七年级数学上册第三章整式及其加减4整式的加减要点梳理素材北师大版教案

七年级数学上册第三章整式及其加减4整式的加减要点梳理素材北师大版教案一、整式加减的核心概念整式加减运算的基础是合并同类项。同类项是指所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。例如，\(3x^2y\)与\(5x^2y\)就是同类项，它们都含有字母\(x\)和\(y\)，且\(x\)的指数都是\(2\)，\(y\)的指数都是\(1\)。

在整式加减中，只有同类项才能进行合并。合并同类项就是把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。比如，\(3x^2y+(5x^2y)=(35)x^2y=2x^2y\)。

去括号法则也是整式加减的重要内容。当括号前是"\(+\)"号时，把括号和它前面的"\(+\)"号去掉后，原括号里各项的符号都不改变；当括号前是"\(\)"号时，把括号和它前面的"\(\)"号去掉后，原括号里各项的符号都要改变。例如，\(a+(bc)=a+bc\)，\(a(bc)=ab+c\)。

二、整式加减的运算步骤（一）去括号1.先观察括号前面的符号，如果是"\(+\)"号，直接去掉括号和前面的"\(+\)"号，括号内各项符号不变；如果是"\(\)"号，去掉括号和前面的"\(\)"号后，括号内各项符号都要改变。2.例如，对于式子\(2x+(3x2y)\)，去括号后得到\(2x+3x2y\)；对于式子\(5a(2a+3b)\)，去括号后得到\(5a2a3b\)。

（二）合并同类项1.找出式子中的同类项。可以通过观察各项的字母及字母的指数来判断，如\(3x^2\)与\(5x^2\)是同类项，\(4xy\)与\(7xy\)是同类项等。2.将同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变。例如，在\(2x+3x2y\)中，\(2x\)与\(3x\)是同类项，合并后为\((2+3)x=5x\)，所以式子化简为\(5x2y\)；在\(5a2a3b\)中，\(5a\)与\(2a\)是同类项，合并后为\((52)a=3a\)，式子化简为\(3a3b\)。

三、整式加减的应用（一）化简求值1.先对整式进行化简，即按照去括号、合并同类项的步骤将式子化为最简形式。2.再将给定的字母的值代入化简后的式子中进行计算。例如，化简求值\(3(2x^2xy)2(3x^22xy)\)，当\(x=2\)，\(y=1\)时的值。首先化简式子：\[\begin{align*}&3(2x^2xy)2(3x^22xy)\\=&6x^23xy(6x^24xy)\\=&6x^23xy6x^2+4xy\\=&(6x^26x^2)+(3xy+4xy)\\=&xy\end{align*}\]然后将\(x=2\)，\(y=1\)代入\(xy\)，得到\((2)×1=2\)。

（二）解决实际问题1.首先根据实际问题中的数量关系列出整式表达式。2.然后对整式进行加减运算，得出结果并解释其实际意义。例如，某工厂第一个月生产\(a\)件产品，第二个月比第一个月增产\(20\%\)，第三个月比第二个月减产\(20\%\)。第一个月生产\(a\)件产品。第二个月生产的产品数量为\(a+20\%a=a(1+20\%)=1.2a\)件。第三个月生产的产品数量为\(1.2a20\%\times1.2a=1.2a(120\%)=0.96a\)件。三个月生产产品的总数为\(a+1.2a+0.96a=(1+1.2+0.96)a=3.16a\)件。这里\(3.16a\)就表示三个月生产产品的总数，通过整式加减运算清晰地得出了结果，并且能直观地了解到三个月生产产品数量之间的关系。

（三）整式加减在几何图形中的应用1.对于一些与几何图形相关的问题，我们可以用整式来表示图形的边长、周长、面积等。2.通过整式加减运算来求解图形的相关量。例如，一个长方形的长为\(3x+2\)，宽为\(2x1\)。它的周长为\(2[(3x+2)+(2x1)]\)，化简可得：\[\begin{align*}&2[(3x+2)+(2x1)]\\=&2(3x+2+2x1)\\=&2(5x+1)\\=&10x+2\end{align*}\]它的面积为\((3x+2)(2x1)\)，展开可得：\[\begin{align*}&(3x+2)(2x1)\\=&3x×2x3x×1+2×2x2×1\\=&6x^23x+4x2\\=&6x^2+x2\end{align*}\]通过整式的运算，我们准确地求出了长方形的周长和面积表达式，这对于解决与该长方形相关的几何问题具有重要意义。

四、整式加减的常见错误分析（一）同类项判断错误1.有的同学可能只看字母部分，忽略了相同字母的指数也必须相同这一条件。例如，认为\(3x^2y\)与\(3xy^2\)是同类项，这是错误的。虽然它们都含有字母\(x\)和\(y\)，但\(x\)的指数在\(3x^2y\)中是\(2\)，在\(3xy^2\)中是\(1\)，\(y\)的指数在\(3x^2y\)中是\(1\)，在\(3xy^2\)中是\(2\)，所以它们不是同类项。2.要准确判断同类项，必须严格按照同类项的定义，仔细比较各项字母及字母的指数。

（二）去括号错误1.当括号前是"\(\)"号时，去括号后括号内各项符号没有全部改变。例如，对于式子\(5(2x3)\)，去括号后错误地写成\(52x3\)，正确的应该是\(52x+3\)。2.去括号时一定要牢记去括号法则，根据括号前的符号准确改变括号内各项的符号。

（三）合并同类项错误1.合并同类项时，系数计算错误。比如，在合并\(3x+5x\)时，错误地得到\(8x^2\)，正确的应该是\((3+5)x=8x\)。2.要正确合并同类项，只把系数相加，字母和字母的指数不变，计算系数时要认真仔细，避免出现运算错误。

五、整式加减的巩固练习（一）基础练习题1.合并同类项：\(2x+3x\)\(4a2a\)\(3x^25x^2+2x^2\)\(5xy3xy+xy\)2.去括号：\(a+(bc)\)\(m(np)\)\((2x3y)\)\(2(ab+c)\)3.化简下列式子：\(3x2y+5x3y\)\(4a^23a+2a^2+5a\)\(2(x+y)3(xy)\)\(5(2x^23xy)2(3x^24xy)\)

（二）提高练习题1.已知\(A=3x^22xy+y^2\)，\(B=2x^2+xy3y^2\)，求\(A+B\)和\(AB\)。2.先化简，再求值：\(3a^2b[2ab^22(ab\frac{3}{2}a^2b)+ab]+3ab^2\)，其中\(a=3\)，\(b=\frac{1}{3}\)。3.一个多项式加上\(2x^25\)得\(3x^2+4x1\)，求这个多项式。4.已知三角形的第一条边长为\(3a+2b\)，第二条边比第一条边长\(ab\)，第三条边比第二条边短\(2a\)，求这个三角形的周长。

（三）拓展练习题1.有这样一道题："当\(a=0.35\)，\(b=0.28\)时，求多项式\(7a^36a^3b+3a^2b+3a^3+6a^3b3a^2b10a^3\)的值。"有一位同学指出，题目中给出的条件\(a=0.35\)，\(b=0.28\)是多余的，他的说法有道理吗？为什么？2.已知\(x^2+xy=3\)，\(xy+y^2=2\)，求\(2x^2xy3y^2\)的值。3.小明在计算一个多项式减去\(3x^22x+1\)时，误看成加上\(3x^22x+1\)，得到的结果为\(5x^2+x7\)，求正确的结果。

六、总结整式加减是七年级数学上册的重要内容，它建立在整式的概念基础之上。通过去括号和合并同类项这两个关键步骤，我们可以对