大学流体力学,哈工程版张亮,李云波第八章习题参考答案

大学流体力学,哈工程版张亮,李云波第八章习题参考答案一、习题81题目试说明在有势流动中沿封闭曲线的速度环量等于零。

答案1.有势流动的定义有势流动是指流场中各点的速度可以表示为某个标量函数（速度势函数）的梯度，即\(\vec{V}=\nabla\varphi\)。2.速度环量的定义沿封闭曲线\(l\)的速度环量\(\Gamma\)定义为\(\Gamma=\oint_{l}\vec{V}\cdotd\vec{l}\)。3.证明过程将\(\vec{V}=\nabla\varphi\)代入速度环量表达式中，得到\(\Gamma=\oint_{l}\nabla\varphi\cdotd\vec{l}\)。根据斯托克斯定理，\(\oint_{l}\vec{A}\cdotd\vec{l}=\iint_{S}(\nabla\times\vec{A})\cdotd\vec{S}\)，这里\(\vec{A}=\nabla\varphi\)。对于标量函数\(\varphi\)的梯度\(\nabla\varphi\)，其旋度\(\nabla\times(\nabla\varphi)=0\)。所以\(\Gamma=\oint_{l}\nabla\varphi\cdotd\vec{l}=\iint_{S}(\nabla\times\nabla\varphi)\cdotd\vec{S}=0\)。即在有势流动中沿封闭曲线的速度环量等于零。

二、习题82题目已知速度场\(\vec{V}=2xy\vec{i}+(x^{2}y^{2})\vec{j}\)，求：（1）该速度场是否为无旋流动？（2）若为无旋流动，求其速度势函数\(\varphi\)。

答案1.判断是否为无旋流动对于二维流动，速度场\(\vec{V}=u\vec{i}+v\vec{j}\)，无旋的条件是\(\frac{\partialv}{\partialx}\frac{\partialu}{\partialy}=0\)。已知\(u=2xy\)，\(v=x^{2}y^{2}\)。计算\(\frac{\partialv}{\partialx}=2x\)，\(\frac{\partialu}{\partialy}=2x\)。则\(\frac{\partialv}{\partialx}\frac{\partialu}{\partialy}=2x2x=0\)，所以该速度场是无旋流动。2.求速度势函数\(\varphi\)由\(\vec{V}=\nabla\varphi\)，即\(u=\frac{\partial\varphi}{\partialx}\)，\(v=\frac{\partial\varphi}{\partialy}\)。因为\(u=2xy\)，对\(x\)积分得\(\varphi=\int2xy\mathrm{d}x=x^{2}y+f(y)\)。又因为\(v=\frac{\partial\varphi}{\partialy}=x^{2}y^{2}\)，将\(\varphi=x^{2}y+f(y)\)对\(y\)求导得\(\frac{\partial\varphi}{\partialy}=x^{2}+f^\prime(y)\)。所以\(x^{2}+f^\prime(y)=x^{2}y^{2}\)，则\(f^\prime(y)=y^{2}\)。再对\(y\)积分得\(f(y)=\frac{1}{3}y^{3}+C\)（\(C\)为常数）。取\(C=0\)，速度势函数\(\varphi=x^{2}y\frac{1}{3}y^{3}\)。

三、习题83题目已知速度场\(\vec{V}=(3x^{2}+6y)\vec{i}(6xy^{2})\vec{j}\)，求：（1）流函数\(\psi\)；（2）通过点\((1,2)\)和点\((2,4)\)之间曲线的流量\(Q\)。

答案1.求流函数\(\psi\)对于二维不可压缩流动，\(u=\frac{\partial\psi}{\partialy}\)，\(v=\frac{\partial\psi}{\partialx}\)。已知\(u=3x^{2}+6y\)，对\(y\)积分得\(\psi=\int(3x^{2}+6y)\mathrm{d}y=3x^{2}y+3y^{2}+f(x)\)。又因为\(v=\frac{\partial\psi}{\partialx}=(6xy+f^\prime(x))=6x+y^{2}\)。所以\(6xy+f^\prime(x)=6xy^{2}\)，则\(f^\prime(x)=y^{2}\)。对\(x\)积分得\(f(x)=xy^{2}+C\)（\(C\)为常数）。取\(C=0\)，流函数\(\psi=3x^{2}y+3y^{2}xy^{2}\)。2.求通过两点之间曲线的流量\(Q\)通过两点\((x_1,y_1)\)和\((x_2,y_2)\)之间曲线的流量\(Q=\psi(x_2,y_2)\psi(x_1,y_1)\)。已知\((x_1,y_1)=(1,2)\)，\((x_2,y_2)=(2,4)\)。先计算\(\psi(2,4)=3\times2^{2}\times4+3\times4^{2}2\times4^{2}=48+4832=64\)。再计算\(\psi(1,2)=3\times1^{2}\times2+3\times2^{2}1\times2^{2}=6+124=14\)。则流量\(Q=\psi(2,4)\psi(1,2)=6414=50\)。

四、习题84题目已知不可压缩平面流动的速度势函数\(\varphi=x^{2}y^{2}\)，求：（1）速度分量\(u\)和\(v\)；（2）流函数\(\psi\)；（3）在点\((1,1)\)处的速度大小和方向。

答案1.求速度分量\(u\)和\(v\)由\(\vec{V}=\nabla\varphi\)，\(u=\frac{\partial\varphi}{\partialx}\)，\(v=\frac{\partial\varphi}{\partialy}\)。已知\(\varphi=x^{2}y^{2}\)，则\(u=\frac{\partial\varphi}{\partialx}=2x\)，\(v=\frac{\partial\varphi}{\partialy}=2y\)。2.求流函数\(\psi\)因为\(u=\frac{\partial\psi}{\partialy}\)，\(v=\frac{\partial\psi}{\partialx}\)。由\(u=2x\)，对\(y\)积分得\(\psi=\int2x\mathrm{d}y=2xy+f(x)\)。又因为\(v=\frac{\partial\psi}{\partialx}=2y\)，将\(\psi=2xy+f(x)\)对\(x\)求导得\(\frac{\partial\psi}{\partialx}=2yf^\prime(x)\)。所以\(2yf^\prime(x)=2y\)，则\(f^\prime(x)=0\)，\(f(x)=C\)（\(C\)为常数）。取\(C=0\)，流函数\(\psi=2xy\)。3.求点\((1,1)\)处的速度大小和方向在点\((1,1)\)处，\(u=2\times1=2\)，\(v=2\times1=2\)。速度大小\(V=\sqrt{u^{2}+v^{2}}=\sqrt{2^{2}+(2)^{2}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)。速度方向\(\tan\theta=\frac{v}{u}=\frac{2}{2}=1\)，所以\(\theta=45^{\circ}\)（与\(x\)轴正向夹角）。

五、习题85题目已知不可压缩平面流动的流函数\(\psi=3x^{2}yy^{3}\)，求：（1）速度分量\(u\)和\(v\)；（2）速度势函数\(\varphi\)。

答案1.求速度分量\(u\)和\(v\)由\(u=\frac{\partial\psi}{\partialy}\)，\(v=\frac{\partial\psi}{\partialx}\)。已知\(\psi=3x^{2}yy^{3}\)，则\(u=\frac{\partial\psi}{\partialy}=3x^{2}3y^{2}\)，\(v=\frac{\partial\psi}{\partialx}=6xy\)。2.求速度势函数\(\varphi\)因为\(u=\frac{\partial\varphi}{\partialx}\)，\(v=\frac{\partial\varphi}{\partialy}\)。由\(u=3x^{2}3y^{2}\)，对\(x\)积分得\(\varphi=\int(3x^{2}3y^{2})\mathrm{d}x=x^{3}3xy^{2}+f(y)\)。又因为\(v=\frac{\partial\varphi}{\partialy}=6xy+f^\prime(y)\)，已知\(v=6xy\)。所以\(6xy+f^\prime(y)=6xy\)，则\(f^\prime(y)=0\)，\(f(y)=C\)（\(C\)为常数）。取\(C=0\)，速度势函数\(\varphi=x^{3}3xy^{2}\)。

六、习题86题目已知平面流动的速度场为\(\vec{V}=(x+2y)\vec{i}+(2xy)\vec{j}\)，试确定：（1）该流动是否为无旋流动？（2）若为无旋流动，求其速度势函数\(\varphi\)和流函数\(\psi\)。

答案1.判断是否为无旋流动对于二维流动，速度场\(\vec{V}=u\vec{i}+v\vec{j}\)，无旋的条件是\(\frac{\partialv}{\partialx}\frac{\partialu}{\partialy}=0\)。已知\(u=x+2y\)，\(v=2xy\)。计算\(\frac{\partialv}{\partialx}=2\)，\(\frac{\partialu}{\partialy}=2\)。则\(\frac{\partialv}{\partialx}\frac{\partialu}{\partialy}=22=0\)，所以该流动是无旋流动。2.求速度势函数\(\varphi\)由\(\vec{V}=\nabla\varphi\)，即\(u=\frac{\partial\varphi}{\partialx}\)，\(v=\frac{\partial\varphi}{\partialy}\)。因为\(u=x+2y\)，对\(x\)积分得\(\varphi=\int(x+2y)\mathrm{d}x=\frac{1}{2}x^{2}+2xy+f(y)\)。又因为\(v=\frac{\partial\varphi}{\partialy}=2x+f^\prime(y)\)，已知\(v=2xy\)。所以\(2x+f^\prime(y)=2xy\)，则\(f^\prime(y)=y\)。对\(y\)积分得\(f(y)=\frac{1}{2}y^{2}+C\)（\(C\)为常数）。取\(C=0\)，速度势函数\(\varphi=\frac{1}{2}x^{2}+2xy\frac{1}{2}y^{2}\)。3.求流函数\(\psi\)因为\(u=\frac{\partial\psi}{\partialy}\)，\(v=\frac{\partial\psi}{\partialx}\)。由\(u=x+2y\)，对\(y\)积分得\(\psi=\int(x+2y)\mathrm{d}y=xy+y^{2}+f(x)\)。又因为\(v=\frac{\partial\psi}{\partialx}=yf^\prime(x)\)，已知\(v=2xy\)。所以\(yf^\prime(x)=2xy\)，则\(f^\prime(x)=2x\)。对\(x\)积分得\(f(x)=x^{2}+C\)（\(C\)为常数）。取\(C=0\)，流函数\(\psi=xy+y^{2}x^{2}\)。

七、习题87题目已知无旋平面流动的速度势函数\(\varphi=2xy\)，求通过由\(x=0\)，\(y=0\)，\(x=1\)，\(y=1\)所围成正方形边界的流量\(Q\)。

答案1.求流函数\(\psi\)因为\(u=\frac{\partial\psi}{\partialy}\)，\(v=\frac{\partial\psi}{\partialx}\)，已知\(\varphi=2xy\)，则\(u=\frac{\partial\varphi}{\partialx}=2y\)，\(v=\frac{\partial\varphi}{\partialy}=2x\)。由\(u=2y\)，对\(y\)积分得\(\psi=\int2y\mathrm{d}y=y^{2}+f(x)\)。又因为\(v=\frac{\partial\psi}{\partialx}=2x\)，将\(\p