2024-2025学年新教材高中数学 第六章 平面向量及其应用 6.3 平面向量基本定理及坐标表示 6.3.4（教学用书）教学实录 新人教A版必修第二册

2024-2025学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.3平面向量基本定理及坐标表示6.3.4（教学用书）教学实录新人教A版必修第二册课题：科目：班级：课时：计划1课时教师：单位：一、设计意图本节课旨在帮助学生理解和掌握平面向量基本定理及其坐标表示，通过具体实例分析和实际应用，使学生能够运用向量知识解决实际问题，提高学生的空间想象能力和数学思维能力。教学设计紧扣新教材内容，注重理论与实践相结合，旨在培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。二、核心素养目标分析培养学生数学抽象能力，通过平面向量基本定理的推导和应用，使学生理解向量与坐标之间的关系，提升学生空间想象和逻辑推理能力。同时，培养学生数学建模意识，通过解决实际问题，让学生体会数学与生活的联系，增强学生应用数学知识解决实际问题的能力。三、教学难点与重点1.教学重点

-理解平面向量基本定理：重点在于使学生理解向量加法的平行四边形法则和三角形法则，能够通过这两个法则推导出平面向量基本定理。

-掌握坐标表示：强调向量坐标表示方法，使学生能够将向量与坐标系统中的点相对应，理解坐标表示的几何意义。

2.教学难点

-平面向量基本定理的推导：难点在于学生可能难以理解从向量加法的几何法则到坐标表示的转换过程，需要通过直观的图形和具体的例子来帮助学生理解。

-坐标表示的应用：难点在于将向量的坐标表示应用于解决实际问题，学生可能难以将抽象的坐标与具体的几何问题联系起来，需要通过实例分析和练习来强化应用能力。

-空间想象能力的培养：难点在于学生可能缺乏空间想象力，难以直观地理解向量在空间中的几何关系，需要通过模型构建和动态演示来辅助教学。四、教学资源-软硬件资源：电子白板、计算机、投影仪

-课程平台：学校在线教学平台

-信息化资源：平面向量基本定理动画演示视频、相关几何图形软件

-教学手段：实物教具（如直尺、三角板）、多媒体课件五、教学流程1.导入新课（用时5分钟）

-展示生活中的向量实例，如行驶的汽车、抛物运动的物体等，引导学生回顾向量的基本概念。

-提问：向量在几何和物理学中有什么作用？

-引出本节课的主题：平面向量基本定理及其坐标表示。

2.新课讲授（用时15分钟）

-第一部分：平面向量基本定理

-展示平行四边形法则和三角形法则的几何图形，讲解向量加法的几何意义。

-通过实例推导平面向量基本定理，引导学生理解向量加法的坐标表示。

-举例说明如何利用平面向量基本定理解决实际问题。

-第二部分：坐标表示

-讲解向量坐标表示的方法，强调坐标与向量之间的关系。

-通过坐标表示的例子，展示如何将向量转换为坐标形式。

-分析坐标表示在解决几何问题中的应用，如计算向量长度、求向量夹角等。

-第三部分：向量与坐标的综合应用

-展示综合应用实例，如平面几何中的图形变换、物理学中的运动分析等。

-引导学生思考如何将向量坐标表示应用于解决实际问题。

3.实践活动（用时15分钟）

-活动一：绘制向量图形

-学生根据给定的向量坐标，在坐标平面上绘制向量图形。

-通过绘制，使学生直观地理解向量的几何意义。

-活动二：计算向量长度

-学生利用向量坐标表示，计算给定向量的长度。

-通过计算，巩固学生对向量坐标表示的理解。

-活动三：求解向量夹角

-学生运用向量坐标表示，求解两个向量的夹角。

-通过求解，提高学生解决实际问题的能力。

4.学生小组讨论（用时10分钟）

-学生分组讨论以下问题：

-如何将向量坐标表示应用于解决实际问题？

-在解决实际问题时，如何利用平面向量基本定理？

-如何提高空间想象能力，更好地理解向量与坐标的关系？

-学生举例回答：

-利用向量坐标表示计算两点之间的距离。

-在平面几何中，利用平面向量基本定理进行图形变换。

-通过构建空间模型，提高对向量与坐标关系的直观理解。

5.总结回顾（用时5分钟）

-回顾本节课所学内容，强调平面向量基本定理及其坐标表示的重要性。

-总结向量坐标表示在解决实际问题中的应用，如计算向量长度、求向量夹角等。

-鼓励学生在课后继续练习，提高空间想象能力和数学思维能力。六、学生学习效果学生学习效果主要体现在以下几个方面：

1.理解平面向量基本定理：学生能够通过几何图形和坐标表示，理解向量加法的平行四边形法则和三角形法则，掌握平面向量基本定理的内容，并能够运用定理进行向量加法的计算。

2.掌握坐标表示：学生能够熟练地将向量表示为坐标形式，并能够通过坐标来理解向量的几何意义，包括向量的长度、方向和位置。

3.增强空间想象能力：通过本节课的学习，学生能够更好地在二维空间中想象和表示向量，提高了空间几何问题的解决能力。

4.提高数学建模能力：学生在解决实际问题过程中，能够将现实世界的向量问题转化为数学模型，并利用向量坐标表示来进行分析和计算。

5.培养逻辑推理能力：学生在推导平面向量基本定理和进行坐标表示时，需要运用逻辑推理，这有助于提高学生的逻辑思维能力。

6.强化实际问题解决能力：学生能够将所学向量知识应用于解决实际问题，如计算物体的位移、分析物理力的大小和方向等，提高了学生解决实际问题的能力。

7.增进团队合作能力：在小组讨论和实践活动环节，学生需要与同伴合作，共同完成任务，这有助于培养学生的团队合作精神和沟通能力。

8.增强学习兴趣和自信心：通过本节课的学习，学生对向量知识有了更深入的理解，能够感受到数学的实用性和趣味性，从而增强学习兴趣和自信心。七、重点题型整理1.题型一：向量加法与减法的坐标表示

-例题：已知向量$\vec{a}=(2,3)$和$\vec{b}=(-1,4)$，求$\vec{a}+\vec{b}$和$\vec{a}-\vec{b}$的坐标表示。

-答案：$\vec{a}+\vec{b}=(2-1,3+4)=(1,7)$，$\vec{a}-\vec{b}=(2+1,3-4)=(3,-1)$。

2.题型二：向量长度与夹角的坐标表示

-例题：已知向量$\vec{a}=(3,4)$和$\vec{b}=(1,2)$，求$\vec{a}$和$\vec{b}$的长度以及它们之间的夹角。

-答案：$\|\vec{a}\|=\sqrt{3^2+4^2}=5$，$\|\vec{b}\|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|}=\frac{3\cdot1+4\cdot2}{5\cdot\sqrt{5}}=\frac{11}{5\sqrt{5}}$。

3.题型三：向量与数乘的坐标表示

-例题：已知向量$\vec{a}=(2,3)$，求$\vec{a}$的$-2$倍向量。

-答案：$-2\vec{a}=(-2\cdot2,-2\cdot3)=(-4,-6)$。

4.题型四：向量坐标表示在几何中的应用

-例题：已知点$A(1,2)$和$B(3,4)$，求线段$AB$的中点坐标。

-答案：中点坐标$M=\left(\frac{1+3}{2},\frac{2+4}{2}\right)=(2,3)$。

5.题型五：向量坐标表示在物理中的应用

-例题：一个物体从原点出发，向东移动$5$单位，然后向北移动$3$单位，求物体的位移向量。

-答案：位移向量$\vec{d}=(5,3)$。八、板书设计①平面向量基本定理

-向量加法的平行四边形法则

-向量加法的三角形法则

-平面向量基本定理内容

②坐标表示

-向量坐标表示方法

-向量长度坐标表示

-向量夹角坐标表示

③应用实例

-向量加法与减法的坐标表示

-向量长度与夹角的坐标表示

-向量与数乘的坐标表示

-向量坐标表示在几何中的应用

-向量坐标表示在物理中的应用教学反思与总结今天上了这节课，我觉得收获颇丰，但也发现了一些可以改进的地方。

在教学过程中，我发现学生们对于平面向量基本定理的理解比较容易，但当他们需要将这个定理应用到具体的坐标表示中时，就有些吃力了。这可能是因为他们在空间想象能力和抽象思维能力上还有待提高。所以，我在接下来的教学中，可能会尝试通过更多的直观教具和实例来帮助他们更好地理解和应用这些概念。

首先，我在导入新课的时候，通过展示一些生活中的向量实例，比如汽车的行驶方向和速度，这样的方式挺有效的，学生们都能很快地进入状态。但是，我觉得还可以更深入地探讨这些实例背后的数学原理，让学生们从实际生活中感受到数学的应用价值。

在讲授新课的时候，我注意到了几个重点：

①向量加法的平行四边形法则和三角形法则的应用，这部分学生掌握得不错，但是在具体计算坐标表示时，有些学生还是不太适应。我觉得这里可以多做一些练习，让学生通过不断的练习来巩固。

②坐标表示的教学，这是一个难点，我用了图形和动画来辅助教学，但感觉还是不够直观。我可能会尝试使用更多的三维模型或者实际的教具来帮助学生更好地理解。

③在实践活动环节，我安排了一些实际问题解决的任务，比如计算两点之间的距离，这个环节学生们参与度很高，但有些同学在处理复杂问题时显得有些迷茫。我意识到需要更多地引导学生如何分解问题，一步一步地解决问题。

在教学总结方面，我觉得这节课在以下几个方面取得了进步：

①学生们对于平面向量基本定理有了更深入的理解。

②学生们能够将向量坐标表示应用于解决实际问题。

③学生们的空间想象能力和数学思维能力得到了提升。

当然，也存在一些不足：

①对于一些基础较弱的学生，他们在理解坐标表示时显得有些吃力。

②在实践活动环节，部分学生的问题解决能力还有待提高。

③教学过程中，我发现自己对某些概念的解释可能不够清晰。

针对这些问题，我提出以下改进措施：

①对于基础较弱的学生，我将提供更多的个别辅导，帮助他们逐步理解并掌握这些概念。

②在实践活动环节，我会设计更多层次的问题，以满足不同水平学生的学习需求。

③在未来的教学中，我会更加注重对概念的解释和演示，确保每个学生都能清晰地理解。课堂小结，当堂检测课堂小结：

今天我们学习了平面向量基本定理及其坐标表示。首先，我们通过平行四边形法则和三角形法则理解了向量加法的几何意义，并推导出了平面向量基本定理。接着，我们学习了如何将向量表示为坐标形式，并了解了坐标表示在几何和物理中的应用。

为了巩固今天的学习内容，我们进行了以下当堂检测：

1.简答题：

-请简述平面向量基本定理的内容。

-请说明如何利用坐标表示来计算两个向量的和。

2.计算题：

-已知向量$\vec{a}=(2,3)$和$\vec{b}=(-1