《备考指南 理科数学》课件-第4章 第6讲

三角函数、解三角形第四章第6讲正弦定理、余弦定理及解三角形【考纲导学】1．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量、几何计算有关的实际问题．栏目导航01课前基础诊断03课后感悟提升02课堂考点突破04配套训练课前基础诊断11．正、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则b2＋c2－2bccosA

c2＋a2－2cacosBa2＋b2－2abcosC2RsinB

2RsinC

sinA∶sinB∶sinC

4．实际问题中的常用角(1)仰角和俯角：在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线__________叫仰角，目标视线在水平视线__________叫俯角(图1)．上方下方(2)方位角：从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫作方位角．如B点的方位角为α(图2)．(3)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等．(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值．【答案】D2．(2019年衡水月考)在△ABC中，已知a＝14，b＝16，A＝45°，则此三角形(

)A．无解 B．只有一解C．有两解 D．解的个数不确定【答案】C【答案】A4．(2018年泰州模拟)在△ABC中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC的面积为________．5．(教材习题改编)在△ABC中，若acosA＝bcosB，则这个三角形的形状为____________．【答案】等腰三角形或直角三角形1．已知三角形的两边和其中一边的对角，利用正弦定理求另一边的对角时易忽视解的判断．2．在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．3．利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制．4．易混淆方位角与方向角概念：方位角是指正北方向线与目标方向线按顺时针之间的夹角，而方向角是正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)：(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．(

)(2)在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B．(

)(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．(

)(4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．(

)(5)如图所示，为了测量隧道口AB的长度，可测量数据a，b，γ进行计算．(

)【答案】(1)×

(2)√

(3)×

(4)√

(5)√课堂考点突破2利用正弦、余弦定理解三角形【答案】(1)A

(2)C

(3)45°，30°，105°【规律方法】解三角形的一般方法：(1)已知两角和一边，如已知A，B和c，由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a，b.(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a，b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A＋B＋C＝π求另一角．(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a，b和A，应先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况．(4)已知三边a，b，c，可应用余弦定理求A，B，C．【答案】(1)D

(2)C与三角形面积有关的问题正弦、余弦定理的简单应用【考向分析】正弦、余弦定理在判断三角形的形状和求解三角形中有着广泛的应用，主要考查学生灵活运用定理解决与三角形有关的问题的能力．常见的考向：(1)判断三角形的形状；(2)求解几何计算问题．判断三角形的形状【答案】(1)A

(2)B求解几何计算问题【规律方法】(1)判断三角形形状的方法：①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．(2)求解几何计算问题要注意：①根据已知的边角画出图形并在图中标示；②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理．正弦、余弦定理在实际问题中的应用【规律方法】(1)利用解三角形解决实际问题时：①要理解题意，整合题目条件，画出示意图，建立一个三角形模型；②要理解仰角、俯角、方位角、方向角等概念；③三角函数模型中，要确定相应参数和自变量范围，最后还要检验问题的实际意义．(2)在三角形和三角函数的综合问题中，要注意边角关系相互制约以及题中的隐含条件．【跟踪训练】3．(2018年银川模拟)如图，气球A相对于BC所在地平面的高度是h，前方有一座桥梁，气球A带有一个测角器，试用测角器测得适当的角(用字母表示)，用测得的角度及h表示河流的宽度BC．【解析】如图所示，Rt△ABM中，AM＝h，测角器测得∠BAM＝α，则BM＝AMtanα＝htanα.Rt△ACM中，AM＝h，测角器测得∠CAM＝β，则CM＝AMtanβ＝htanβ，所以河流的宽度BC＝CM－BM＝h(tanβ－tanα)．课后感悟提升32种途径——判断三角形形状的途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边．并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．2个注意点——解三角形应注意的问题(1)在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解或无解，所以要进行分类讨论．(2)在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．2种情形——解三角形应用题的两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中