《高考备考指南 数学 》课件-第2讲　空间点、线、面的位置关系

立体几何与空间向量第七章

第2讲空间点、线、面的位置关系课标要求考情概览1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.2.了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题.3.能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题考向预测：从近三年高考情况来看，尽管空间点、线、面的位置关系是立体几何的理论基础，但却很少独立命题.预测本年度高考会有以下两种命题方式：①以命题形式考查空间点、线、面的位置关系；②以几何体为载体考查线、面的位置关系或求异面直线所成的角.题型为客观题，难度一般不大，属中档题型.学科素养：主要考查直观想象、逻辑推理的素养栏目导航01基础整合

自测纠偏02重难突破

能力提升03配套训练基础整合自测纠偏11.平面的基本事实基本事实1：过

的三个点，有且只有一个平面.

基本事实2：如果一条直线上的

在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.

基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有

______过该点的公共直线.

基本事实4：平行于同一条直线的两条直线

.

不在一条直线上

两个点

一条

平行

2.“三个”推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面；推论2：经过两条

直线，有且只有一个平面；

推论3：经过两条

直线，有且只有一个平面.

相交

平行

3.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系(1)空间中直线和平面的位置关系：位置关系图形表示符号表示公共点直线a在平面α内

a⊂α有无数个公共点直线在平面外直线a与平面α平行

a∥α没有公共点直线a与平面α斜交

a∩α＝A有且只有一个公共点直线a与平面α垂直

a⊥α(2)空间中两个平面的位置关系：

位置关系图形表示符号表示公共点两平面平行

α∥β没有公共点两平面相交斜交

α∩β＝l有一条公共直线垂直

α⊥β且α∩β＝a4.异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b，把a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).(2)范围：

.

(3)垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.

【特别提醒】1.异面直线的判定：经过平面内一点和平面外一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线.2.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角.【常用结论】唯一性定理：(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.1.(2023年临沂期末)下列命题正确的是(

)A.三点确定一个平面B.一条直线和一个点确定一个平面C.两条直线确定一个平面D.梯形可确定一个平面D2.(2023年开封期末)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱D1C1的靠近D1上的三等分点，设AE与平面BB1D1D的交点为O，则(

)A.三点D1，O，B共线，且OB＝2OD1B.三点D1，O，B共线，且OB＝3OD1C.三点D1，O，B不共线，且OB＝2OD1D.三点D1，O，B不共线，且OB＝3OD1B

D4.(易错题)(多选)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法正确的有(

)A.AB与CD是异面直线B.GH与CD相交C.EF∥CDD.EF与AB异面ABC5.(教材习题改编)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为

.

60°1.基本事实的作用：基本事实1可用来确定一个平面；基本事实2可用来证明点、直线在平面内；基本事实3可用来确定两个平面的交线、判断或证明多点共线、判断或证明多线共点；基本事实4可用来判断空间两条直线平行、等角定理的理论依据.2.关于异面直线的理解：(1)“不同在任何一个平面内”指这两条直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交.(2)不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线为异面直线.(3)异面直线不具有传递性，即若直线a与b异面，b与c异面，则a与c不一定是异面直线.重难突破能力提升2平面的基本性质及应用

例1(2022年河南三模)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是B1C1和C1D1的中点.求证：(1)E，F，D，B四点共面；(2)BE，DF，CC1三线共点.证明：(1)如图，连接EF，BD，B1D1，因为EF是△B1C1D1的中位线，所以EF∥B1D1.因为BB1

DD1，所以四边形BDD1B1是平行四边形.所以BD∥B1D1.所以EF∥BD.所以E，F，D，B四点共面.(2)因为EF∥BD，且EF≠BD，所以直线BE和DF相交.如图，延长BE，DF，设它们相交于点P，因为点P∈直线BE，直线BE⊂平面BB1C1C，所以点P∈平面BB1C1C.因为点P∈直线DF，直线DF⊂平面CDD1C1，所以点P∈平面CDD1C1.因为平面BB1C1C∩平面CDD1C1＝CC1，所以点P∈CC1.所以BE，DF，CC1三线共点.【解题技巧】

1.证明点共线问题的常用方法：基本事实法先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据基本事实3证明这些点都在交线上同一法选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上2.证明线共点问题的常用方法：

先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点.3.证明点、直线共面问题的常用方法：纳入平面法先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内辅助平面法先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合

空间位置关系的判断

例2(1)(多选)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题错误的有(

)A.若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B.若m，n平行于同一平面，则m与n平行C.若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D.若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面ABC

(2)(2019年Ⅲ卷)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则(

)A.BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B.BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C.BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D.BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线B【解析】(1)选项A中，垂直于同一个平面的两个平面可能相交也可能平行，故A错误；选项B中，平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，故B错误；选项C中，若两个平面相交，则一个平面内与交线平行的直线一定和另一个平面平行，故C错误；选项D中，若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，所以若两条直线不平行，则它们不可能垂直于同一个平面.故选ABC.

【解题技巧】空间两直线位置关系的判定方法：

【变式精练】2.(1)(2022年甘肃模拟)正方体上的M，N，P，Q是其所在棱的中点，则下列各图中直线MN与直线PQ是异面直线的图形是(

)B(2)(多选)如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中(

)A.AE∥CDB.CH∥BEC.DG⊥BHD.BG⊥DEBCD【解析】(1)对于A，直线MN与直线PQ相交，不是异面直线，不符合题意；对于B，直线MN与直线PQ是异面直线，符合题意；对于C，直线MN与直线PQ相交，不是异面直线，不符合题意；对于D，直线MN与直线PQ平行，不是异面直线，不符合题意.故选B.(2)还原正方体直观图如图，可知AE与CD为异面直线，故A不正确；由EHBC，可得CH∥BE，故B正确；正方体中易得DG⊥平面BCH，所以有DG⊥BH，故C正确；因为BG∥AH且DE⊥AH，所以BG⊥DE，故D正确.故选BCD.异面直线所成的角

示通法异面直线所成角的求解，首先作出异面直线夹角的情况，借助常见几何体转化为同一平面内两条直线的夹角，能建立空间直角坐标系的，可利用空间向量求异面直线的夹角.

D

考向2由异面直线所成角求其他量例3-2四面体