土力学：第4章 土体中的应力

第四章土体中的应力迪拜风帆酒店（七星级、楼高340米）迪拜塔（楼高828米，169层，比台湾101楼还要高出321米）世界第一高楼上海中心大厦，632米、121层

中国第一高楼天津富力广东大厦（439米）

中国第二高楼重宾保利（楼高290米，58层，又名大拇指）重庆第一高楼华西村龙希国际大酒店（楼高328米，74层，30亿人民币，又名黄金屋）中国农村第一高楼建筑物基础地基建筑物的受力传递路线重中之重如果地基出了问题，结果如何？？应力是材料发生破坏的根本原因本章的主要内容：

1、土的自重应力

2、基底压力

3、地基（土体）中的附加应力4、有效应力原理5、应力路径—应力变化的描述（一）物体内一个点的应力状态6个应力分量：M1、土的自重应力①平衡微分方程；②几何方程；③物理方程（本构关系）；④边界条件①②③④边界条件：应力边界；位移边界和混合边界6个应力分量6个应变分量3个位移分量15个未知数，15个方程。（二）土的自重应力（1）土体中的应力产生的原因有两个：自身重量引起的自重应力

其他荷载引起的附加应力（2）土的自重应力①定义：由土体本身的有效重量而产生的应力。地下水位以上用自然容重

地下水位以下用浮容重

’o地面zZIIh1zh2h3地面（a）一层土的情况（b）多层土的情况②竖直方向的自重应力③水平方向的自重应力土的侧压力系数泊松比2、基底压力

定义：上部荷载通过基础传递给地基，在地基表面处产生的压力称为基底压力，也叫接触压力（单位KPa）基础地基（3）偏心斜向荷载（1）中心荷载（2）偏心荷载（1）矩形（2）条形基础形状荷载种类（1）中心荷载

R-作用在基础上的荷载，KNR

A-基础面积，m2

p

–基底压力，kPa（a）矩形基础（b）条形基础（长度大于宽度5倍）

R1

–沿基础长度方向所受的单位长度上的荷载，KN/m

B-基础宽度，m（2）偏心荷载RpmaxpminRpmax

e–合力R的偏心距，m

B-基础宽度，m

A-基础面积，m2（a）矩形基础BLoxye⊕BLoxye⊕（b）条形基础

R1

–沿基础长度方向1m所受的合力，KN/m

B-基础宽度，mR1pmaxBoxyepmaxpminR1（3）偏心斜向荷载偏心斜向荷载：水平荷载＋垂直荷载

垂直荷载Rv

按照前面讲的进行计算；

水平荷载RH产生的基底压力，则分为两种情况：RHpH①假设水平向的基底压力PH为均匀分布：②假设水平向的基底压力PH与该点的铅直向基底压力Pv成正比：RRvRHaRv3、地基土中的附加应力定义：基底以下土体中任一点处、由基底压力引起的应力，称为地基中的附加应力。(一)铅直集中荷载作用下地基中的附加应力(布西奈斯克Boussinesq解，1885

年)K

—

铅直向附加应力分布系数，无因次（查图）

布辛奈斯克（Boussinesq

）法国著名物理家和数学家，对数学物理、流体力学和固体力学都有贡献。Valentin

JosephBoussinesq

(1842-1929)问题：（1）集中力引起的附加应力分布规律？（2）应力泡？（3）多个集中力作用下的附加应力计算？(二)水平集中荷载作用下地基中的附加应力(西罗第Cerruti解，?

年)θ

a

R

(三)矩形基础的附加应力（1）均匀分布铅直荷载作用下zxyCBLpKc—

均布铅直荷载对矩形地基角点C下的附加应力分布系数，无因次（查表）角点法问题：（1）如何用角点法求矩形基础中心位置下的地基土中附加应力？

简化后得出：

利用角点法计算任意位置下的附加应力MⅠⅡⅢⅣ（a）MⅠⅡ（b）（c）Mabgfhedc(a)矩形内任一点M之下的附加应力：(b)矩形边界上任一点M之下的附加应力：(c)矩形外任一点M之下的附加应力：注意：划分后的长、宽边！！（2）三角形分布铅直荷载作用下zxyCBLptKc—三角形铅直荷载对矩形地基角点C下的附加应力分布系数，无因次（查表）pt—三角形铅直荷载中的最大值问题：（1）三角形分布铅直荷载的矩形基础，如何求最大荷载边上一点处的地基土中附加应力？（3）均匀分布水平荷载作用下Kh—均布水平荷载对矩形地基角点A和C下的附加应力分布系数，无因次（查表）ph—均布水平荷载问题：（1）水平分布荷载作用下，矩形基础短边B的中心连线处的附加应力的大小如何确定？zxyABLphC（4）梯形分布的铅直荷载及均布水平荷载同时作用下P’①②③(四)条形基础的附加应力（1）均布铅直线荷载情况---弗拉曼解（Flamant）P0—单位长度的线荷载，KN/m任意一点（2）条形均布铅直荷载情况堤、坝、挡土墙下地基土中任意一点的竖向应力—附加应力分布系数，无因次（查表）B（3）三角形分布的铅直荷载情况zptxzptB—附加应力分布系数，无因次（查表）（4）均分布水平荷载的情况zxyABph

—附加应力分布系数，无因次（查表）Ph—均布水平荷载C（5）梯形分布的铅直荷载①②③B（四）土中附加应力的其它问题1.00.90.80.70.60.50.4（1）附加应力的分布规律应力泡（2）实际工程中土体中的应力的分布规律—数值计算边坡应力与位移矢量图圆孔板受力后的周边应力分布规律4、有效应力原理计算应力的目的土体的变形与强度并不取决于全部应力（总应力）土是散体介质：土粒、水、气问题：（1）三者如何来承担总应力？

（2）三者之间如何转化的？

（3）三者和材料（土）的变形与强度之间的关系？

太沙基1936年提出了：（1）有效应力原理

（2）饱和土的固结理论诠释：散体介质与连续固体介质之间应力-应变关系上的重大差异。（1）有效应力原理提出的背景外荷载总应力（2）有效应力原理的基本概念（太沙基1923年发现这个问题，1936年发表英文论文提出。）外荷载总应力

aaPsv接触点Ps①饱和土中两种应力形态孔隙水压力—承担法向应力，不能承担剪应力。颗粒间应力—颗粒之间接触面承担并传递的应力。A：Aw：As：土单元的a-a断面积颗粒接触点的面积孔隙水的断面积a-a断面竖向力平衡：有效应力σ1有效应力原理的表达式②有效应力原理的要点—两点饱和土体内任一平面上受到的总应力可分为两部分σ

和u，并且：土的变形（压缩）与强度的变化都只取决于有效应力的变化。一般地，有效应力已知总应力、测定孔隙水压，则计算孔隙水压力本身不能使土发生变形和强度的变化，叫中性应力。非饱和土，毕肖普（BishopA.W.）1960年提出了修正的有效应力公式：ua-气压，uw-水压（3）饱和土中孔隙水压力和有效应力计算自重应力情况

（侧限应变条件）静水位条件稳定渗流条件地下水位以下土水面以下土毛细饱和区

附加应力情况侧限应力状态轴对称应力状态等向压缩应力状态偏差应力状态自重应力情况（侧限应变条件）H1H2地面地下水位线σ=σ-uu=wH2u=wH2H1A（-)

静水位条件—地下水以下应力总应力σ

：单位土柱和水柱的总重量水位线以上：σ

=

z（σ

B=H1）水位线以下：σ=H1+sat(z-H1)(σA=H1+satH2)孔隙水压力u：静水压强u=w(z-H1)

uA

=wH2有效应力σ

：σ=-uZo水位线以上：σ==z(u=0)水位线以下：σ=-u=H1+(

sat-w)（z-H1）-

w(z-H1)

A点

：σA=H1+(sat-w)H2=H1+H2B有效应力分布曲线

H

1地面A地下水位H1H2u=wH2σ=σ-u(-)u=wH2地下水位下降引起σ增大的部分自重应力情况（侧限应变条件）

静水位条件—地下水下降，A点应力总应力σ

：单位土柱和水柱的总重量σA=

H

1+

satH

2孔隙水压力u：静水压强uA

=wH

2有效应力σ

：σA=-u

=H

1+(sat-w)H

2=H

1+H

2原地下水位地下水位下降会引起σ

增大，土会产生压缩，这是城市抽水引起地面沉降的一个主要原因。两者之差：ΔσA

=(H

1+H

2)-(H1+H2)=(-)

ΔH>0ΔHZo自重应力情况（侧限应变条件）

静水位条件—水面以下应力分布总应力σ

：单位土柱和水柱的总重量σA

=

wH1+satH2孔隙水压力u：静水压强u

=wz有效应力σ

：σ=-u=(z-H1)σA=H1+satH2-[w(H1+H2)]

=H2H1H2

=-uu=w(H1+H2)土体表面水位

wH1Au=w(H1+H2)(-)这就是水面以下土体不会因为水面的变化而产生变化。Zoσ

=

wH1+sat

(z-H1)uA

=w(H1+H2)A点:自重应力情况（侧限应变条件）

静水位条件--存在毛细饱和区总应力σ

：单位土柱和水柱的总重量③区—地下水位以下u=w[z–(H1+Hc)]B点：uB=0A点：uA

=wH2有效应力σ

：σ=-uH1H2σ=σ-u地面A毛细饱

和区u=wH2(+)(-)u=-wHcHcHu=wH2(+)(-)H1

H1+satHc②区--毛细饱和区u

=-w（H1+Hc-z)C点：

uc=-wHcB点：uB=0负的孔隙水压力！！Zo有效应力分布曲线②①③BC①区：σ=zC点

σc=H1②区：σ=H1+sat(z-H1)

B点

σB=H1+satHc③区：σ=H1+sat(z-H1)

A点

σA=H1+satH①区:σ=σ=zC点

σc=H1②区:σ=H1+wHc+(z-H1)

C点

σc=H1+wHcB点

σB=H1+satHc③区:σ=H1+wHc+(z-H1)

A点

σA=H1+satH-wH2孔隙水压力u自重应力情况（侧限应变条件）稳定渗流条件——两种工况HΔh砂层（排水）

sat向下渗流HΔh砂层(承压水)粘土层

sat向上渗流（1）按含水层性质分类，可分为：孔隙水、裂隙水、岩溶水。（2）按埋藏条件不同，可分为：上层滞水、潜水、承压水。潜水：埋藏在地表以下、第一个稳定隔水层以上、具有自由水面的重力水。自重应力情况（侧限应变条件）稳定渗流条件——向上渗流，A点有效应力A土水整体分析总应力σ：单位土柱和水柱的总重量σ=satH

孔隙水压力：净水压强u=w(H+h)

有效应力：σ=-u=satH-

wH-

w

h

=H-w

h渗透压力，向上渗流使得有效应力减小（生产流土、管涌）HΔh砂层(承压水)粘土层

sat向上渗流自重应力情况（侧限应变条件）稳定渗流条件——向下渗流，A点有效应力A土水整体分析总应力σ：单位土柱和水柱的总重量σ=satH

孔隙水压力：净水压强u=w(H-h)

有效应力：σ=-u=satH-

wH+w

h

=H+w

h渗透压力，向下渗流使得有效应力增加，可导致土层发生压密变形，称渗流压密HΔh砂层（排水）

sat向下渗流自重应力情况（侧限应变条件）稳定渗流条件——向上渗流，A点有效应力

孔隙水压力：净水压强u=w(H+h)

有效应力：自重应力+渗透力HΔh砂层(承压水)粘土层

sat向上渗流A取土骨架为隔离体σ=H-w

h自重应力:渗透应力:总应力：

=+u=H-w

h+w(H+h)=satH

附加应力情况两种简单的情形：侧限应力状态轴对称三轴应力状态附加应力z土骨架有效应力孔隙水孔隙压力u外荷载土骨架＋孔隙水超静孔隙水压力等向压缩应力状态偏差应力状态

附加应力情况侧限应力状态一一维渗流固结

现实背景：大面积均布荷载侧限状态的简化模型pσz=p

不透水

岩层饱和

压缩层pK0pK0p土体不能发生侧向变形，称侧限应力状态（自重应力）p不变形的钢筒简化

附加应力情况侧限应力状态一一维渗流固结，太沙基渗压模型①钢筒②弹簧③水体④带孔活塞⑤活塞小孔大小渗透固结过程初始状态边界条件一般方程物理模型p①侧限条件②土骨架③孔隙水④排水顶面⑤渗透性大小土体的固结p

附加应力情况侧限应力状态一太沙基渗压模型p附加应力:

z=p超静孔压:u=z=p有效应力:

z=0附加应力:σz=p超静孔压:u<p有效应力:σz>0

σz+u=σz=p附加应力:σz=p超静孔压:u=0有效应力:σz=p固结过程中，u和

随时间变化，固结过程的实质就是土中两种不同应力形态的转化过程超静孔压力u是由外荷载引起的，它是超出静水位以上的那部分孔隙水压力，

u总=u静+u超静侧限条件t=0时的超静孔压在数值上等于外荷载增量，也即，孔压系数：土体在受到外荷载后，产生超静孔隙水压力，超静孔隙水压力随时间逐步消散，土体骨架的有效应力逐渐增加，这一过程称土体的渗流固结。

附加应力情况侧限应力状态一一维渗流固结

孔压系数B：指土体不排水、不排气的条件下，由外载荷引起的孔隙压力增量与应力增量（以总应力表示）的比值。表征孔压对总应力变化的反映。

轴对称三轴应力状态

1

3

2

1﹥2=3三轴应力状态等向压缩应力状态偏差应力状态土体中一点应力，可分解为两种应力状态：等向应力和偏差应力

1

3

2三轴应力状态等向压缩应力状态偏差应力状态

3

3

3

1-3

1-3==++uuBuA

轴对称三轴应力状态土体中一点应力，可分解为两种应力状态：等向应力和偏差应力轴对称三轴应力状态-等向压缩应力状态--孔压系数B土骨架在有效附加应力：

’

=

3-

uB

作用下，体积应变εv

为：

ΔVs=εvVo又体积应变为：εv=

ε1

+ε2

+ε3

又：ε1

=ε2

=ε3，而：

令：则土骨架体积变化：孔隙流体在

uB作用下的体积变化：不排水、不排气，则：

ΔVs=ΔVv

3

3

3uB体积V孔隙率n孔隙流体和土骨架为弹性体，其体积压缩系数分别为Cf和Cs

uB孔隙流体产生的超静孔压Cs--土骨架的体积压缩系数Cf–孔隙流体的体积压缩系数。孔压系数

讨论孔压系数B

表示单位周压力增量所引起的孔压力增量

饱和土，Cf=Cw

（水的压缩系数），Cw远小于Cs，Cw/Cs≈0

B1.0

干土，孔隙中全部为空气，空气的压缩性非常大，Cf/Cs

∞，B=0

非饱和土：B值介于0-1之间；B值与土的饱和度Sr有关。轴对称三轴应力状态-偏差应力状态--孔压系数A

1-300

uA体积V孔隙率n孔隙流体和土骨架为弹性体，其体积压缩系数分别为Cf和Cs

uA孔隙流体产生的超静孔压有效附加应力：轴向侧向总应力增量：

1-30

1-3-uA-uA

土骨架体积变化：孔隙流体的体积变化：胡克定律轴对称三轴应力状态--偏差应力状态--孔压系数A不排水、不排气，则有：ΔVs=ΔVvA为孔压系数讨论孔压系数A：对于线弹性体:A=1/3剪胀：A1/3剪缩：A﹥1/3A是一个反映土体剪胀性强弱的指标，其大小与土性有关。A不是常数，随加载过程而变化。对饱和土,B=1轴对称三轴应力状态三轴应力状态：等向压缩应力状态：偏差应力状态：u=uB+

uA

附加应力情况固结模型与孔压系数A、B关闭排水阀门，连接孔压传感器，施加围压

，量测超静孔隙水压力

uB施加(

1-

)进行剪切时，关闭排水阀门，用孔压传感器量测剪切过程中产生的超静孔隙水压力

uA试样加载围压力

3排水阀门阀门马达顶梁量力环百分表（轴向位移）量水管孔压量测

不固结不排水试验（UU）

附加应力情况轴对称三轴应力状态—孔隙水压力测试5、应力路径—应力变化的描述应力历史：土在形成的地质年代中所经受的应力变化情况；应力水平（剪应力水平）：在应力的变化过程中达到的最大剪应力与抗剪强度的比值（

max/

f）。应力路径：与主应力面成450角的斜面上的应力为代表，该应力在摩尔圆上表示为一点，该点的移动轨迹称为应力路径。为简便，在绘制应力路径时，常把

~

坐标改换成p~q坐标。

一、应力路径的概念土体