《备考指南 理科数学》课件-第6章 第2讲

第六章第2讲[A级基础达标]1．(2018年成都模拟)在等差数列{an}中，若a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝150，则a5的值为()A．75 B．50C．40 D．30【答案】D2．已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8＝4S4，则a10等于()A．eq\f(17,2) B．eq\f(19,2)C．10 D．12【答案】B3．(2018年宁德二模)已知等差数列{an}满足a3＋a5＝14，a2a6＝33，则a1a7＝()A．33 B．16C．13 D．12【答案】C4．(2018年安徽模拟)已知等差数列{an}中，a2＝－1，前5项和S5＝－15，则数列{an}的公差为()A．－3 B．－eq\f(5,2)C．－2 D．－1【答案】C5．(2018年咸阳二模)等差数列{an}前n项和为Sn，若a4，a10是方程x2－8x＋1＝0的两根，则S13＝()A．58 B．54C．56 D．52【答案】D6．《张丘建算经》卷上第22题——“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加()A．eq\f(4,7)尺 B．eq\f(16,29)尺C．eq\f(8,15)尺 D．eq\f(16,31)尺【答案】B【解析】设该女子织布每天增加d尺，由题意知S30＝30×5＋eq\f(30×29,2)d＝390，解得d＝eq\f(16,29).故该女子织布每天增加eq\f(16,29)尺．故选B．7．(2018年北京二模)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S2＞S3，则{an}的通项公式可以是________．(只需填写一个符合条件的通项公式)【答案】an＝－n＋2(答案不唯一)【解析】设等差数列{an}的公差为d，由a1＝1，S2＞S3，得2＋d＞3＋3d，解得d<－eq\f(1,2).不妨取d＝－1，可得an＝1－(n－1)＝－n＋2.所以an＝－n＋2.8．在等差数列{an}中，a5＝3，a6＝－2，则a3＋a4＋…＋a8＝________.【答案】3【解析】因为{an}是等差数列，所以a3＋a4＋…＋a8＝3(a5＋a6)＝3.9．(2018年资阳模拟)在等差数列{an}中，a1＝22，Sn是它的前n项和，且S4＝S8.(1)求数列{an}的通项公式；(2)这个数列前多少项的和最大？并求出这个最大值．【解析】(1)由S4＝S8，得a5＋a6＋a7＋a8＝0.由等差数列的性质，得a5＋a8＝a6＋a7＝0，即a1＋4d＋a1＋7d＝0，解得d＝－4.所以数列{an}的通项公式为an＝22＋(n－1)×(－4)＝26－4n.(2)由an＝26－4n≥0，得n≤eq\f(13,2)，所以a6＝2＞0，a7＝－2＜0.故这个数列前六项的和最大，最大值为eq\f(6×2＋22,2)＝72.10．已知等差数列{an}中，公差d＞0，其前n项和为Sn，且满足a2·a3＝45，a1＋a4＝14.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求f(n)＝eq\f(n,4)(an－17)(n∈N*)的最小值．【解析】(1)因为等差数列{an}中，公差d＞0，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2a3＝45，,a1＋a4＝14))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝5，,a3＝9))⇒d＝4⇒an＝4n－3.(2)因为an＝4n－3，所以f(n)＝eq\f(1,4)n(4n－3－17)＝n2－5n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(5,2)))2－eq\f(25,4)，所以当n＝2或3时，f(n)取得最小值－6.[B级能力提升]11．(2018年南平一模)各项均不为零的等差数列{an}中，若3aeq\o\al(2,n)－nan－1－nan＋1＝0(n∈N*，n≥2)，则S30＝()A．310 B．270C．210 D．180【答案】A【解析】因为an－1＋an＋1＝2an，所以由3aeq\o\al(2,n)－nan－1－nan＋1＝0，得3aeq\o\al(2,n)－n·2an＝0，解得an＝eq\f(2,3)n(舍去an＝0)．所以Sn＝eq\f(n\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)＋\f(2,3)n)),2)＝eq\f(nn＋1,3)，则S30＝eq\f(30×31,3)＝310.故选A．12．已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，若S12＝24，则a6·a7的最大值为()A．36 B．6C．4 D．2【答案】C【解析】在等差数列{an}中，因为S12＝6(a6＋a7)＝24，所以a6＋a7＝4.又a6>0，a7>0，所以a6·a7≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a6＋a7,2)))2＝4，当且仅当a6＝a7＝2时，取“＝”，即a6·a7的最大值为4.故选C．13．(2018年天津模拟)若数列{an}满足a1＝15，且3an＋1＝3an－4，则使akak＋1<0(k∈N*)成立的k的值为()A．8 B．9C．11 D．12【答案】D【解析】由3an＋1＝3an－4得an＋1－an＝－eq\f(4,3)，所以{an}是等差数列，首项a1＝15，公差d＝－eq\f(4,3)，所以an＝15－eq\f(4,3)(n－1)＝eq\f(49－4n,3).由akak＋1<0得eq\f(49－4k,3)·eq\f(49－4k＋1,3)<0，解得eq\f(45,4)<k<eq\f(49,4).因为k∈N*，所以k＝12.14．《九章算术》中有这样一段叙述：“今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里；驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马．”现有如下说法：①驽马第九日走了九十三里路；②良马五日共走了一千零九十五里路；③良马和驽马相遇时，良马走了二十一日．则错误的说法个数为()A．0个 B．1个C．2个 D．3个【答案】B【解析】根据题意，良马走的路程可以看成一个首项a1＝193，公差d1＝13的等差数列，记其前n项和为Sn；驽马走的路程可以看成一个首项b1＝97，公差为d2＝－0.5的等差数列，记其前n项和为Tn.依次分析3个说法：对于①，b9＝b1＋(9－1)×d2＝93，故①正确；对于②，S5＝5a1＋eq\f(5×4,2)×d1＝5×193＋10×13＝1095；故②正确；对于③，设第n天两马相遇，则有Sn＋Tn≥6000，即na1＋eq\f(nn－1,2)d1＋nb1＋eq\f(nn－1,2)d2≥6000，变形可得5n2＋227n－4800≥0，分析可得n的最小值为16，故两马相遇时，良马走了16日，故③错误.3个说法中只有1个错误．故选B．15．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－3，ak＋1＝eq\f(3,2)，Sk＝－12，则正整数k＝________.【答案】13【解析】Sk＋1＝Sk＋ak＋1＝－12＋eq\f(3,2)＝－eq\f(21,2)，又Sk＋1＝eq\f(k＋1a1＋ak＋1,2)＝eq\f(k＋1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3＋\f(3,2))),2)＝－eq\f(21,2)，解得k＝13.16．(2018年渭南模拟)设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意自然数n，都有eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(2n－3,4n－3)，则eq\f(a6,b1＋b9)＋eq\f(a4,b2＋b8)的值为________．【答案】eq\f(5,11)【解析】eq\f(a6,b1＋b9)＋eq\f(a4,b2＋b8)＝eq\f(a6,2b5)＋eq\f(a4,2b5)＝eq\f(2a5,2b5)＝eq\f(a1＋a9,b1＋b9)＝eq\f(\f(9,2)a1＋a9,\f(9,2)b1＋b9)＝eq\f(S9,T9)＝eq\f(2×9－3,4×9－3)＝eq\f(5,11).17．(2018年金华校级期中)等差数列{an}中，已知a2＝13，a7＝3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)当数列{an}的前n项和Sn取最大值时，求n；(3)求数列{|an|}的前n项和Tn.【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d，因为a2＝13，a7＝3，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋d＝13，,a1＋6d＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝15，,d＝－2.))所以an＝15－2(n－1)＝17－2n.(2)由an≥0，解得n≤8.所以当n＝8时，数列{an}的前n项和Sn取得最大值．(3)Sn＝eq\f(n15＋17－2n,2)＝－n2＋16n.当n≤8时，an＞0，|an|＝an，Tn＝Sn＝－n2＋16n.当n≥9时，an＜0，|an|＝－an，Tn＝a1＋a2＋…＋a8－a9－…－an＝2S8－Sn＝2×(－82＋16×8)－(－n2＋16n)＝n2－16n＋128.所以Tn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－n2＋16n，n≤8，,n2－16n＋128，n≥9.))18．已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a3·a4＝117，a2＋a5＝22.(1)求通项an；(2)求Sn的最小值；(3)若数列{bn}是等差数列，且bn＝eq\f(Sn,n＋c)，求非零常数c.【解析】(1)因为数列{an}为等差数列，所以a3＋a4＝a2＋a5＝22.又a3·a4＝117，所以a3，a4是方程x2－22x＋117＝0的两实根．又公差d＞0，所以a3＜a4.所以a3＝9，a4＝13.所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋2d＝9，,a1＋3d＝13.))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝4.))所以通项an＝4n－3.(2)由(1)知a1＝1，d＝4，所以Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)×d＝2n2－n＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(1,4)))2－eq\f(1,8).所以当n＝1时，Sn最小，最小值为S1＝a1＝1.(3)由(2)知Sn＝2n2－