福建省漳州市龙海第一中学2023-2024学年高二下学期第二次阶段性考试数学试题（解析）

龙海一中2023--2024学年高二下学期高二年数学学科第二次阶段性考试一、单选题，共8题，每题5分1.下列求导运算结果正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据导数的运算法则及基本初等函数的导数公式计算可得.【详解】对于A，，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，因为是常数，所以，故C错误；对于D，，故D正确.故选：D.2.如图，在正四面体中，是的中点，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】借助空间向量线性运算计算即可得.【详解】.故选：A.3.若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由共面向量基本定理进行运算检验选项，排除法可得结果.【详解】对于A，，所以三个向量共面，排除；对于B，，所以三个向量共面，排除；对于D，，所以三个向量共面，排除.故选：C.4.如图，正方体的棱长为2，正方形的中心为，棱的中点分别为，则下列选项中不正确的是（）A.B.C.点到直线的距离为D.异面直线与所成角的余弦值为【答案】D【解析】【分析】以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，计算可判定A选项；利用正弦定理计算三角形的面积判定B选项；利用空间向量的距离公式可判定C选项；利用直线方向向量可计算夹角余弦值，可判定D选项.【详解】以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，，，，，，，，则，，则，故选项A正确；，所以，则，，故选项B正确；，，，点F到直线的距离，故选项C正确；,则,则令异面直线与所成角，可得，故选项D错误.故选：D.5.泊松分布的概率分布列为，其中为自然对数的底数，是泊松分布的均值.若随机变量服从二项分布，当很大且很小时，二项分布近似于泊松分布，其中，即.现已知某种元件的次品率为0.01，抽检100个该种元件，则次品率不超过的概率约为（参考数据:）（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】100个元件，次品率不超过，即次品数为0或1，根据题干公式，求即可.【详解】由题意知，则，所以.因为，所以次品率不超过的概率约为.故选：B6.已知随机变量，，且，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先由得到，再由得到，最后根据得出.【详解】由于服从正态分布，且，故其均值.而服从二项分布，故，再由，就有，得.故选：D.7.千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋“日落云里走，雨在半夜后等，一位同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察了某地区的100天日落和夜晚天气，得到列联表如下，并计算得到，下列中该同学对某地区天气的判断不正确的是（）日落云里走夜晚天气下雨未下雨出现25天5天未出现25天45天A.夜晚下雨的概率约为B.未出现“日落云里走”，夜晚下雨的概率约为C.有99.9%的把握，认为“日落云里走”是否出现与夜晚天气有关D.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“日落云里走”是否出现与夜晚天气无关【答案】D【解析】【分析】根据列联表中的数据，结合概率的计算公式，以及独立性检验的思想，逐项判定，即可求解.【详解】由列联表知，100天中有50天下雨，50天未下雨，所以夜晚下雨的概率为，所以A正确；又由未出现“日落云里走”，夜晚下雨的概率约为，所以B正确；因为，所以有99.9%的把握，认为“日落云里走”是否出现与夜晚天气有关，所以C正确；在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“日落云里走”是否出现与夜晚天气有关，所以D不正确.故选：D.8.已知实数，，满足，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】化简变形后可设，知其在上单调递增，若，则，对求导可得到极值点也是最值点，故可得结果.详解】由已知有，即，即，因为，令，，f'(t)=t+1et因，所以，故，即.所以，令，可得，又因在上小于零，故y在单调递减，在上大于零，故y在单调递增，故当时，y取极小值也是最小值为e.故选：A二多选题，共3题，每题6分，部分选对得部分分数，有选错得0分9.下列关于概率统计的说法中正确的是（）A.某人在10次答题中，答对题数为，则答对7题的概率最大B.设随机变量服从正态分布，若，则C.已知回归直线方程为，若样本中心为，则D.两个变量的相关系数为，则越小，与之间的相关性越弱【答案】AC【解析】【分析】对于A，可利用不等式法求解；对于B，根据正态分布曲线的对称性即可验算；对于C，将样本中心坐标代入回归方程即可验算；对于D，由相关系数的意义即可判断.【详解】对于，故，令，解得，故，故A正确；对于，故错误；对于，回归直线必过样本中心，可得，解得，故C正确；对于，两个变量的相关系数为越小，与之间的相关性越弱，故D错误.故选：AC.10.设，，均为随机事件，且，，，则下列结论中一定成立的是（）A.B.C.若，则D.若，则【答案】BCD【解析】【分析】根据事件之间的关系可得，结合概率的性质即可判断A；利用条件概率公式化简即可判断B；根据事件的包含关系，结合条件概率公式即可判断C；根据对立事件与条件概率公式即可判断D.【详解】对于A，因为，且，，所以，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，当时，，此时，故C正确；对于D，因为，由条件概率公式可得，即，所以，故D正确.故选：BCD.11.“新高考”后，普通高考考试科目实行“”模式，其中“2”就是考生在思想政治、地理、化学、生物学这4门科目中选择2门作为再选科目．甲、乙两名同学各自从这4门科目中任意挑选2门科目学习．记事件A表示“甲、乙两人中恰有一人选择生物学”，事件B表示“甲、乙两人都选择了生物学”，事件C表示“甲、乙两人所选科目完全相同”，事件D表示“甲、乙两人所选科目不完全相同”，则（）A.B与C相互独立 B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】由相互独立事件成立的条件，算出，由可判断A；由条件概率的计算公式可得，，即可判断B、C；由和事件的计算公式可得，即可判断D.【详解】因为，所以，所以B与C不相互独立，故A错误；因为，所以，故B正确；因为，所以，故C正确；因为，所以D正确．故选：BCD.三．填空题，共3题，每题5分12.某工厂生产的件产品中，有件次品，现从中任取件产品，设为取出的件产品中次品的件数，则的均值为____________．【答案】##【解析】【分析】首先确定所有可能的取值，由超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，根据均值的公式可求得结果.【详解】由题意知：所有可能的取值为，；；；；的均值.故答案为：.13.某工厂有甲、乙、丙三条生产线同时生产同一产品，这三条生产线生产产品的次品率分别为，假设这三条生产线产品产量的比为，现从这三条生产线上随机任意选取100件产品，则次品数的数学期望为__________.【答案】##【解析】【分析】记事件：选取的产品为次品，记事件：此件次品来自甲生产线，记事件：此件次品来自乙生产线，记事件：此件次品来自丙生产线，由题意可得，，，再利用全概率公式求出，结合二项分布的期望公式求解即可.【详解】记事件：选取的产品为次品，记事件：此件次品来自甲生产线，记事件：此件次品来自乙生产线，记事件：此件次品来自丙生产线，由题意可得，，，由全概率的公式可得，从这三条生产线上随机任意选取1件产品为次品数的概率为，则任意选取100件产品，设次品数为,则,即.故答案为：.14.某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：根据大量的测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似地服从正态分布，用样本平均数和标准差分别作为、的近似值，其中样本标准差的近似值为50，现任取一辆汽车，则它的单次最大续航里程的概率为________.（参考数据：若随机变量，则，，）【答案】【解析】【分析】计算，确定，再根据正态分布的性质计算概率即可.【详解】，故，.故答案为：四.解答题15.为促进全面阅读，建设书香校园，鼓励学生参加阅读活动，某校随机抽查了男、女生各200名，统计他们在暑假期间每天阅读时长，并把每天阅读时长超过1小时的记为“阅读达标”，时长不超过1小时的记为“阅读不达标”，阅读达标与阅读不达标的人数比为，阅读达标的女生与男生的人数比为．（1）完成下面的列联表：性别阅读达标情况合计阅读达标阅读不达标男生

女生

合计

（2）根据上述数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为“阅读达标情况”与“性别”有关联？（3）从阅读达标的学生中按男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取5人进行座谈，再从这5人中任选2人，记这2人中男生人数为X，求X的分布列和数学期望．参考公式：，．0.100.050.010.0012.7063.8416.63510.828【答案】（1）列联表见详解（2）“阅读达标情况”与“性别”有关联（3）分布列见详解，【解析】【分析】（1）根据分析阅读达标与阅读不达标的人数，以及阅读达标的女生与男生的人数，进而可得列联表；（2）根据列联表计算，并与临界值对比分析，结合独立性检验分析说明；（3）由题意可知：X的可能取值为0，1，2，结合超几何分布求分布列和期望.【小问1详解】由题意可知：阅读达标与阅读不达标的人数分别为200，200，阅读达标的女生与男生的人数比为，据此可得列联表：性别阅读达标情况合计阅读达标阅读不达标男生80120200女生12080200合计200200400【小问2详解】零假设：“阅读达标情况”与“性别”没有关联，由（1）可得：，依据小概率值的独立性检验，可知零假设不成立，所以“阅读达标情况”与“性别”有关联.【小问3详解】因为抽取5人中男、女生人数分别为，由题意可知：X的可能取值为0，1，2，则有：，所以X的分布列为X012P数学期望.16.如图1，在平行四边形中，，将沿折起，使点D到达点P位置，且，连接得三棱锥，如图2．（1）证明：平面平面；（2）在线段上是否存在点M，使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）存在；【解析】【分析】（1）推导出，证明出平面，可得出，利用面面垂直判定定理可证得结论成立；（2）以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法可得出关于的等式，结合求出的值，即可得出结论.【小问1详解】证明：翻折前，因为四边形为平行四边形，，则，因为，则，，由余弦定理可得，所以，，则，同理可证，翻折后，则有，，因为，，、平面，所以，平面，因为平面，则，因为，、平面，所以，平面，所以平面平面.【小问2详解】因为平面，，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则A0,0,0、P0,0,1、、，设，其中，则，，设平面的法向量为，则，取，则，，所以，，平面的一个法向量为，，，则，令，可得，则，整理可得，因此，线段上存在点，使平面AMB与平面MBC的夹角的余弦值为，且.17.为了加快实现我国高水平科技自立自强，某科技公司逐年加大高科技研发投入．下图1是该公司2013年至2022年的年份代码x和年研发投入y（单位：亿元）的散点图，其中年份代码1-10分别对应年份2013-2022．根据散点图，分别用模型①，②作为年研发投入关于年份代码的经验回归方程模型，并进行残差分析，得到图2所示的残差图．结合数据，计算得到如下表所示的一些统计量的值：752.2582.54.512028.35表中．（1）根据残差图，判断模型①和模型②哪一个更适宜作为年研发投入关于年份代码的经验回归方程模型？并说明理由；（2）根据（1）中所选模型，求出关于经验回归方程，并预测该公司2028年的高科技研发投入．附：对于一组数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为．【答案】（1）选择模型②，理由见解析（2）,预测该公司2028年的高科技研发投入亿元.【解析】【分析】（1）根据残差图判断；（2）利用最小二乘法求非线性回归方程即可求解【小问1详解】根据图2可知，模型①的残差波动性很大，说明拟合关系较差；模型②的残差波动性很小，基本分布在0的附近，说明拟合关系很好，所以选择模型②更适宜.【小问2详解】设，所以，所以，，所以关于的经验回归方程为，令，则，即预测该公司2028年的高科技研发投入亿元.18.甲、乙两人用一颗均匀的骰子（一种正方体玩具，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6）做抛掷游戏，并制定如下规则：若掷出的点数不大于4，则由原掷骰子的人继续掷，否则，轮到对方掷.已知甲先掷.（1）若共抛掷4次，求甲抛掷次数的概率分布列和数学期望；（2）求第n次（，）由乙抛掷的概率.【答案】（1）分布列见解析，；（2）【解析】【分析】（1）分别求出点数不大于4的概率和大于4的概率，设甲抛掷次数为，的可能取值为1，2，3，4，进而可得甲抛掷次数的概率分布列和数学期望；（2）设第次（，）由乙抛掷的概率为，则第次（，）由乙抛掷这个事件包含第次由乙抛掷，第次仍由乙抛掷和第次由甲抛掷，第次由乙抛掷这两个互斥的事件，进而得出，从而可得，根据，结合等比数列，即可得到.【详解】（1）由已知，掷出的点数不大于4的概率为，大于4的概率为，抛掷4次，设甲抛掷次数为，的可能取值为1，2，3，