山西省大同市大成双语学校2024-2025学年高二下学期2月月考数学试题（解析版）

第页，共页2024—2025学年第二学期高二年级2月份月考数学试题一、单项选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）1.已知甲部门有员工4人，乙部门有员工5人，丙部门有员工6人，现从这三个部门的员工中任选1人参加接待客户的活动，不同的选法种数为（）A.120 B.15 C.25 D.90【答案】B【解析】【分析】根据分类加法计数原理可得答案.【详解】根据分类加法计数原理可知，不同的选法种数为.故选：B.2.已知是椭圆的两个焦点，焦距为6.若为椭圆上一点，且的周长为16，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】运用椭圆定义和焦距性质可解.【详解】根据题意，焦距，.根据椭圆定义，周长为，解得.则离心率为.故选：C3.山东省高考改革后实施选科分班制度，小明需要从物理、化学、生物、政治、历史、地理中选择三科作为自己的选科组合，物理和历史不能同时选择，则小明不同的选科情况有（）A.14种 B.16种 C.18种 D.20种【答案】B【解析】【分析】根据题意，可分为三类：（1）若物理和历史同时不选；（2）若选物理，不选历史；（3）若不选物理，结合分类计数原理，即可求解.【详解】由题意，从物理、化学、生物、政治、历史、地理中选择三科作为自己的选科组合，且物理和历史不能同时选择，可分为三类：（1）若物理和历史同时不选，共有种选法；（2）若选物理，不选历史，共有种选法；（3）若不选物理，选历史，共有种选法；由分类计数原理，可得不同的选科情况共有种.故选：B.4.已知点Q在圆C：上，点P在直线上，则PQ的最小值为（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】【分析】先将圆C变形，求出圆心与半径，再由圆到直线的最小距离求法求出值，再减去半径即可求出直线上的点到圆的最小距离.【详解】圆中圆心为，半径，圆心到直线的距离：，则，故选：A．5.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，其中一个场馆去1人，一个场馆去2人，一个场馆去3人，则不同的安排方法共有（）A.360种 B.120种 C.60种 D.30种【答案】A【解析】【分析】根据分组分配，结合排列组合即可求解.【详解】依题意从6同学中选出1人安排到一个场馆有，再从剩余5人安排2人到一个场馆是，最后剩余3人安排到一个馆，根据分步乘法原理，不同安排方法共有种．故选：A．6.三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现对该图进行涂色，有5种不同的颜色提供选择，相邻区域所涂颜色不同.在所有的涂色方案中随机选择一种方案，该方案恰好只用到三种颜色的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】所有的涂色方案分3类，利用排列组合求出涂色方法，再利用古典概型的概率计算公式求解即可.【详解】所有的涂色方案分3类：(1)用到三种颜色，为⑤一种颜色，①③同色，②④同色，涂色方法为；(2)用到四种颜色，为⑤一种颜色，①③不同色，②④同色或⑤一种颜色，①③同色，②④不同色，涂色方法为；(3)用到五种颜色，涂色方法为；因此该方案恰好只用到三种颜色的概率是.故选：B．二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）7.对于，若，则的值可以为（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】AB【解析】【分析】根据题意得或，进而解方程即可.【详解】解：因为，所以或，解得或故选：AB8.在10件产品中，有7件合格品，3件不合格品，从这10件产品中任意抽出3件，则下列结论正确的有（）A.抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有种B.抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有种C.抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有种D.抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有种【答案】ACD【解析】【分析】抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法为不合格品1件、合格品2件，根据分步计数原理可知A正确，B错误；抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法分两种做法：（ⅰ）3件不合格品中有1件不合格、2件合格；2件不合格、1件合格；3件都不合格；然后利用分类计数法求解.（ⅱ）总的取法数减去抽取的三件都为合格品的取法即为所求.由此判断CD正确【详解】解：由题意得：对于A、B选项：抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法为3件不合格品中抽取1件有种取法，7件合格品种抽取2件有种取法，故共有中取法，故A正确；对于选项C：抽出3件产品中至少有1件是不合格品的抽法分三种情况：①抽取的3件产品中有1件不合格、有2件合格，共有种取法；②抽取的3件产品中有2件不合格、有1件合格，共有种取法；③抽取的3件产品都不合格，种取法.故抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有种，故B错误，C正确；对于选项D：10件产品种抽取三件的取法有，抽出的3件产品中全部合格的取法有种，抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有种，故D正确.故选：ACD9.现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是（）A.所有可能的方法有种B.若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有37种C.若同学A必须去工厂甲，则不同的安排方法有16种D.若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种【答案】BCD【解析】【分析】利用分步乘法计数原理判断AC选项的正确性，利用分类加法计数原理以及组合数计算判断B选项的正确性，利用排列数计算判断D选项的正确性.【详解】所有可能的方法有种，A错误.对于B，分三种情况：第一种：若有1名同学去工厂甲，则去工厂甲的同学情况为，另外两名同学的安排方法有种，此种情况共有种，第二种：若有两名同学去工厂甲，则同学选派情况有，另外一名同学的排法有3种，此种情况共有种，第三种情况，若三名同学都去工甲，此种情况唯一，则共有种安排方法，B正确.对于C，若A必去甲工厂，则B，C两名同学各有4种安排，共有种安排，C正确.对于D，若三名同学所选工厂各不同，则共有种安排，D正确.故答案为：BCD三、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）10.我们把中间数位上的数字最大，而两边依次减小的多位数称为“凸数”，如132，341等，那么由1，2，3，4，5可以组成无重复数字的三位“凸数”的个数是________．【答案】20【解析】【分析】根据给定条件，按三位“凸数”的中间数分类计算作答.【详解】由三位“凸数”的特点知，中间的数字只能是3，4，5，即分三类，第一类，当中间数字为“3”时，此时有2个（132，231）；第二类，当中间数字为“4”时，个位数字有三种选择，百位数字有两种选择，则“凸数”有2×3＝6（个）；第三类，当中间数字为“5”时，个位数字有四种选择，百位数字有三种选择，则“凸数”有4×3＝12（个），由分类加法计数原理，得到由1，2，3，4，5可以组成无重复数字的三位“凸数”的个数是2＋6＋12＝20（个）.故答案为：2011.如图，已知四面体的所有棱长都等于2，点，分别为，的中点，则________.【答案】1【解析】【分析】由中位线定理得，再由向量的数量积定义计算可得答案.【详解】解：因为四面体ABCD的每条棱长都等于2，点，分别为，的中点，则，所以，故答案为：1.四、解答题（本大题共小题，共42分）12.（1）求值:；（2）解不等式:.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据组合数性质进行计算，然后可求结果；（2）将排列数表示为阶乘的形式，然后化简计算求解出不等式解集.【详解】（1）因为，所以，原式；（2）因，所以，化简可得，解得，所以不等式解集为.13.有4名男生，3名女生，共7个人从左至右站成一排，在下列情况下，各有多少种不同的站法.（1）男生､女生各站在一起；（2）男生必须站在一起；（3）男生互不相邻，且女生也互不相邻（4）最左端只能站某生甲或乙，最右端不能站某生甲，则有多少种不同的站法？【答案】（1）288（2）576（3）144（4）1320【解析】【分析】（1）先排男生，再排女生，考虑男女生位置，即可根据分步计数原理得出答案；（2）捆绑法：将男生看为一个整体，与女生排列，即可得出答案；（3）插空法：先排男生，女生插空，即可得出答案；（4）分为某生甲站在最左端，某生乙甲站在最左端，分别计算，相加即可得出答案.【小问1详解】男生必须站在一起，即把4名男生全排列，有种排法，女生必须站在一起，即把3名女生全排列，有种排法，全体男生、女生各看作一个元素全排列有种排法，由分步乘法计数原理知共有（种）排法.【小问2详解】把所有男生看作一个元素，与3名女生组成4个元素全排列，故有（种）不同的排法.【小问3详解】先排男生有种排法，然后让女生插空，有种排法，所以共有（种）不同的排法.【小问4详解】若最左端站某生甲，余下6名同学全排列共有种排法；若最左端站某生乙，则应先排某生甲，有种排法，剩余5名同学全排列共有种排法，由分步计数原理知共有种排法.根据分类加法计数原理可得，共有种.14.已知等差数列和等比数列都是递增数列，且．（1）求，的通项公式；（2）求数列的前项和．【答案】（1），.（2）.【解析】【分析】（1）设等差数列和等比数列的公差与公比分别为：，由已知条件组成方程组解出，写出等差数列和等比数列通项公式即可；（2）由（1）写出的通项公式，利用错位相减法求数列前项和即可.【小问1详解】设等差数列和等比数列的公差与公比分别为：，因为，所以，将代入，得：，解得或或，因为等差数列和等比数列都是递增数列，所以，所以，，所以等差数列的通项公式为：，等比数列的通项公式为：.【小问2详解】（2）由（1）得，所以，①，②①②得：，即，所以.15.已知函数，.（1）若，求函数的最小值；（2）若关于的不等式