一元一次方程应用题方案设计问题专项训练一含答案

一元一次方程应用题方案设计问题专项训练一含答案一、训练目标1.熟练掌握一元一次方程在方案设计问题中的应用。2.能够根据实际问题建立方程模型，通过求解方程得出不同的方案，并进行比较和选择。3.培养逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力。

二、知识点回顾1.一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程。2.解一元一次方程的一般步骤：去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数。去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号。移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边。合并同类项：把方程化成\(ax=b\)（\(a≠0\)）的形式。系数化为1：在方程两边都除以未知数的系数\(a\)，得到方程的解\(x=\frac{b}{a}\)。3.方案设计问题的解题思路：分析题目中的已知条件和所求问题，找出等量关系。设出合适的未知数，根据等量关系列出方程。求解方程得到不同方案的相关数据。比较各方案的优缺点，选择最优方案。

三、专项训练题（一）电话计费问题1.某移动通讯公司开设了两种通讯业务："全球通"使用者先缴50元月租费，然后每通话1分钟，再付话费0.4元；"神州行"不缴月租费，每通话1分钟付费0.6元。若一个月内通话\(x\)分钟，两种方式的费用分别为\(y_1\)元和\(y_2\)元。写出\(y_1\)、\(y_2\)与\(x\)之间的函数关系式。一个月内通话多少分钟，两种通讯方式费用相同？若某人预计一个月内使用话费200元，则应选择哪种通讯方式较合算？

答案：\(y_1=50+0.4x\)；\(y_2=0.6x\)。令\(y_1=y_2\)，即\(50+0.4x=0.6x\)，移项可得：\(0.6x0.4x=50\)，合并同类项得：\(0.2x=50\)，系数化为1得：\(x=250\)。所以一个月内通话250分钟，两种通讯方式费用相同。当\(y_1=200\)时，\(200=50+0.4x\)，移项可得：\(0.4x=20050\)，即\(0.4x=150\)，系数化为1得：\(x=375\)。当\(y_2=200\)时，\(200=0.6x\)，系数化为1得：\(x=\frac{1000}{3}≈333.3\)。因为\(375＞333.3\)，所以使用"全球通"较合算。

2.某市为鼓励市民节约用水，有如下规定：每户每月用水量不超过10立方米，按每立方米\(m\)元收费；若超过10立方米，超过部分每立方米按\(2m\)元收费。某户居民6月份用水\(x\)立方米（\(x＞10\)），交水费\(y\)元，求\(y\)与\(x\)的函数关系式。若该户居民6月份用水18立方米，交水费56元，求\(m\)的值。

答案：当\(x＞10\)时，\(y=10m+2m(x10)\)，化简可得：\(y=10m+2mx20m=2mx10m\)。把\(x=18\)，\(y=56\)代入\(y=2mx10m\)中，得\(56=2m×1810m\)，即\(56=36m10m\)，合并同类项得：\(56=26m\)，系数化为1得：\(m=2\)。

（二）租车问题1.某学校计划组织385名师生租车旅游，现知道出租公司有42座和60座两种客车，42座客车的租金每辆为320元，60座客车的租金每辆为460元。若学校单独租用这两种客车各需多少钱？若学校同时租用这两种客车8辆（可以坐不满），而且要比单独租用一种车辆节省租金，请你帮助该学校选择一种最节省的租车方案。

答案：单独租用42座客车：\(385÷42=9\)（辆）\(\cdots\cdots7\)（人），需租\(10\)辆，租金为\(320×10=3200\)元。单独租用60座客车：\(385÷60=6\)（辆）\(\cdots\cdots25\)（人），需租\(7\)辆，租金为\(460×7=3220\)元。设租用42座客车\(x\)辆，则租用60座客车\((8x)\)辆。可列不等式\(42x+60(8x)≥385\)，去括号得：\(42x+48060x≥385\)，移项得：\(42x60x≥385480\)，合并同类项得：\(18x≥95\)，系数化为1得：\(x≤\frac{95}{18}≈5.3\)。因为\(x\)为正整数，所以\(x\)的值可以为\(5\)或\(4\)或\(3\)或\(2\)或\(1\)。当\(x=5\)时，\(8x=3\)，租金为\(320×5+460×3=1600+1380=2980\)元。当\(x=4\)时，\(8x=4\)，租金为\(320×4+460×4=1280+1840=3120\)元。当\(x=3\)时，\(8x=5\)，租金为\(320×3+460×5=960+2300=3260\)元。当\(x=2\)时，\(8x=6\)，租金为\(320×2+460×6=640+2760=3400\)元。当\(x=1\)时，\(8x=7\)，租金为\(320×1+460×7=320+3220=3540\)元。比较可得\(2980\)元最小，所以租用42座客车5辆，60座客车3辆最节省租金。

2.某旅行社拟在暑假期间面向学生推出"林州红旗渠一日游"活动，收费标准如下：人数\(m\)：\(0＜m≤100\)时，每人收费90元；\(100＜m≤200\)时，每人收费85元；\(m＞200\)时，每人收费75元。甲、乙两所学校计划组织本校学生自愿参加此项活动。已知甲校报名参加的学生人数多于100人，乙校报名参加的学生人数少于100人。经核算，若两校分别组团共需花费20800元，若两校联合组团只需花费18000元。两所学校报名参加旅游的学生人数之和超过200人吗？为什么？两所学校报名参加旅游的学生各有多少人？

答案：因为\(18000÷75=240\)人，所以两所学校报名参加旅游的学生人数之和超过200人。设甲学校报名参加旅游的学生有\(x\)人，因为两校人数之和为240人，所以乙学校报名参加旅游的学生有\((240x)\)人。因为甲校人数多于100人，乙校人数少于100人，所以\(85x+90(240x)=20800\)，去括号得：\(85x+2160090x=20800\)，移项得：\(85x90x=2080021600\)，合并同类项得：\(5x=800\)，系数化为1得：\(x=160\)。则乙学校人数为\(240160=80\)人。

（三）购物问题1.某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元。若商场同时购进其中两种不同型号电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案。若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元。在同时购进两种不同型号电视机的方案中，为使销售时获利最多，你选择哪种进货方案？

答案：分三种情况讨论：①设购进甲种电视机\(x\)台，则购进乙种电视机\((50x)\)台。由题意可得\(1500x+2100(50x)=90000\)，去括号得：\(1500x+1050002100x=90000\)，移项得：\(1500x2100x=90000105000\)，合并同类项得：\(600x=15000\)，系数化为1得：\(x=25\)，则\(50x=25\)。②设购进甲种电视机\(y\)台，则购进丙种电视机\((50y)\)台。由题意可得\(1500y+2500(50y)=90000\)，去括号得：\(1500y+1250002500y=90000\)，移项得：\(1500y2500y=90000125000\)，合并同类项得：\(1000y=35000\)，系数化为1得：\(y=35\)，则\(50y=15\)。③设购进乙种电视机\(z\)台，则购进丙种电视机\((50z)\)台。由题意可得\(2100z+2500(50z)=90000\)，去括号得：\(2100z+1250002500z=90000\)，移项得：\(2100z2500z=90000125000\)，合并同类项得：\(400z=35000\)，系数化为1得：\(z=\frac{175}{2}\)（不合题意，舍去）。所以进货方案有两种：方案一：购进甲种电视机25台，乙种电视机25台。方案二：购进甲种电视机35台，丙种电视机15台。方案一获利：\(150×25+200×25=3750+5000=8750\)元。方案二获利：\(150×35+250×15=5250+3750=9000\)元。因为\(9000＞8750\)，所以选择方案二，即购进甲种电视机35台，丙种电视机15台获利最多。

2.某超市在春节期间对顾客实行优惠，规定如下：一次性购物不超过200元的，不予折扣；一次性购物超过200元，但不超过500元的，按标价给予九折优惠；一次性购物超过500元的，其中500元按第2条给予优惠，超过500元的部分给予八折优惠。某人两次购物分别付款168元和423元，如果他合起来一次去购买同样的商品，他可节省多少钱？

答案：因为\(200×0.9=180\)元，\(168＜180\)，所以第一次购物未享受优惠，商品标价