函数单调性与导数教案

函数单调性与导数教案一、教学目标1.知识与技能目标理解函数单调性与导数的关系，能根据导数判断函数的单调性。会求函数的单调区间。2.过程与方法目标通过探究函数单调性与导数的关系，培养学生观察、分析、归纳和概括的能力。经历利用导数研究函数单调性的过程，体会导数在研究函数性质中的作用，提高学生运用导数解决实际问题的能力。3.情感态度与价值观目标通过导数在函数单调性中的应用，让学生感受数学的严谨性和科学性，培养学生的数学思维品质。激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。

二、教学重难点1.教学重点函数单调性与导数的关系。利用导数求函数的单调区间。2.教学难点理解函数单调性与导数关系的形成过程。含参数函数单调区间的求解。

三、教学方法讲授法、讨论法、探究法相结合

四、教学过程

（一）导入新课（5分钟）1.回顾函数单调性的定义通过提问让学生回顾在必修一中学过的函数单调性的定义：设函数$f(x)$的定义域为$I$，如果对于定义域$I$内的某个区间$D$上的任意两个自变量的值$x_1$、$x_2$，当$x_1<x_2$时，都有$f(x_1)<f(x_2)$（或$f(x_1)>f(x_2)$），那么就说函数$f(x)$在区间$D$上是增函数（或减函数）。2.展示问题已知函数$f(x)=x^2$，判断其在不同区间上的单调性。让学生分别计算$f(x)$在区间$(\infty,0)$和$(0,+\infty)$上的函数值变化情况，进而直观感受函数的单调性。

（二）探究新知（20分钟）1.导数与函数单调性的关系以函数$f(x)=x^2$为例，引导学生求其导数$f^\prime(x)=2x$。分析$f(x)$在区间$(\infty,0)$上，当$x<0$时，$f^\prime(x)=2x<0$，此时函数$f(x)$单调递减。在区间$(0,+\infty)$上，当$x>0$时，$f^\prime(x)=2x>0$，函数$f(x)$单调递增。给出一般结论：在某个区间$(a,b)$内，如果$f^\prime(x)>0$，那么函数$y=f(x)$在这个区间内单调递增；如果$f^\prime(x)<0$，那么函数$y=f(x)$在这个区间内单调递减。2.深入理解让学生思考：如果在某个区间内$f^\prime(x)=0$，函数的单调性如何？引导学生得出：若在某个区间内恒有$f^\prime(x)=0$，则函数$y=f(x)$在这个区间内是常数函数，不具有单调性。

（三）典型例题讲解（20分钟）例1：求函数$f(x)=x^33x$的单调区间。1.首先求函数的导数$f^\prime(x)=3x^23$。2.然后令$f^\prime(x)>0$，即$3x^23>0$，解不等式：$3x^23>0$，$x^21>0$，$(x+1)(x1)>0$，得到$x<1$或$x>1$。所以函数$f(x)$的单调递增区间是$(\infty,1)$和$(1,+\infty)$。3.接着令$f^\prime(x)<0$，即$3x^23<0$，解不等式：$3x^23<0$，$x^21<0$，$(x+1)(x1)<0$，得到$1<x<1$。所以函数$f(x)$的单调递减区间是$(1,1)$。

例2：已知函数$f(x)=e^xax$，求其单调区间。1.先求导数$f^\prime(x)=e^xa$。2.当$a\leq0$时，$e^xa>0$恒成立，所以$f(x)$在$R$上单调递增。3.当$a>0$时，令$f^\prime(x)=0$，即$e^xa=0$，解得$x=\lna$。当$x<\lna$时，$f^\prime(x)<0$，函数$f(x)$单调递减。当$x>\lna$时，$f^\prime(x)>0$，函数$f(x)$单调递增。综上，当$a\leq0$时，$f(x)$的单调递增区间是$(\infty,+\infty)$；当$a>0$时，$f(x)$的单调递减区间是$(\infty,\lna)$，单调递增区间是$(\lna,+\infty)$。

（四）课堂练习（15分钟）1.求函数$f(x)=2x^36x^2+7$的单调区间。2.已知函数$f(x)=\frac{1}{3}x^3x^23x+1$，求其单调区间。3.若函数$f(x)=x^2+2ax+1$在$(\infty,2]$上单调递减，求实数$a$的取值范围。

（五）课堂小结（5分钟）1.引导学生回顾本节课所学内容：函数单调性与导数的关系：在某个区间$(a,b)$内，$f^\prime(x)>0$，函数单调递增；$f^\prime(x)<0$，函数单调递减。求函数单调区间的步骤：先求导数，再令导数大于零或小于零，解不等式得到单调区间。2.强调重点和难点：重点是理解和应用函数单调性与导数的关系求单调区间；难点是含参数函数单调区间的求解及对函数单调性与导数关系的深入理解。

（六）布置作业（5分钟）1.书面作业求函数$f(x)=x^42x^2+5$的单调区间。已知函数$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$在$x=\frac{2}{3}$与$x=1$时都取得极值，求$a$，$b$的值，并求$f(x)$的单调区间。2.拓展作业查阅资料，了解导数在其他领域的应用，写一篇简短的报告。思考：如果函数在某点处导数不存在，其单调性如何判断？

五、教学反思在本节课的教学中，通过回顾函数单调性的定义引入新课，然后逐步引导学生探究函数单调性与导数的关系，通过典型例题的讲解和课堂练习，让学生