来接收超声波；⑵接收超声波实质是把接收的超声波转化为同频率的电压信号；t二、超声波的特性1）方向性强：和红外线差不多，可以像光线一样直线传播，易会聚和发散。2）声波强度大：3）对液体和固体的穿透性强：超声波对液体和固体穿透能力很强，可以穿透几十米厚的金属层，但对气体穿透力很弱.4）反射强:由于波长很短，超声波在遇到不同介质界面时会产生显著的反射.由于超声波的频率非常高（临床诊断和治疗中使用超声波频率一般在数百万Hz），因此超声波具有以下特性：1000KHz的超声波比1KHz声波的声强大100万倍.超