微积分基础形成性考核作业一~四

微积分基础形成性考核作业一~四一、选择题1.函数\(y=\frac{1}{\sqrt{x2}}\)的定义域是（）A.\(x\gt2\)B.\(x\geq2\)C.\(x\lt2\)D.\(x\leq2\)答案：A解析：要使根式有意义，则根号下的数大于零，即\(x2\gt0\)，解得\(x\gt2\)。

2.下列函数中，（）是奇函数。A.\(y=x^2+1\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=2^x\)D.\(y=x+1\)答案：B解析：奇函数满足\(f(x)=f(x)\)。对于\(y=\sinx\)，\(\sin(x)=\sinx\)，所以是奇函数。

二、填空题1.已知函数\(f(x)=\begin{cases}x+1,&x\lt0\\2x,&x\geq0\end{cases}\)，则\(f(1)=\)______。答案：0解析：当\(x=1\)时，\(x\lt0\)，代入\(f(x)=x+1\)，得\(f(1)=1+1=0\)。

2.函数\(y=\ln(x+1)\)的反函数是______。答案：\(y=e^x1\)解析：由\(y=\ln(x+1)\)，解出\(x\)得\(x=e^y1\)，所以反函数是\(y=e^x1\)。

三、解答题1.求函数\(y=\frac{x^21}{x1}\)的定义域，并化简函数。解：要使函数有意义，则分母不为零，即\(x1\neq0\)，解得\(x\neq1\)，所以定义域为\(\{x|x\neq1\}\)。

化简函数：\(y=\frac{x^21}{x1}=\frac{(x+1)(x1)}{x1}=x+1\)（\(x\neq1\)）。

2.已知函数\(f(x)=2x^23x+1\)，求\(f(2)\)，\(f(1)\)。解：当\(x=2\)时，\(f(2)=2\times2^23\times2+1=86+1=3\)。

当\(x=1\)时，\(f(1)=2\times(1)^23\times(1)+1=2+3+1=6\)。

《微积分基础》形成性考核作业二

一、选择题1.当\(x\to0\)时，\(\sinx\)与\(x\)相比是（）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.等价无穷小D.同阶但不等价无穷小答案：C解析：\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)，所以\(\sinx\)与\(x\)是等价无穷小。

2.函数\(y=x^3\)在区间\([1,1]\)上的最大值是（）A.1B.0C.1D.2答案：C解析：对\(y=x^3\)求导得\(y^\prime=3x^2\geq0\)，函数单调递增，所以在\(x=1\)处取得最大值\(1^3=1\)。

二、填空题1.\(\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{2}{x})^x=\)______。答案：\(e^2\)解析：根据重要极限\(\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e\)，\(\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{2}{x})^x=\lim\limits_{x\to\infty}[(1+\frac{2}{x})^{\frac{x}{2}}]^2=e^2\)。

2.函数\(y=x^22x+3\)的单调递增区间是______。答案：\((1,+\infty)\)解析：对\(y=x^22x+3\)求导得\(y^\prime=2x2\)，令\(y^\prime\gt0\)，即\(2x2\gt0\)，解得\(x\gt1\)，所以单调递增区间是\((1,+\infty)\)。

三、解答题1.求极限\(\lim\limits_{x\to1}\frac{x^21}{x1}\)。解：\(\lim\limits_{x\to1}\frac{x^21}{x1}=\lim\limits_{x\to1}\frac{(x+1)(x1)}{x1}=\lim\limits_{x\to1}(x+1)=2\)。

2.求函数\(y=x^33x^2+5\)的极值。解：对\(y=x^33x^2+5\)求导得\(y^\prime=3x^26x\)，令\(y^\prime=0\)，即\(3x^26x=0\)，\(3x(x2)=0\)，解得\(x=0\)或\(x=2\)。

当\(x\lt0\)时，\(y^\prime\gt0\)，函数单调递增；当\(0\ltx\lt2\)时，\(y^\prime\lt0\)，函数单调递减；当\(x\gt2\)时，\(y^\prime\gt0\)，函数单调递增。

所以当\(x=0\)时，取得极大值\(y(0)=5\)；当\(x=2\)时，取得极小值\(y(2)=2^33\times2^2+5=1\)。

《微积分基础》形成性考核作业三

一、选择题1.若\(f(x)\)的一个原函数是\(e^{x}\)，则\(f^\prime(x)=(\)\)A.\(e^{x}\)B.\(e^{x}\)C.\(e^{x}+C\)D.\(e^{x}+C\)答案：B解析：已知\(f(x)\)的一个原函数是\(e^{x}\)，则\(f(x)=(e^{x})^\prime=e^{x}\)，所以\(f^\prime(x)=(e^{x})^\prime=e^{x}\)。

2.定积分\(\int_{0}^{1}x^2dx=(\)\)A.\(\frac{1}{3}\)B.\(\frac{1}{2}\)C.1D.3答案：A解析：根据定积分公式\(\intx^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C\)（\(n\neq1\)），\(\int_{0}^{1}x^2dx=[\frac{1}{3}x^3]_0^1=\frac{1}{3}(1^30^3)=\frac{1}{3}\)。

二、填空题1.\(\int\frac{1}{x}dx=\)______。答案：\(\ln|x|+C\)解析：这是基本积分公式。

2.已知\(F(x)\)是\(f(x)\)的一个原函数，则\(\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)F(a)\)，这个公式叫做______。答案：牛顿莱布尼茨公式

三、解答题1.计算定积分\(\int_{0}^{2}(2x+1)dx\)。解：\(\int_{0}^{2}(2x+1)dx=[x^2+x]_0^2=(2^2+2)(0^2+0)=6\)。

2.求不定积分\(\int(3x^22x+1)dx\)。解：\(\int(3x^22x+1)dx=3\times\frac{1}{3}x^32\times\frac{1}{2}x^2+x+C=x^3x^2+x+C\)。

《微积分基础》形成性考核作业四

一、选择题1.微分方程\(y^\prime=2x\)的通解是（）A.\(y=x^2+C\)B.\(y=2x^2+C\)C.\(y=x+C\)D.\(y=2x+C\)答案：A解析：对\(y^\prime=2x\)两边积分，\(y=\int2xdx=x^2+C\)。

2.微分方程\(y^{\prime\prime}+y=0\)的特征方程是（）A.\(r^2+1=0\)B.\(r^21=0\)C.\(r+1=0\)D.\(r1=0\)答案：A解析：对于二阶常系数齐次线性微分方程\(y^{\prime\prime}+py^\prime+qy=0\)，其特征方程为\(r^2+pr+q=0\)，这里\(p=0\)，\(q=1\)，所以特征方程是\(r^2+1=0\)。

二、填空题1.已知函数\(y=x^3\)，则\(dy=\)______。答案：\(3x^2dx\)解析：\(dy=y^\primedx=(x^3)^\primedx=3x^2dx\)。

2.微分方程\(y^\prime2y=0\)的通解是______。答案：\(y=Ce^{2x}\)解析：特征方程为\(r2=0\)，解得\(r=2\)，所以通解是\(y=Ce^{2x}\)。

三、解答题1.求微分方程\(y^\prime=x^2\)满足初始条件\(y|_{x=0}=1\)的特解。解：对\(y^\prime=x^2\)两边积分得\(y=\intx^2dx=\frac{1}{3}x^3+C\)。

把\(x=0\)，\(y=1\)代入上式得\(1=\frac{1}{3}\times