《高考备考指南 数学 》课件-第4讲　随机事件的概率

第4讲随机事件的概率计数原理、概率、随机变量及其分布第十章

(本讲对应系统复习P277)课标要求考情概览1.理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系.2.了解随机事件的并、交与互斥的含义，能结合实例进行随机事件的并、交运算.3.理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则.4.会用频率估计概率考向预测：从近三年高考情况来看，本讲内容一般不作独立考查，预测本年度将会考查：①对立、互斥与古典概型结合考查随机事件概率的计算；②随机事件与统计图表相结合考查用频率估计概率.试题难度不大，属中、低档题型.学科素养：主要考查数据分析、数学建模、数学运算的素养栏目导航01基础整合

自测纠偏03素养微专直击高考02重难突破

能力提升04配套训练基础整合自测纠偏11.样本点与样本空间(1)样本点：我们把随机试验E的每个可能的

称为

，一般地，用ω表示样本点.

(2)样本空间：全体样本点的集合称为试验E的样本空间，一般地，我们用Ω表示样本空间.(3)有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，那么称样本空间

为有限样本空间.

基本结果

样本点

Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}2.随机事件、必然事件与不可能事件(1)一般地，随机试验中的

都可以用这个试验的样本空间的

来表示，为了叙述方便，我们将样本空间Ω的子集为

，简称

，并把只包含

的事件称为

.当且仅当A中某个样本点出现时，称为

.

(2)Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为

.

(3)空集⌀不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称⌀为

.

每个随机事件

子集

随机事件

事件

一个样本点

基本事件

事件A发生

必然事件

不可能事件

3.事件的关系与运算(1)事件的关系：

包含关系相等关系定义一般地，若事件A发生，则事件B

，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)

特别地，如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B⊇A且A⊇B，则称事件A与事件B

符号B

A(或A

B)

A

B

图示

一定发生相等⊇

⊆

＝

(2)交事件与并事件：

并事件(或和事件)交事件(或积事件)定义一般地，事件A与事件B_______

发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)

一般地，事件A与事件B

发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)

符号A

B(或A

B)

A

B或

图示

至少有一个

同时

∪

＋

∩

AB(3)互斥事件和对立事件：

互斥事件对立事件定义一般地，如果事件A与事件B

发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即

，则称事件A与事件B互斥(或互不相容)

一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B＝Ω，且

，那么称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为

符号A∩B＝⌀A∪B＝Ω，A∩B＝⌀图示

不能同时

A∩B＝⌀

A∩B＝⌀4.概率的基本性质性质1对任意的事件A，都有P(A)

0.

性质2必然事件的概率为

，不可能事件的概率为

，即P(Ω)＝

，P(⌀)＝

.

性质3如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝

.

性质4如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝

，P(A)＝

.

性质5如果A⊆B，那么

.

性质6设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝

.

≥

1

0

1

0P(A)＋P(B)1－P(A)

1－P(B)

P(A)≤P(B)

P(A)＋P(B)－P(A∩B)5.概率与频率(1)随机事件的概率：对随机事件发生

的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用

表示.

(2)频率的稳定性：在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的

，我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率fn(A)____概率P(A).

可能性大小P(A)

概率P(A)

估计

【特别提醒】1.频率与概率有本质的区别：频率随着试验次数的改变而发生变化，概率是大量随机事件现象的客观规律，是一个常数.2.“互斥事件”与“对立事件”的区别：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件.3.需准确理解题意，特别留心“至多……”“至少……”“不少于……”等语句的含义.

1.(教材习题改编)某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是(

)A.至多一次中靶B.两次都中靶C.只有一次中靶D.两次都没有中靶D2.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为(

)A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7B3.(2023年烟台月考)袋中有大小、形状相同的红球、黑球各一个，现在有放回地随机摸3次，每次摸取一个，观察摸出球的颜色，则此随机试验的样本点个数为(

)A.5B.6

C.7D.8D

BCD

重难突破能力提升2随机事件的关系

A

(2)对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一次击中飞机}，D＝{至少有一次击中飞机}，其中彼此互斥的事件是

；互为对立事件的是

.

A与B，A与C，B与C，B与D

B与D【解析】(1)至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件.故选A.(2)设I为对飞机连续射击两次所发生的所有情况，因为A∩B＝⌀，A∩C＝⌀，B∩C＝⌀，B∩D＝⌀，故A与B，A与C，B与C，B与D为互斥事件.而B∩D＝⌀，B∪D＝I，故B与D互为对立事件.【解题技巧】判别互斥、对立事件的方法：判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件.【变式精练】1.(1)从1，2，3，4，5中有放回地依次取出两个数，则下列各对事件是互斥而不是对立事件的是(

)A.恰有1个是奇数和全是奇数B.恰有1个是偶数和至少有1个是偶数C.至少有1个是奇数和全是奇数D.至少有1个是偶数和全是奇数A

B

随机事件的频率与概率

(2022年北京改编)在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m以上(含9.50m)的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据(单位：m)：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16.假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；(2)在本比赛中，求甲、乙、丙至少有一人获得优秀的概率.

【解题技巧】1.概率与频率的关系：频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.2.随机事件概率的求法：利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率.【变式精练】2.某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间［20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：最高气温［10，15)［15，20)［20，25)［25，30)［30，35)［35，40］天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率.

求复杂事件的概率

某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.

B

素养微专直击高考3思想方法——用正难则反思想求互斥事件的概率

某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示：典例精析一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数/人x3025y10结算时间(分钟/人)11.522.53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时