例题讲解：米勒问题之教学设计

例题讲解：米勒问题之教学设计一、教学目标1.知识与技能目标学生能够理解米勒问题的基本概念和数学模型。熟练掌握米勒问题的求解方法，包括建立函数关系、求最值等。能够运用米勒问题解决实际生活中的相关问题，提高数学建模能力。2.过程与方法目标通过对例题的分析和讲解，培养学生观察、分析、归纳和类比的能力。经历米勒问题的探究过程，体会函数思想、转化思想在数学解题中的应用，提高学生的逻辑思维能力。引导学生自主探究和合作交流，培养学生的自主学习能力和团队协作精神。3.情感态度与价值观目标激发学生对数学的学习兴趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。通过解决实际问题，让学生体会数学与生活的紧密联系，增强学生应用数学知识解决实际问题的意识。

二、教学重难点1.教学重点米勒问题的数学模型的建立。利用函数求米勒问题的最大值。2.教学难点如何引导学生将实际问题转化为米勒问题的数学模型。在求解过程中，对函数的定义域和值域的准确把握，以及对最值的求解方法的灵活运用。

三、教学方法1.讲授法：通过清晰、准确的讲解，向学生传授米勒问题的基本概念、原理和解题方法。2.讨论法：组织学生进行小组讨论，鼓励学生积极交流自己的想法和见解，培养学生的合作学习能力和思维碰撞。3.探究法：引导学生自主探究米勒问题的求解过程，让学生在探究中发现问题、解决问题，提高学生的自主学习能力。4.练习法：安排适量的练习题，让学生通过练习巩固所学知识，提高解题能力。

四、教学过程

（一）导入新课（5分钟）1.展示一幅风景图片，图片中有一座山峰，在山峰的一侧有一个观测点，观测者想要测量山峰的高度。2.提出问题：观测者站在何处，观测山峰的视角最大？3.引导学生思考：这个问题与我们之前学过的哪些数学知识有关？能否建立数学模型来解决这个问题？

（二）知识讲解（15分钟）1.米勒问题的介绍讲述米勒问题的背景：米勒问题是德国数学家米勒在1471年向诺德尔教授提出的有趣问题，其内容为：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长？即在什么部位，视角最大？给出米勒问题的一般表述：已知点A、B是∠MON的边ON上的两个定点，点P是边OM上的动点，则当点P在何处时，∠APB最大？2.建立数学模型设∠AOB=α，∠APB=β，OA=a，OB=b，OP=x。根据三角函数的正切公式：\(\tan\angleAPO=\frac{OA}{OP}=\frac{a}{x}\)，\(\tan\angleBPO=\frac{OB}{OP}=\frac{b}{x}\)。再利用两角差的正切公式\(\tan\beta=\tan(\angleAPO\angleBPO)=\frac{\tan\angleAPO\tan\angleBPO}{1+\tan\angleAPO\tan\angleBPO}\)，可得：\(\tan\beta=\frac{\frac{a}{x}\frac{b}{x}}{1+\frac{a}{x}\cdot\frac{b}{x}}=\frac{ab}{x+\frac{ab}{x}}\)3.求最值令\(y=x+\frac{ab}{x}\)（\(x\gt0\)），这是一个对勾函数。根据对勾函数的性质，当\(x=\sqrt{ab}\)时，\(y\)取得最小值\(2\sqrt{ab}\)。因为\(y=x+\frac{ab}{x}\)在\(x=\sqrt{ab}\)时取得最小值，而\(\tan\beta=\frac{ab}{y}\)，所以当\(y\)最小时，\(\tan\beta\)取得最大值。即当\(x=\sqrt{ab}\)时，\(\angleAPB\)最大。

（三）例题讲解（20分钟）1.例1如图，在公路\(MN\)旁有一垂直于公路的灯杆\(AB\)，高为\(5m\)，一辆汽车在公路上行驶，当它行驶到点\(P\)处时，灯光照射到汽车上的点\(C\)处，已知\(PC=10m\)，求此时汽车离灯杆底部\(B\)多远时，灯光与汽车的夹角\(\angleAPB\)最大？分析：已知\(AB=5m\)，\(PC=10m\)，设\(PB=xm\)。则\(\tan\angleAPB=\frac{\tan\angleCPB\tan\angleCPA}{1+\tan\angleCPB\tan\angleCPA}\)。\(\tan\angleCPB=\frac{5}{x}\)，\(\tan\angleCPA=\frac{5}{x+10}\)。所以\(\tan\angleAPB=\frac{\frac{5}{x}\frac{5}{x+10}}{1+\frac{5}{x}\cdot\frac{5}{x+10}}=\frac{50}{x(x+10)+25}\)。令\(y=x(x+10)+25=x^2+10x+25=(x+5)^2\)。当\(x=5\)时，\(y\)取得最小值，此时\(\tan\angleAPB\)取得最大值。解答过程：设\(PB=xm\)。\(\tan\angleAPB=\frac{\frac{5}{x}\frac{5}{x+10}}{1+\frac{5}{x}\cdot\frac{5}{x+10}}=\frac{50}{x(x+10)+25}\)令\(y=x(x+10)+25=x^2+10x+25=(x+5)^2\)当\(x=5\)时，\(y\)最小，\(\tan\angleAPB\)最大。答：当汽车离灯杆底部\(B\)为\(5m\)时，灯光与汽车的夹角\(\angleAPB\)最大。2.例2如图，足球比赛场地宽\(AB=70m\)，球门宽\(PQ=7.2m\)，在足球比赛中，甲方边锋沿球场边线\(AB\)向前推进，试问：该边锋在距离\(A\)点多远时起脚射门，对乙方球门\(PQ\)的张角\(\angleQPB\)最大？分析：设\(PA=xm\)，则\(PB=(70x)m\)。根据正切公式可得\(\tan\angleQPB=\frac{\tan\angleQPA\tan\angleBPA}{1+\tan\angleQPA\tan\angleBPA}\)。设\(\angleQPA=\alpha\)，\(\angleBPA=\beta\)，则\(\tan\alpha=\frac{7.2}{x}\)，\(\tan\beta=\frac{7.2}{70x}\)。所以\(\tan\angleQPB=\frac{\frac{7.2}{x}\frac{7.2}{70x}}{1+\frac{7.2}{x}\cdot\frac{7.2}{70x}}=\frac{7.2\times70}{x(70x)+7.2^2}\)。令\(y=x(70x)+7.2^2=x^2+70x+7.2^2\)。对于二次函数\(y=x^2+70x+7.2^2\)，其对称轴为\(x=\frac{70}{2}=35\)。当\(x=35\)时，\(y\)取得最大值，此时\(\tan\angleQPB\)取得最大值。解答过程：设\(PA=xm\)，则\(PB=(70x)m\)。\(\tan\angleQPB=\frac{\frac{7.2}{x}\frac{7.2}{70x}}{1+\frac{7.2}{x}\cdot\frac{7.2}{70x}}=\frac{7.2\times70}{x(70x)+7.2^2}\)令\(y=x(70x)+7.2^2=x^2+70x+7.2^2\)对称轴\(x=\frac{70}{2}=35\)当\(x=35\)时，\(y\)最大，\(\tan\angleQPB\)最大。答：该边锋在距离\(A\)点\(35m\)时起脚射门，对乙方球门\(PQ\)的张角\(\angleQPB\)最大。

（四）课堂练习（15分钟）1.如图，在河的一侧有两个村庄\(A\)、\(B\)，河宽为\(d\)，要在河上建一座桥\(MN\)，使从\(A\)经过桥到\(B\)的路程最短，问桥应建在何处？（假定河的两岸平行，桥要与河岸垂直）2.如图，一条河两岸平行，河宽\(d=500m\)，一艘船从\(A\)处出发航行到河的正对岸\(B\)处，船的航行速度\(v_1=10km/h\)，水流速度\(v_2=2km/h\)，问船应朝什么方向行驶，才能使航行时间最短？最短时间是多少？

（五）课堂小结（5分钟）1.引导学生回顾米勒问题的数学模型的建立过程。2.总结求解米勒问题的关键步骤和方法，强调利用函数求最值的重要性。3.让学生分享在本节课中的收获和体会，以及遇到的问题和解决方法。

（六）布置作业（5分钟）1.书面作业：教材课后习题相关题目。2.拓展作业：思考米勒问题在其他领域的应用，并尝试举例说明。

五、教学反思通过本节课的教学，学生对米勒问题有了较为深入的理解和掌握，能够建立数学模型并运用函数方法求解。在教