兰州市小学奥数系列8-2-1抽屉原理（二）

兰州市小学奥数系列8-2-1抽屉原理（二）

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小朋友，带上你一段时间的学习成果，一起来做个自我检测吧，相信你一定是最棒的!

一、（共35题；共160分）

1.（10分）在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被3整除？

2.（5分）“华罗庚”杯数学竞赛获奖的87名学生分别来自12所小学。试说明至少有8名学生来自同一所

学校。

3.（5分）从1,2,3,……49,50这50个数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被7整除，则

最多能取出多少个数？

4.（5分）边长为1的等边三角形内有5个点，那么这5个点中一定有距离小于0.5的两点.

5.（5分）（2018六下•云南月考）把若干个苹果放进9个抽屉里。不管怎么放，要保证总有一个抽屉里至

少放进4个苹果。那么至少应该有多少个苹果？

6.（5分）把7只小猫分别关进3个笼子里，不管怎么放，总有一个笼子里至少有多少只猫？

7.（5分）向阳小学有730个学生，问：至少有几个学生的生日是同一天？

8.（5分）在8x8的方格纸中，每个方格纸内可以填上1~4四个自然数中的任意一个，填满后对每个2x2

“田”字形内的四个数字求和，在这些和中，相同的和至少有几个？

9.（5分）有一个布袋中有40个相同的小球，其中编上号码1、2、3、4的各有10个，问：一次至少要取出

多少个小球，才能保证其中至少有3个小球的号码相同？

10.（5分）把12个乒乓球放入5个盒子，至少有3个乒乓球要放人同一个盒子。为什么？

11.（5分）把黑、白、蓝、灰四种颜色的袜子各12只混在一起。如果让你闭上眼睛，每次最少拿出几只才

能保证一定有一双同色的袜子?如果要保证有两双同色的袜子呢？

12.（5分）20道复习题，小明在两周内做完，每天至少做一道题.证明：小明一定在连续的若干天内恰好

做了7道题目.

13.（5分）在100张卡片上不重复地编上1~100,至少要随意抽出几张卡片才能保证所抽出的卡片上

的数之乘积可被12整除？

14.（1分）张老师说北京市的所有人中一定有两个人头发根数一样多.你觉得张老师说的话有道理吗？为什

么？（人的头发约有十万根）

15.（5分）某校六年级有367名学生，有没有两名学生的生日是同一天？为什么？

16.（5分）用红、黄两种颜色给2X5的长方形小格中随意涂色，每个小格中涂一种颜色。看一看，总有几

列小格中涂的颜色的完仝相同？

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17.（5分）从1至30中至少要取出几个不同的数，才能保证其中一定有一个数是3的倍数？

18.（5分）能否在10行10列的方格表的每个空格中分别填上1,2,3这三个数之一，使得大正方形的每行、

每列及对角线上的10个数字之和互不相同？对你的结论加以说明.

19.（5分）任意10个正整数，每一个都用9来除，其中必有两个余数相同.请说明你的理由.

20.（5分）光明小学有367名2000年出生的学生，请问是否有生日相同的学生？

21.（5分）用五种颜色给正方体各面涂色（每面只涂一种色），请你说明：至少会有两个面涂色相同.

22.（5分）从整数1、2、3、…、199、200中任选101个数，求证在选出的这些自然数中至少有两个数，其

中的一个是另一个的倍数.

23.（5分）五年级数学小组共有20名同学，他们在数学小组中都有一些朋友，请你说明：至少有两名同学,

他们的朋友人数一样多.

24.（5分）一副扑克有4种花色，每种花色13张，从中任意抽牌，最少要抽多少张才能保证有4张牌是同

一花色？为什么？

25.（5分）3个小朋友一起做游戏，试说明其中必有两个小朋友的性别相同。

26.（5分）黑、白、黄三种颜色的筷子各有很多根，在黑暗处至少拿出几根筷子就能保证有一双是相同颜色

的筷子？

27.（5分）一副扑克牌除去两张王牌共有52张，问至少要取出多少张牌，才能保证其中一定有3种或3种

以上花色？

28.（5分）有红、黄、黑、白四色小球各10个，混合放入一个盒子，每次至少摸出儿个，才能保证有2个

小球同色？为什么？

29.（5分）图书馆有A,B,C,D四种图书若干本，每人借一本书，至少要有多少个人借书，才能保证一定

有3人借的书相同？

30.（5分）任给11个数，其中必有6个数，它们的和是6的倍数.

31.（1分）红旗小学六（5）班有15人，至少有人是同一个月出生的？

32.（5分）平面上给定17个点，如果任意三个点中总有两个点之间的距离小于1,证明：在这17个点中必

有9个点可以落在同一半径为1的圆内。

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a-。；・

33.（1分）（2018•沧州）一个袋子里有红、白、蓝三种球各10个，至少取出________个球才能保证有2

个颜色相同的球。

34.（1分）口袋里装着5个黄球和3人黑球，那么摸到球的可能性大些，至少摸出个球，

才能保证其中有一个是黄球。

35.（1分）（2020四上-万源期末）小明不小心把7个数学作业本和4个语文作业本一起碰掉到了地上，他

先捡起了5个作业本，这5个作业本中一定有作业本，可能有作业本。

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参考答案

一、（共35题；共160分）

1-1、

解：因为任何我除以3，其余数只可能是0，1，2三种情形.我们将余数的这三种情形看成是三个一油庙.一个整牧除

以3的余数展于郡种情形，就将此骐傲在月阶“抽卮”里.将四个自然数放入三个抽卮，至少有一个揄局里放了不止一个

数,也就是说至少有两个数除以3的余数相同.这两个数的基疑被3整除•

解:87+12=7.・・・..3,7岂=8（名）

2-1、答：假如每个学校都有7人获奖，那么余下的3人无论是的都能保证S少科昭学生来自同一所学校.

3-1、

解：将1至50这50询，靖以7的^^为7类：[0]，用.[2],[3],[4]，回，⑹，所含为7

，8,7,7,7,7,7•被7除余1与余6的两个数之和是7的倍JK，所以取出的数只能是这两种之一；同样的，被7除余2

与余5的两个数之和是7的倍数，所以取出的数只能是这两种之一；薇7除余3与余4的两个数之和是7的倍数,所以取出的数只能

是这两种之一；两个数都是7的倍数，它们的和也是7的倍数,所以7的侑数中只能取1个.所以最多可以取出

8+7+7+1=23个

4-1、

*：2点的分布是任意的.如果要证明“在边长为1的等边三角形内（包括边界）有5个点,另吆这5个点中f有距离不大于

的两点,则顺次连接三角形三边中点，即三角形的三条中位线，可以分原等边三角形为4个全等的边长为的小等边三角形，则

沁点中的2点位于同一个4号边三角形中（包括边界），其距离便不大于0.5.可以继续拓展：边长为1的等边三角形内，若

有求+1个点,则至少存在2点距离小于1.

5-1、22

婚：7+3=2（只）.・・1（只）

2+1=3（R）;

答:怠有里至少有3只猫.

6-1、故答案为：3.

730+366=1.-364

1+1=2（个）

7-1、答：至少有2个学生的生日是同一^,

8-1、

解：先计算出在8x8的方格中，共有2x2"田"字形：7x7=49（个），在1~4中任取4个数（可以重夏）的和可以是

4〜16中之一，共13种可能，根据抽辰原理：49-13=3-10，至少有3+】=4个’田“字形内的数字和是相同的.

9-1、

解:将1、2、3、4四种号码看作4个搐屉，要保证f抽屉中至少育3个革果,最“坏.的情况是每个抽卮里有2个~苹果"，

共有：4*2=8（个），再取1个就喇足要求，所以一次至少要取B2小球，才能保证算卬至少有3个小理的号码相同.

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10-1

解:12+5=2-3,2n=3（个）

答：因为每个盒子里各放入2个乒乓球，另妫余下的乒乓球无论放入梆个盒子里，至少有3个乒乓球饕放入同f盒子里.

解：4，1=5因；4*3-1=133）

11—1、誓：至少拿出5只才能侯证一定有一双同色的袜子，如果鬟保证有两双同色的袜子，至少要取出13只.

12-1、

解:设小明第1忘了死诞，前了a:强,BU3^«K7a3吉，...・・・，前14^tt了n14台.显然^14=20,

而~的人于20.考虑。］,再，。3，。14及。1+7,/+7rflj+7，♦一,7这284SR,它们

27.

限据抽展原理，这28yty5中必有两个数相等.由于可，a2,为，……，互不相等，。］+7t。、+7,为+7,・“・・•・

o14+7也互不相等，因而这两个相好的数只能一个在前一蛆，另一个在后一组中，即有：勺=q+7,所以%一。产7.这

表明从第汁1天到第j天，小明恰好做了7道蹙.

13-1、

解：12=3x22,因为3的僦有［晋］=33个所冰是3的脸的数一幼100-33=67（个），67去

保证乘积是3的倍数,但是如果抽取68个数，4蚣定存在一WS3的倍数，又因为奇数只有50个.所以抽取的偶数至少

有18个，可以保证乘积是4的倍数，从而可以保证乘积是12的倍数.于是最少要抽取68张卡片才可以保证乘积可被12整

除.

14-1、

解：市的人口数肯定远远多于十万人，人的头发有十万根左右,根据抽屉原理，dtW的所有人中至少有两个人的头发根

数一样多，张老师的话是有道理的.

15-1、

解：把一年中的天数看成是抽屉,把学生人数看成是元森.把367个元素放到366个抽卮中，至少有一个抽卮中有2个元素，即

至少有两名学生的生日是同一天.

16.1、誓：思有2列小格中涂的质色完全相同.

解:在1至30中，3的＜«0^30+3=10（个），不是3的^«^30・10=20（个）,取出20+1=21个不同的数.

17-1、答：至少取出21个不同的故,才能保证其中一定有THR是3的*.

18-1

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解：大正方形的每行、每列及对角线上的字之和最小是10,最大是30.因为从10到30之间只有21个互不相同的物

值，把这21个互不相同的数值看作21个-抽辰一,而1网及两条对角线上的数字和共有22个郎K值，这样元崇的个数比

油展的个数多1个,根室抽卮原理可知,至少有两个和同属于一个抽屉,故要使大正方形的每行、每列及对角线上的10个皴字之

和互不相同是不可能的.

19-1、

解：被9台的数,余数只能是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9i玄9个数，如果要余数不用同，那么只能有9个数，那么第18

室牧的余数无论是几,都会和前面的某一个相同.

20-1、

解:-年最多有366天，在这366天中假设每一天都有一人过生日，倒骏必胃一人，无论这个人是事天过生日,郁有人与他相

同，则f有生日相同的学生.

21-1、

解:五种颜色最多只能涂5个不同籁色的面，因为正方体苒6个面，还有一个面要颉这五种颜色中的任意一种来涂，不管这个

面涂成“种颜色,都会和前面有一个面颜色相同，这样就有两个面会被涂上相同的颜色.

22-1、

婚：把这200个数分类如下：

(1)1*1x2，1X22»1*25，…，lx2Z•

⑵3,3'2»3x22*3x23…，3x2，，

⑶5,5x2»5x22»5X23…，5'2、»

(50)99,99x2，

(51)101,

(52)103,

(100)199,

以上共分为100类,即100个抽卮，显然在同T中的数者不少于两个，月弦这^中的任意两个数都有倍数关系.从中任取101个

数,根据抽应原理，一否少有两个数取自同T,因此其中的倍数.

23-1、

喉：20s同学每人都有朋友，最少有1个朋友,最多有19个朋友，着其中19个同学的朋友数各不相同，月弦最后一名同学无论

有几个朋友，都有同学和他的朋友数相同，则至少有两名同学的朋友数相同.

24-1、

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皖：4x3+2+l=15（张）

答：至少要抽15张才能保证有4张牌是同一花色.因为如果4张花色各抽出3张,再抽出大王和小王，共抽出1侬，另眩再抽出

-5^6是什么花色都能保证有缺牌是同一花色.

25-1、

解：把3个小朋友看做3个物体，因为人只有男、女两个性8!J,所以抽宸数有两个，如果每个抽局部有1个初体，月该还余1个物

体,这1个物体无论怎样放，都会有1个抽尿放2个他休了防以其中心有两个小朋友的性S娟间.

26-1、

婚:问蹙问的是要有一双相同颜色的筷子.把黑、白、黄三种颜色的筷子当作3个抽危,根娟抽卮原理，至少有4根筷子，才

能使其中一个抽屉里至少有两根筷子.所以，至少拿4根筷子，才能保证有一双是相同颜色的筷子.最“倒毒”原则：它们每

样各取一根，都凄不成双.教师可以拿其他东西做类似练习.

解：13*2+1=27廉）

27-1、答：至少要取出27张牌.

28-1、

解:4+1=5（个）

答：每次至少摸出5个，才能保证有2个球同色，因为有4种颜色,假设前4次每种颜色各摸出f,月隐第5次无论St出什么颜

色都能保证有2个球同色.

解：4x2+l=9（A）

29-1、答：至少饕有9人借书.

30-1

解：设这11个数为郁，g,与.....，由5代