工程数学概率综合练习题

工程数学概率综合练习题一、单选题1.设事件\(A\)与\(B\)相互独立，且\(P(A)=0.4\)，\(P(B)=0.5\)，则\(P(A\cupB)\)等于（）A.\(0.9\)B.\(0.7\)C.\(0.5\)D.\(0.2\)答案：B解析：因为\(A\)与\(B\)相互独立，所以\(P(A\capB)=P(A)P(B)=0.4\times0.5=0.2\)。根据概率的加法公式\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)P(A\capB)=0.4+0.50.2=0.7\)。

2.已知随机变量\(X\)服从正态分布\(N(1,4)\)，则\(P(1\ltX\leq3)\)等于（）（\(\varPhi(1)=0.8413\)）A.\(0.6826\)B.\(0.8413\)C.\(0.9544\)D.\(0.9974\)答案：A解析：由\(X\simN(1,4)\)，可得\(\mu=1\)，\(\sigma=2\)。\(P(1\ltX\leq3)=P(12\ltX\leq1+2)=P(\mu\sigma\ltX\leq\mu+\sigma)\)。根据正态分布的性质，\(P(\mu\sigma\ltX\leq\mu+\sigma)=0.6826\)。

3.设离散型随机变量\(X\)的分布律为\(P(X=k)=Ck\)，\(k=1,2,3\)，则\(C\)等于（）A.\(\frac{1}{6}\)B.\(\frac{1}{3}\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(1\)答案：A解析：因为离散型随机变量的所有概率之和为\(1\)，即\(\sum_{k=1}^{3}P(X=k)=1\)。所以\(C\times1+C\times2+C\times3=1\)，\(6C=1\)，解得\(C=\frac{1}{6}\)。

4.设随机变量\(X\)的概率密度函数为\(f(x)=\begin{cases}2x,&0\ltx\lt1\\0,&其他\end{cases}\)，则\(E(X)\)等于（）A.\(\frac{1}{3}\)B.\(\frac{2}{3}\)C.\(1\)D.\(2\)答案：B解析：根据期望的定义\(E(X)=\int_{\infty}^{+\infty}xf(x)dx\)。\(E(X)=\int_{0}^{1}x\cdot2xdx=2\int_{0}^{1}x^{2}dx=2\times[\frac{1}{3}x^{3}]_{0}^{1}=\frac{2}{3}\)。

5.对于任意两个随机变量\(X\)和\(Y\)，若\(E(XY)=E(X)E(Y)\)，则（）A.\(D(XY)=D(X)D(Y)\)B.\(D(X+Y)=D(X)+D(Y)\)C.\(X\)与\(Y\)独立D.\(X\)与\(Y\)不相关答案：D解析：已知\(E(XY)=E(X)E(Y)\)，根据协方差的定义\(Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y)=0\)。再根据相关系数的定义\(\rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}=0\)，所以\(X\)与\(Y\)不相关。但仅由\(E(XY)=E(X)E(Y)\)不能得出\(X\)与\(Y\)独立，\(D(XY)=D(X)D(Y)\)和\(D(X+Y)=D(X)+D(Y)\)也不一定成立。

二、填空题1.设事件\(A\)与\(B\)互不相容，\(P(A)=0.3\)，\(P(B)=0.5\)，则\(P(\overline{A\cupB})\)等于______。答案：\(0.2\)解析：因为\(A\)与\(B\)互不相容，所以\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)=0.3+0.5=0.8\)。则\(P(\overline{A\cupB})=1P(A\cupB)=10.8=0.2\)。

2.已知随机变量\(X\)服从参数为\(\lambda\)的泊松分布，且\(P(X=1)=P(X=2)\)，则\(\lambda\)等于______。答案：\(2\)解析：由泊松分布的概率公式\(P(X=k)=\frac{e^{\lambda}\lambda^{k}}{k!}\)，已知\(P(X=1)=P(X=2)\)。即\(\frac{e^{\lambda}\lambda^{1}}{1!}=\frac{e^{\lambda}\lambda^{2}}{2!}\)，化简可得\(\lambda=2\)。

3.设随机变量\(X\)的分布函数为\(F(x)=\begin{cases}0,&x\lt0\\x^{2},&0\leqx\lt1\\1,&x\geq1\end{cases}\)，则\(P(0.5\ltX\lt1.5)\)等于______。答案：\(0.75\)解析：\(P(0.5\ltX\lt1.5)=F(1.5)F(0.5)\)。因为\(F(1.5)=1\)，\(F(0.5)=0.5^{2}=0.25\)，所以\(P(0.5\ltX\lt1.5)=10.25=0.75\)。

4.设随机变量\(X\)和\(Y\)相互独立，且\(X\simN(0,1)\)，\(Y\simN(1,1)\)，则\(Z=X+Y\)服从______分布（写出分布名称及参数）。答案：\(N(1,2)\)解析：若\(X\simN(\mu_1,\sigma_1^{2})\)，\(Y\simN(\mu_2,\sigma_2^{2})\)，且\(X\)与\(Y\)相互独立，则\(X+Y\simN(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^{2}+\sigma_2^{2})\)。已知\(X\simN(0,1)\)，\(Y\simN(1,1)\)，所以\(Z=X+Y\)服从\(N(1,2)\)分布。

5.设总体\(X\simN(\mu,\sigma^{2})\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)为来自总体\(X\)的样本，样本均值为\(\overline{X}\)，样本方差为\(S^{2}\)，则\(\frac{(n1)S^{2}}{\sigma^{2}}\)服从______分布（写出分布名称及参数）。答案：\(\chi^{2}(n1)\)解析：根据抽样分布的性质，\(\frac{(n1)S^{2}}{\sigma^{2}}\)服从自由度为\(n1\)的\(\chi^{2}\)分布，即\(\chi^{2}(n1)\)。

三、解答题1.已知\(P(A)=0.5\)，\(P(B)=0.6\)，\(P(B|A)=0.8\)，求\(P(A\cupB)\)。解：根据条件概率公式\(P(B|A)=\frac{P(A\capB)}{P(A)}\)，可得\(P(A\capB)=P(B|A)P(A)=0.8\times0.5=0.4\)。再根据概率的加法公式\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)P(A\capB)=0.5+0.60.4=0.7\)。

2.设随机变量\(X\)的概率密度函数为\(f(x)=\begin{cases}ax+b,&0\ltx\lt1\\0,&其他\end{cases}\)，且\(E(X)=\frac{7}{12}\)，求\(a\)和\(b\)的值。解：由概率密度函数的性质\(\int_{\infty}^{+\infty}f(x)dx=1\)，可得\(\int_{0}^{1}(ax+b)dx=1\)。\([\frac{1}{2}ax^{2}+bx]_{0}^{1}=1\)，即\(\frac{1}{2}a+b=1\)①。又因为\(E(X)=\int_{\infty}^{+\infty}xf(x)dx=\int_{0}^{1}x(ax+b)dx=\frac{7}{12}\)。\(\int_{0}^{1}(ax^{2}+bx)dx=\frac{7}{12}\)，\([\frac{1}{3}ax^{3}+\frac{1}{2}bx^{2}]_{0}^{1}=\frac{7}{12}\)，即\(\frac{1}{3}a+\frac{1}{2}b=\frac{7}{12}\)②。联立①②，由①得\(b=1\frac{1}{2}a\)，代入②可得：\(\frac{1}{3}a+\frac{1}{2}(1\frac{1}{2}a)=\frac{7}{12}\)\(\frac{1}{3}a+\frac{1}{2}\frac{1}{4}a=\frac{7}{12}\)\(\frac{4a+63a}{12}=\frac{7}{12}\)\(a+6=7\)解得\(a=1\)，则\(b=1\frac{1}{2}\times1=\frac{1}{2}\)。

3.设二维随机变量\((X,Y)\)的联合概率密度函数为\(f(x,y)=\begin{cases}kxy,&0\ltx\lt1,0\lty\lt1\\0,&其他\end{cases}\)，求：（1）常数\(k\)；（2）\(P(X\ltY)\)；（3）\(X\)与\(Y\)的边缘概率密度函数\(f_X(x)\)和\(f_Y(y)\)。解：（1）由\(\int_{\infty}^{+\infty}\int_{\infty}^{+\infty}f(x,y)dxdy=1\)，可得：\(\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}kxy\dxdy=1\)\(k\int_{0}^{1}y\dy\int_{0}^{1}x\dx=1\)\(k\times[\frac{1}{2}y^{2}]_{0}^{1}\times[\frac{1}{2}x^{2}]_{0}^{1}=1\)\(\frac{k}{4}=1\)，解得\(k=4\)。（2）\(P(X\ltY)=\int_{0}^{1}\int_{0}^{y}4xy\dxdy\)\(=\int_{0}^{1}4y[\frac{1}{2}x^{2}]_{0}^{y}dy\)\(=\int_{0}^{1}2y^{3}dy\)\(=[\frac{1}{2}y^{4}]_{0}^{1}=\frac{1}{2}\)。（3）\(X\)的边缘概率密度函数\(f_X(x)=\int_{\infty}^{+\infty}f(x,y)dy\)。当\(0\ltx\lt1\)时，\(f_X(x)=\int_{0}^{1}4xy\dy=4x[\frac{1}{2}y^{2}]_{0}^{1}=2x\)；当\(x\notin(0,1)\)时，\(f_X(x)=0\)。所以\(f_X(x)=\begin{cases}2x,&0\ltx\lt1\\0,&其他\end{cases}\)。\(Y\)的边缘概率密度函数\(f_Y(y)=\int_{\infty}^{+\infty}f(x,y)dx\)。当\(0\lty\lt1\)时，\(f_Y(y)=\int_{0}^{1}4xy\dx=4y[\frac{1}{2}x^{2}]_{0}^{1}=2y\)；当\(y\notin(0,1)\)时，\(f_Y(y)=0\)。所以\(f_Y(y)=\begin{cases}2y,&0\lty\lt1\\0,&其他\end{cases}\)。

4.设总体\(X\)的概率密度函数为\(f(x)=\begin{cases}\thetax^{\theta1},&0\ltx\lt1\\0,&其他\end{cases}\)，其中\(\theta\gt0\)为未知参数，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)为来自总体\(X\)的样本，求\(\theta\)的矩估计量和极大似然估计量。解：（1）求矩估计量：\(E(X)=\int_{\infty}^{+\infty}xf(x)dx=\int_{0}^{1}x\cdot\thetax^{\theta1}dx=\theta\int_{0}^{1}x^{\theta}dx=\frac{\theta}{\theta+1}\)。令\(\overline{X}=E(X)\)，即\(\overline{X}=\frac{\theta}{\theta+1}\)，解得\(\theta=\frac{\overline{X}}{1\overline{X}}\)。所以\(\theta\)的矩估计量为\(\hat{\theta}=\frac{\overline{X}}{1\overline{X}}\)。（2）求极大似然估计量：似然函数\(L(\theta)=\prod_{i=1}^{n}f(x_i)=\prod_{i=1}^{n}\thetax_i^{\theta1}=\theta^{n}(\prod_{i=1}^{n}x_i)^{\theta1}\)。取对数\(\lnL(\theta)=n\ln\theta+(\theta1)\sum_{i=1}^{n}\lnx_i\)。对\(\lnL(\theta)\)求关于\(\theta\)的导数并令其为\(0\)：\(\frac{n}{\theta}+\sum_{i=1}^{n}\lnx_i=0\)解得\(\theta=\frac{n}{\sum_{i=1}^{n}\lnx_i}\)。所以\(\theta\)的极大似然估计量为\(\hat{\theta}=\frac{n}{\sum_{i=1}^{n}\lnX_i}\