小学数学工程问题

小学数学工程问题一、工程问题概述

工程问题是小学数学应用题中的重要内容，它主要研究工作总量、工作效率和工作时间三者之间的关系。在日常生活和生产中，我们经常会遇到与工程相关的问题，比如修路、建房、完成某项任务等，通过解决这些问题，可以培养学生分析问题和解决问题的能力，以及逻辑思维能力。

工程问题的基本数量关系为：工作总量=工作效率×工作时间。

工作效率是指单位时间内完成的工作量，通常用"工作量/时间"来表示。例如，一个工人每天能砌10块砖，那么他的工作效率就是10块/天。

工作时间是指完成工作总量所需要的时间。

工作总量则是指整个工程或任务的全部工作量，它可以是具体的数量，也可以是抽象的"1"（当工作总量不明确时，通常把工作总量看作单位"1"）。

二、工程问题的基本题型及解法

（一）已知工作总量、工作效率，求工作时间例1：一项工程，工作总量为600米的道路修建，甲工程队每天能修30米，问甲队修完这条路需要多少天？分析：已知工作总量是600米，工作效率是每天修30米，根据工作时间=工作总量÷工作效率，可直接求解。解答：$600÷30=20$（天）答：甲队修完这条路需要20天。

（二）已知工作总量、工作时间，求工作效率例2：修建一座桥梁，工作总量为1200立方米混凝土浇筑，工程队20天完成，问工程队每天的工作效率是多少？分析：已知工作总量是1200立方米，工作时间是20天，根据工作效率=工作总量÷工作时间，可求出工作效率。解答：$1200÷20=60$（立方米/天）答：工程队每天的工作效率是60立方米/天。

（三）已知工作效率、工作时间，求工作总量例3：一个打字员每分钟能打80个字，打了30分钟，一共打了多少个字？分析：已知工作效率是每分钟80个字，工作时间是30分钟，根据工作总量=工作效率×工作时间，可求出工作总量。解答：$80×30=2400$（字）答：一共打了2400个字。

（四）工作总量为单位"1"的简单工程问题例4：一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成。（1）甲队每天完成这项工程的几分之几？（2）乙队每天完成这项工程的几分之几？分析：把这项工程的工作总量看作单位"1"。甲队单独做10天完成，那么甲队每天完成的工作量就是用单位"1"除以甲队的工作时间，即甲队每天完成这项工程的$1÷10=\frac{1}{10}$。同理，乙队单独做15天完成，乙队每天完成这项工程的$1÷15=\frac{1}{15}$。解答：（1）$1÷10=\frac{1}{10}$答：甲队每天完成这项工程的$\frac{1}{10}$。（2）$1÷15=\frac{1}{15}$答：乙队每天完成这项工程的$\frac{1}{15}$。

（五）合作完成工程问题例5：一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成。两队合作，几天可以完成这项工程？分析：首先求出甲、乙两队的工作效率，甲队每天完成$\frac{1}{10}$，乙队每天完成$\frac{1}{15}$。然后计算两队合作的工作效率，即甲队工作效率加上乙队工作效率：$\frac{1}{10}+\frac{1}{15}=\frac{3}{30}+\frac{2}{30}=\frac{1}{6}$。最后根据工作时间=工作总量÷工作效率，工作总量是单位"1"，可得两队合作完成这项工程需要的时间为$1÷\frac{1}{6}=6$（天）。解答：甲队工作效率：$1÷10=\frac{1}{10}$乙队工作效率：$1÷15=\frac{1}{15}$两队合作工作效率：$\frac{1}{10}+\frac{1}{15}=\frac{1}{6}$合作完成时间：$1÷\frac{1}{6}=6$（天）答：两队合作6天可以完成这项工程。

（六）有休息情况的工程问题例6：一项工程，甲队单独做需要12天完成，乙队单独做需要18天完成。两队合作4天后，甲队因事休息3天，问完成这项工程一共需要多少天？分析：1.先求出甲、乙两队合作4天完成的工作量：甲队工作效率为$1÷12=\frac{1}{12}$，乙队工作效率为$1÷18=\frac{1}{18}$。两队合作4天完成的工作量为$(\frac{1}{12}+\frac{1}{18})×4=(\frac{3}{36}+\frac{2}{36})×4=\frac{5}{36}×4=\frac{5}{9}$。2.然后计算乙队单独做3天完成的工作量：乙队工作效率为$\frac{1}{18}$，3天完成的工作量为$\frac{1}{18}×3=\frac{1}{6}$。3.此时剩余的工作量为：$1\frac{5}{9}\frac{1}{6}=1\frac{10}{18}\frac{3}{18}=\frac{5}{18}$。4.最后计算剩余工作量两队合作需要的时间：两队合作工作效率为$\frac{1}{12}+\frac{1}{18}=\frac{5}{36}$。剩余工作量两队合作需要的时间为$\frac{5}{18}÷\frac{5}{36}=\frac{5}{18}×\frac{36}{5}=2$（天）。5.那么完成这项工程一共需要的时间为：$4+3+2=9$（天）。解答：甲队工作效率：$1÷12=\frac{1}{12}$乙队工作效率：$1÷18=\frac{1}{18}$两队合作4天完成工作量：$(\frac{1}{12}+\frac{1}{18})×4=\frac{5}{9}$乙队3天完成工作量：$\frac{1}{18}×3=\frac{1}{6}$剩余工作量：$1\frac{5}{9}\frac{1}{6}=\frac{5}{18}$剩余工作量两队合作时间：$\frac{5}{18}÷\frac{5}{36}=2$（天）完成工程总时间：$4+3+2=9$（天）答：完成这项工程一共需要9天。

（七）交替工作的工程问题例7：一项工程，甲单独做需要6小时完成，乙单独做需要10小时完成。如果按照甲、乙、甲、乙......的顺序交替工作，每次1小时，那么完成这项工程需要多少小时？分析：1.先求出甲、乙各工作1小时完成的工作量：甲1小时完成$\frac{1}{6}$，乙1小时完成$\frac{1}{10}$。2.把甲、乙各工作1小时看作一个循环周期，一个周期完成的工作量为：$\frac{1}{6}+\frac{1}{10}=\frac{5}{30}+\frac{3}{30}=\frac{4}{15}$。3.计算需要几个完整周期：$1÷\frac{4}{15}=1×\frac{15}{4}=3\frac{3}{4}$，即需要3个完整周期，还剩余工作量为$1\frac{4}{15}×3=1\frac{4}{5}=\frac{1}{5}$。4.3个周期后轮到甲工作，甲完成剩余工作量$\frac{1}{5}$需要的时间为：$\frac{1}{5}÷\frac{1}{6}=\frac{1}{5}×6=\frac{6}{5}=1.2$（小时）。5.那么完成这项工程总共需要的时间为：$3×2+1.2=7.2$（小时）。解答：甲1小时工作量：$\frac{1}{6}$乙1小时工作量：$\frac{1}{10}$一个周期工作量：$\frac{1}{6}+\frac{1}{10}=\frac{4}{15}$周期数：$1÷\frac{4}{15}=3\frac{3}{4}$3个周期后剩余工作量：$1\frac{4}{15}×3=\frac{1}{5}$甲完成剩余工作量时间：$\frac{1}{5}÷\frac{1}{6}=1.2$（小时）总时间：$3×2+1.2=7.2$（小时）答：完成这项工程需要7.2小时。

三、工程问题的拓展与变化

（一）工作效率变化的工程问题例8：一项工程，原计划甲队单独做需要20天完成，乙队单独做需要30天完成。由于改进了技术，甲队的工作效率提高了20%，乙队的工作效率提高了25%。现在两队合作，需要多少天完成这项工程？分析：1.先求出原来甲、乙两队的工作效率：甲队原来工作效率为$1÷20=\frac{1}{20}$，乙队原来工作效率为$1÷30=\frac{1}{30}$。2.再求出提高效率后甲、乙两队的工作效率：甲队提高后的工作效率为$\frac{1}{20}×(1+20\%)=\frac{1}{20}×1.2=\frac{3}{50}$。乙队提高后的工作效率为$\frac{1}{30}×(1+25\%)=\frac{1}{30}×\frac{5}{4}=\frac{1}{24}$。3.最后计算两队合作完成工程需要的时间：两队合作工作效率为$\frac{3}{50}+\frac{1}{24}=\frac{36}{600}+\frac{25}{600}=\frac{61}{600}$。合作完成时间为$1÷\frac{61}{600}=\frac{600}{61}\approx9.84$（天）。解答：甲队原来工作效率：$1÷20=\frac{1}{20}$乙队原来工作效率：$1÷30=\frac{1}{30}$甲队提高后工作效率：$\frac{1}{20}×(1+20\%)=\frac{3}{50}$乙队提高后工作效率：$\frac{1}{30}×(1+25\%)=\frac{1}{24}$两队合作工作效率：$\frac{3}{50}+\frac{1}{24}=\frac{61}{600}$合作完成时间：$1÷\frac{61}{600}=\frac{600}{61}\approx9.84$（天）答：现在两队合作大约需要9.84天完成这项工程。

（二）工作总量变化的工程问题例9：修一条路，原计划每天修300米，20天修完。实际每天多修了100米，那么实际比原计划提前几天修完？分析：1.先求出这条路的总长度：$300×20=6000$（米）2.再求出实际每天修的长度：$300+100=400$（米）3.然后计算实际修完路需要的时间：$6000÷400=15$（天）4.最后计算提前的天数：$2015=5$（天）解答：路的总长度：$300×20=6000$（米）实际每天修的长度：$300+100=400$（米）实际修完时间：$6000÷400=15$（天）提前天数：$2015=5$（天）答：实际比原计划提前5天修完。

（三）多个工程队参与的工程问题例10：一项工程，甲、乙两队合作需要12天完成，乙、丙两队合作需要15天完成，甲、丙两队合作需要20天完成。甲、乙、丙三队合作，需要多少天完成这项工程？分析：1.先求出甲、乙两队合作的工作效率，乙、丙两队合作的工作效率，甲、丙两队合作的工作效率：甲、乙合作工作效率为$1÷12=\frac{1}{12}$。乙、丙合作工作效率为$1÷15=\frac{1}{15}$。甲、丙合作工作效率为$1÷20=\frac{1}{20}$。2.把上面三个工作效率相加，得到的是甲、乙、丙三队合作工作效率的2倍：$(\frac{1}{12}+\frac{1}{15}+\frac{1}{20})÷2=(\frac{5}{60}+\frac{4}{60}+\frac{3}{60})÷2=\frac{1}{5}÷2=\frac{1}{10}$。3.最后根据工作时间=工作总量÷工作效率，求出甲、乙、丙三队合作完成工程需要的时间：$1÷\frac{1}{10}=10$（天）。解答：甲、乙合作工作效率：$1÷12=\frac{1}{12}$乙、丙合作工作效率：$1÷15=\frac{1}{15}$甲、丙合作工作效率：$1÷20=\frac{1}{20}$甲、乙、丙合作工作效率：$(\frac{1}{12}+\frac{1}{15}+\frac{1}{20})÷2=\frac{1}{10}$合作完成时间：$1÷\frac{1}{10}=10$（天）答：甲、乙、丙三队合作需要10天完成这项工程。

四、工程问题的解题技巧与策略

（一）巧用单位"1"在工程问题中，当工作总量不明确时，把工作总量看作单位"1"是一种常用的方法。这样可以将具体的数量关系转化为分数关系，便于计算和分析。例如，在合作完成工程问题中，通过求出各队的工作效率（即单位时间内完成单位"1"的几分之几），再根据合作工作效率求出合作完成时间。

（二）列表分析对于复杂的工程问题，特别是涉及多个工程队、不同工作时间和工作效率变化的情况，列表分析是一种很有效的解题策略。通过列表可以清晰地整理出各个工程队的工作效率、工作时间以及完成的工作量等信息，有助于我们发现问题