《高考备考指南 数学 》课件-第3讲　平面向量的数量积及其应用

平面向量与复数第五章第3讲平面向量的数量积及其应用(本讲对应系统复习P139)课标要求考情概览1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题考向预测：从近三年高考情况来看，本讲一直是高考中的一个热点内容.预测本年度高考将考查向量数量积的运算、模的最值、夹角的范围.题型以客观题为主，试题难度多为中档题，有时也会与三角函数、解析几何交汇出现于解答题中.学科素养：主要考查数学抽象、直观想象、数学运算的素养栏目导航01基础整合

自测纠偏0302重难突破

能力提升配套训练基础整合自测纠偏1

|a||b|cosθ

2.平面向量数量积的性质及其坐标表示已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量.结论几何表示坐标表示模|a|＝

夹角a⊥b充要条件

a·b＝0x1x2＋y1y2＝0结论几何表示坐标表示|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b|，特别地，当a与b同向时，a·b＝

，当a与b反向时，a·b＝－|a||b|

|x1x2＋y1y2|≤

a·e与e·a的关系a·e＝e·a＝________

|a|cosθ|a||b|

3.平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律).(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).【特别提醒】a⊥b⇔a·b＝0是对非零向量而言的，若a＝0，虽然a·b＝0，但不能说a⊥b.【常用结论】1.平面向量数量积运算的常用公式：(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(3)a2＋b2＝0⇒a＝b＝0.2.有关向量夹角的两个结论：(1)若两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b＞0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)；(2)若两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b＜0，反之不成立(因为夹角为π时不成立).

BD

BACD5.(2022年甲卷)已知向量a＝(m，3)，b＝(1，m＋1)，若a⊥b，则m＝

.

对于实数a，b，c有(a·b)·c＝a·(b·c)，但对于向量a，b，c而言，(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立，即不满足向量结合律.这是因为(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，所以(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立.重难突破能力提升2平面向量数量积的运算

BC

【解题技巧】求非零向量a，b的数量积的3种方法：直接法若两向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，则需要通过平移使它们的起点重合，再计算几何法根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量a，b，然后根据平面向量的数量积的定义进行计算求解坐标法若图形适合建立平面直角坐标系，可建立坐标系，求出a，b的坐标，通过坐标运算求解

011

平面向量数量积的性质

考向1平面向量的模

考向2平面向量的夹角

D

考向3平面向量的垂直

BB(3)(2022年新高考Ⅱ卷)已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝(

)A.－6B.－5C.5D.6C

平面向量与三角函数

【解题技巧】向量与三角函数综合问题的特点与解题策略：(1)以向量为载体考查三角函数的综合应用题目，通过向量的坐标运算构建出三角函数，然后再考查有关三角函数的最值、单调性、周期性等三角函数性质问题，有时还加入参数，考查分类讨论的思想方法.(2)向量与三角函数结合时，通常以向量为表现形式，实现三角函数问题，所以要灵活运用三角函数中的相关方法与技巧求解.(3)注意向量夹角与三角形内角的区别与联系，避免出现将内角等同于向量夹角的错误.

向量在物理中的应用

质量为m的物体静止地放在斜面上，斜面与水平面的夹角为θ，则斜面对物体的摩擦力的大小为

N，支持力的大小为

N.

mgcosθmgsinθ【解析】如图所示，物体受三个力：重力G(竖直向下，大小为mg)，斜面对物体的支持力F(垂直于斜面，向上，大小为|F|)，摩擦力f(与斜面平行，向上，大小为|f|).由于物体静止，故这三个力平衡，合力为0，即G＋F＋f＝0.①记垂直于斜面向下、大小为1

N的力为e1，平行于斜面向下、大小为1

N的力为e2，以{e1，e2}为基底，则F＝(－|F|，0)，f＝(0，－|f|)，由图知e1与G的夹角为θ，则G＝(mgcos

θ，mgsin

θ).由①得G＋F＋f＝(mgcos

θ－|F|，mgsin

θ－|f|)＝(0，0)，所以mgcos

θ－|F|＝0，mgsin

θ－|f|＝0.故|F|＝