规划问题的教学例题

规划问题的教学例题一、引言规划问题在数学教学中占据着重要地位，它涉及到如何合理安排资源、时间、步骤等，以达到最优的目标。通过解决规划问题，学生能够培养逻辑思维、分析问题和解决问题的能力，提高数学应用水平。本文将通过一系列典型例题，系统地介绍规划问题的常见类型及解题方法。

二、线性规划问题

（一）例题1某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品需用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品需用A原料1吨、B原料3吨。销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元。现有A原料13吨、B原料18吨，问如何安排生产才能使利润最大？

1.解题思路设生产甲产品\(x\)吨，生产乙产品\(y\)吨，利润为\(z\)万元。

根据已知条件可得到约束条件：\(\begin{cases}3x+y\leq13\\2x+3y\leq18\\x\geq0\\y\geq0\end{cases}\)

目标函数为：\(z=5x+3y\)

2.求解过程首先，画出约束条件所表示的可行域。

对于\(3x+y\leq13\)，当\(x=0\)时，\(y=13\)；当\(y=0\)时，\(x=\frac{13}{3}\)，连接这两点得到直线\(3x+y=13\)，取直线下方区域（包含直线）。

对于\(2x+3y\leq18\)，当\(x=0\)时，\(y=6\)；当\(y=0\)时，\(x=9\)，连接这两点得到直线\(2x+3y=18\)，取直线下方区域（包含直线）。

再结合\(x\geq0\)，\(y\geq0\)，可行域是一个四边形区域（包括边界）。

然后，通过平移目标函数\(z=5x+3y\)的直线，当直线经过可行域内的点\((3,4)\)时，\(z\)取得最大值。

将\((3,4)\)代入目标函数可得：\(z=5×3+3×4=27\)（万元）

所以，安排生产甲产品3吨，乙产品4吨时，利润最大为27万元。

（二）例题2某运输公司有7辆载重量为6吨的A型卡车与4辆载重量为10吨的B型卡车，有9名驾驶员。在建筑某段高速公路中，此公司承包了每天至少搬运360吨沥青的任务。已知每辆卡车每天往返的次数为A型车8次，B型车6次；每辆卡车每天的成本费为A型车160元，B型车252元。问每天派出A型车与B型车各多少辆，公司所花的成本费最低？

1.解题思路设每天派出A型车\(x\)辆，B型车\(y\)辆，成本费为\(z\)元。

约束条件为：\(\begin{cases}x\leq7\\y\leq4\\x+y\leq9\\48x+60y\geq360\\x\geq0\\y\geq0\end{cases}\)

目标函数为：\(z=160x+252y\)

2.求解过程画出约束条件所表示的可行域。

\(x\leq7\)表示直线\(x=7\)左侧区域（包含直线）；\(y\leq4\)表示直线\(y=4\)下方区域（包含直线）；\(x+y\leq9\)表示直线\(x+y=9\)下方区域（包含直线）；\(48x+60y\geq360\)即\(4x+5y\geq30\)，表示直线\(4x+5y=30\)上方区域（包含直线）。

可行域是一个多边形区域（包括边界）。

平移目标函数\(z=160x+252y\)的直线，通过计算可行域各顶点坐标，分别代入目标函数比较大小。

可行域顶点坐标分别为\((5,2)\)，\((7,2)\)，\((7,0)\)等。

将\((5,2)\)代入目标函数得：\(z=160×5+252×2=1204\)（元）

将\((7,2)\)代入目标函数得：\(z=160×7+252×2=1504\)（元）

将\((7,0)\)代入目标函数得：\(z=160×7=1120\)（元）

比较可得，当\(x=5\)，\(y=2\)时，成本费最低为1204元。

三、任务分配规划问题

（一）例题3有四项不同的任务，要分配给甲、乙、丙、丁四个人去完成，每人只能完成一项任务。已知甲不能完成任务A，乙不能完成任务B，丙不能完成任务C，丁不能完成任务D，问有多少种不同的分配方法？

1.解题思路采用容斥原理来解决这个问题。

首先计算所有可能的分配方法，即\(A_{4}^4=4!=24\)种。

然后分别计算不符合条件的分配方法：甲完成任务A的情况有\(A_{3}^3=3!=6\)种；乙完成任务B的情况有\(A_{3}^3=3!=6\)种；丙完成任务C的情况有\(A_{3}^3=3!=6\)种；丁完成任务D的情况有\(A_{3}^3=3!=6\)种。

但是这里面有重复计算的部分，比如甲完成A且乙完成B的情况被多算了一次，需要加上这些重复计算的情况。

甲完成A且乙完成B的情况有\(A_{2}^2=2\)种；同理，甲完成A且丙完成C、甲完成A且丁完成D、乙完成B且丙完成C、乙完成B且丁完成D、丙完成C且丁完成D的情况都各有\(A_{2}^2=2\)种，共\(6×A_{2}^2=12\)种。

而甲完成A、乙完成B且丙完成C的情况被多减了一次，需要再减去，这种情况有\(A_{1}^1=1\)种；同理，其他类似的三重不符合条件的情况也各有\(A_{1}^1=1\)种，共\(4×A_{1}^1=4\)种。

还有甲完成A、乙完成B、丙完成C且丁完成D的情况被多算了又多减了，需要再加上，这种情况有\(A_{0}^0=1\)种。

2.求解过程根据容斥原理，符合条件的分配方法数为：

\(4!4×3!+6×2!4×1!+1×0!\)\(=2424+124+1\)\(=9\)（种）

（二）例题4某车间有5名工人，要安排他们分别加工5种不同的零件，每个工人只能加工一种零件。已知工人甲不能加工零件1，工人乙不能加工零件2，工人丙不能加工零件3，工人丁不能加工零件4，工人戊不能加工零件5，问共有多少种不同的分配方案？

1.解题思路同样利用容斥原理。

所有可能的分配方案有\(A_{5}^5=5!=120\)种。

计算不符合条件的分配方案：甲加工零件1的情况有\(A_{4}^4=4!=24\)种；乙加工零件2的情况有\(A_{4}^4=4!=24\)种；丙加工零件3的情况有\(A_{4}^4=4!=24\)种；丁加工零件4的情况有\(A_{4}^4=4!=24\)种；戊加工零件5的情况有\(A_{4}^4=4!=24\)种。

然后计算重复计算的部分：甲加工零件1且乙加工零件2的情况有\(A_{3}^3=3!=6\)种；以此类推，两两组合不符合条件的情况共有\(C_{5}^2×A_{3}^3=10×6=60\)种。

再计算三重不符合条件的情况：甲加工零件1、乙加工零件2且丙加工零件3的情况有\(A_{2}^2=2\)种；以此类推，三重不符合条件的情况共有\(C_{5}^3×A_{2}^2=10×2=20\)种。

接着计算四重不符合条件的情况：甲加工零件1、乙加工零件2、丙加工零件3且丁加工零件4的情况有\(A_{1}^1=1\)种；以此类推，四重不符合条件的情况共有\(C_{5}^4×A_{1}^1=5×1=5\)种。

最后计算五重不符合条件的情况：甲加工零件1、乙加工零件2、丙加工零件3、丁加工零件4且戊加工零件5的情况有\(A_{0}^0=1\)种。

2.求解过程根据容斥原理，符合条件的分配方案数为：

\(5!C_{5}^1×4!+C_{5}^2×3!C_{5}^3×2!+C_{5}^4×1!C_{5}^5×0!\)\(=1205×24+10×610×2+5×11×1\)\(=44\)（种）

四、资源分配规划问题

（一）例题5某公司有资金100万元，计划投资甲、乙两个项目。已知投资甲项目一年可获利20%，投资乙项目一年可获利10%。根据市场分析，甲、乙两个项目的投资风险不同，公司要求对甲项目的投资不低于总资金的40%，对乙项目的投资不高于总资金的60%，问如何分配资金才能使一年的总获利最大？

1.解题思路设投资甲项目\(x\)万元，则投资乙项目\((100x)\)万元，总获利为\(y\)万元。

约束条件为：\(\begin{cases}x\geq100×40\%\\100x\leq100×60\%\\0\leqx\leq100\end{cases}\)

即\(\begin{cases}x\geq40\\x\geq40\\0\leqx\leq100\end{cases}\)

目标函数为：\(y=0.2x+0.1(100x)\)

2.求解过程化简目标函数得：\(y=0.2x+100.1x=0.1x+10\)

因为\(y=0.1x+10\)是增函数，结合约束条件\(40\leqx\leq100\)，当\(x=60\)时，\(y\)取得最大值。

此时\(y=0.1×60+10=16\)（万元）

所以投资甲项目60万元，投资乙项目40万元时，一年的总获利最大为16万元。

（二）例题6某工厂有甲、乙两种原材料，甲种原材料有300千克，乙种原材料有200千克。用这两种原材料生产A、B两种产品。已知生产一件A产品需用甲种原材料2千克、乙种原材料1千克；生产一件B产品需用甲种原材料1千克、乙种原材料2千克。每件A产品可获利30元，每件B产品可获利20元。问如何安排生产才能使利润最大？

1.解题思路设生产A产品\(x\)件，生产B产品\(y\)件，利润为\(z\)元。

约束条件为：\(\begin{cases}2x+y\leq300\\x+2y\leq200\\x\geq0\\y\geq0\end{cases}\)

目标函数为：\(z=30x+20y\)

2.求解过程画出约束条件所表示的可行域。

对于\(2x+y\leq300\)，当\(x=0\)时，\(y=300\)；当\(y=0\)时，\(x=150\)，连接这两点得到直线\(2x+y=300\)，取直线下方区域（包含直线）。

对于\(x+2y\leq200\)，当\(x=0\)时，\(y=100\)；当\(y=0\)时，\(x=200\)，连接这两点得到直线\(x+2y=200\)，取直线下方区域（包含直线）。

再结合\(x\geq0\)，\(y\geq0\)，可行域是一个四边形区域（包括边界）。

平移目标函数\(z=30x+20y\)的直线，当直线经过可行域内的点\((100,100)\)时，\(z\)取得最大值。

将\((100,100)\)代入目标函数可得：\(z=30×100+20×100=5000\)（元）

所以，生产A产品100件，生产B产品100件时，利润最大为5000元。

五、时间规划问题

（一）例题7小明计划在周末完成语文、数学、英语三科作业。他预计做语文作业需要2小时，做数学作业需要1.5小时，做英语作业需要1小时。他想在周六上午9点到下午5点之间完成作业，并且希望先完成数学作业，问他应该如何安排作业顺序，才能使