《高考备考指南 数学 》课件-第7讲　立体几何中的向量方法(二)-求角与距离

立体几何与空间向量第七章

第7讲立体几何中的向量方法(二)——求角与距离课标要求考情概览1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题.2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用考向预测：从近三年高考情况来看，本讲为高考必考内容.预测本年度高考将会以空间向量为工具计算空间异面直线所成角、直线和平面所成角、二面角.试题以解答题的形式呈现，要求有较强的运算能力.学科素养：主要考查直观想象、逻辑推理、数学运算的素养栏目导航01基础整合

自测纠偏03素养微专直击高考02重难突破

能力提升04配套训练基础整合自测纠偏11.两条异面直线所成的角设异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cosθ＝|cos〈u，v〉|＝

＝

.

2.直线和平面所成的角如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sinθ＝|cos〈u，n〉|＝

__________＝

.

3.平面与平面的夹角(1)如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角.(2)若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为θ，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝

＝

.

(a·u)u

【特别提醒】1.线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sin

θ＝|cos〈a，n〉|，不要误记为cos

θ＝|cos〈a，n〉|.2.二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两个半平面α，β的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，来确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补.【常用结论】最小角定理cos

θ＝cos

θ1cos

θ2.如图，若OA为平面α的一条斜线，O为斜足，OB为OA在平面α内的射影，OC为平面α内的一条直线，其中θ为OA与OC所成的角，θ1为OA与OB所成的角，即线面角，θ2为OB与OC所成的角，那么cos

θ＝cos

θ1cos

θ2.

A

CD

ABD5.(易错题)在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为A1B1的中点，F为AB的中点，则CF到平面AEC1的距离为

.

重难突破能力提升2利用空间向量求异面直线所成的角

【解题技巧】用向量法求异面直线所成角的一般步骤：(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；(2)分别确定异面直线上两个点的坐标，从而确定两条异面直线的方向向量；(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值.

A

D

利用空间向量求直线与平面所成的角

【解题技巧】利用空间向量求线面角的解题模型：

利用空间向量求二面角

(1)证明：连接AE，DE，因为E为BC中点，DB＝DC，所以DE⊥BC.①因为DA＝DB＝DC，∠ADB＝∠ADC＝60°，所以△ACD与△ABD均为等边三角形.所以AC＝AB，从而AE⊥BC.②由①②得，AE∩DE＝E，AE，DE⊂平面ADE，所以BC⊥平面ADE.而AD⊂平面ADE，所以BC⊥DA.

【解题技巧】利用空间向量计算二面角大小的常用方法：(1)找法向量：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小.(2)找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.

空间距离

例4

如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长均为4，N是CC1的中点.(1)求点N到直线AB的距离；(2)求点C1到平面ABN的距离.

素养微专直击高考3思想方法——用几何法求解空间角高考中立体几何解答题的第二问考查空间角，其中线面角和二面角是考查的重点，求解方法有几何法和向量法，本文重点介绍几何法.

解：(1)在梯形ABCD中，AB与CD不平行，延长AB，DC，相交于点M(M∈平面PAB)，M即为所求的一个点.理由如下：由已知，BC∥ED，且BC＝ED，所以四边形BCDE是平行四边形，从而CM∥EB.又因为EB⊂平面PBE，CM⊄平面PBE，所以CM∥平面PBE.(说明：延长AP至点N，使得AP＝PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点).(2)由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，从而CD⊥PD.所以∠PDA是二面角P－CD－A的平面角，则∠PDA＝45°，设BC＝1，则在Rt△PAD中，PA＝AD＝2.如图，过点A作AH⊥CE，交CE的延长线于点H，连接PH，易知PA⊥平面ABCD，从而PA⊥CE，

【点评】(1)用几何法求线面角时，先寻找过斜线上一点与平面垂直的直线，连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角，再把该角归结在某个三角形中，通过解三角形求出该角.(2)找二面角有三种方法，一是定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线；二是三垂线定理法：过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角；三是垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角即为二面角的平面角.

(1)证明：因为四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，所以△ABC为正三角形.因为E为BC的中点，所以AE⊥