2024高考数学一轮复习课后限时集训14变化率与导数导数的计算文北师大版

PAGE1-课后限时集训14改变率与导数、导数的计算建议用时：45分钟一、选择题1．下列求导运算正确的是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))eq\s\up14(′)＝1＋eq\f(1,x2) B．(log2x)′＝eq\f(1,xln2)C．(3x)′＝3xlog3e D．(x2cosx)′＝－2sinxB[eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))eq\s\up14(′)＝x′＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))eq\s\up14(′)＝1－eq\f(1,x2)；(3x)′＝3xln3；(x2cosx)′＝(x2)′cosx＋x2(cosx)′＝2xcosx－x2sinx，故选项B正确．]2．(2024·成都模拟)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满意f(x)＝2xf′(e)＋lnx(其中e为自然对数的底数)，则f′(e)＝()A．1 B．－1C．－e D．－e－1D[由已知得f′(x)＝2f′(e)＋eq\f(1,x)，令x＝e，可得f′(e)＝2f′(e)＋eq\f(1,e)，则f′(e)＝－eq\f(1,e).故选D.]3．一质点沿直线运动，假如由始点起经过t秒后的位移为s＝eq\f(1,3)t3－3t2＋8t，那么速度为零的时刻是()A．1秒末B．1秒末和2秒末C．4秒末D．2秒末和4秒末D[∵s′(t)＝t2－6t＋8，由导数的定义可知v＝s′(t)，令s′(t)＝0，得t＝2或4，即2秒末和4秒末的速度为零，故选D.]4．(2024·贵阳模拟)曲线y＝xlnx在点(e，e)处的切线方程为()A．y＝2x－e B．y＝－2x－eC．y＝2x＋e D．y＝－x－1A[对y＝xlnx求导可得y′＝lnx＋1，则曲线在点(e，e)处的切线斜率为lne＋1＝2，因此切线方程为y－e＝2(x－e)，即y＝2x－e.故选A.]5．已知直线y＝ax是曲线y＝lnx的切线，则实数a＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,2e)C.eq\f(1,e) D.eq\f(1,e2)C[设切点坐标为(x0，lnx0)，由y＝lnx的导函数为y′＝eq\f(1,x)知切线方程为y－lnx0＝eq\f(1,x0)(x－x0)，即y＝eq\f(x,x0)＋lnx0－1.由题意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,x0)，,lnx0－1＝0，))解得a＝eq\f(1,e).故选C.]二、填空题6.已知函数y＝f(x)及其导函数y＝f′(x)的图像如图所示，则曲线y＝f(x)在点P处的切线方程是________．x－y－2＝0[依据导数的几何意义及图像可知，曲线y＝f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(2)＝1，又过点P(2,0)，所以切线方程为x－y－2＝0.]7．若曲线f(x)＝ax3＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．(－∞，0)[由题意，可知f′(x)＝3ax2＋eq\f(1,x)，又存在垂直于y轴的切线，所以3ax2＋eq\f(1,x)＝0，即a＝－eq\f(1,3x3)(x＞0)，故a∈(－∞，0)．]8．设函数f(x)＝x3＋ax2，若曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为x＋y＝0，则点P的坐标为________．(1，－1)或(－1,1)[由题意知，f′(x)＝3x2＋2ax，所以曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线斜率为f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)＋2ax0，又切线方程为x＋y＝0，所以x0≠0，且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x\o\al(2,0)＋2ax0＝－1，,x0＋x\o\al(3,0)＋ax\o\al(2,0)＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝－1，,a＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝1，,a＝－2，))所以当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝1，,a＝－2))时，点P的坐标为(1，－1)；当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝－1，,a＝2))时，点P的坐标为(－1,1)．]三、解答题9．已知点M是曲线y＝eq\f(1,3)x3－2x2＋3x＋1上随意一点，曲线在M处的切线为l，求：(1)斜率最小的切线方程；(2)切线l的倾斜角α的取值范围．[解](1)∵y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，∴当x＝2时，y′min＝－1，此时y＝eq\f(5,3)，∴斜率最小时的切点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5,3)))，斜率k＝－1，∴切线方程为3x＋3y－11＝0.(2)由(1)得k≥－1，∴tanα≥－1，又∵α∈[0，π)，∴α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)).故α的取值范围为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)).10．已知函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－2x2＋3x(x∈R)的图像为曲线C.(1)求过曲线C上随意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．[解](1)由题意得f′(x)＝x2－4x＋3，则f′(x)＝(x－2)2－1≥－1，即过曲线C上随意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k，则由已知(2)中条件并结合(1)中结论可知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k≥－1，,－\f(1,k)≥－1，))解得－1≤k＜0或k≥1，故由－1≤x2－4x＋3＜0或x2－4x＋3≥1，得x∈(－∞，2－eq\r(2)]∪(1,3)∪[2＋eq\r(2)，＋∞)．1．(2024·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为()A．y＝－2x B．y＝－xC．y＝2x D．y＝xD[因为函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以(－x)3＋(a－1)(－x)2＋a(－x)＝－[x3＋(a－1)x2＋ax]，所以2(a－1)x2＝0，因为x∈R，所以a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.故选D.]2．曲线y＝eeq\s\up14(eq\f(1,2)x)在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为()A.eq\f(9,2)e2 B．4e2C．2e2 D．e2D[易知曲线y＝eeq\s\up14(eq\f(1,2)x)在点(4，e2)处的切线斜率存在，设其为k.∵y′＝eq\f(1,2)eeq\s\up14(eq\f(1,2)x)，∴k＝eq\f(1,2)eeq\s\up14(eq\f(1,2)×4)＝eq\f(1,2)e2，∴切线方程为y－e2＝eq\f(1,2)e2(x－4)，令x＝0，得y＝－e2，令y＝0，得x＝2，∴所求面积为S＝eq\f(1,2)×2×|－e2|＝e2.]3．若直线y＝kx＋b是曲线y＝lnx＋2的切线，也是曲线y＝ex的切线，则b＝________.0或1[设直线y＝kx＋b与曲线y＝lnx＋2的切点为(x1，y1)，与曲线y＝ex的切点为(x2，y2)，y＝lnx＋2的导数为y′＝eq\f(1,x)，y＝ex的导数为y′＝ex，可得k＝ex2＝eq\f(1,x1).又由k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)＝eq\f(ex2－lnx1－2,x2－x1)，消去x2，可得(1＋lnx1)·(x1－1)＝0，则x1＝eq\f(1,e)或x1＝1，则直线y＝kx＋b与曲线y＝lnx＋2的切点为eq\f(1,e)，1或(1,2)，与曲线y＝ex的切点为(1，e)或(0,1)，所以k＝eq\f(e－1,1－\f(1,e))＝e或k＝eq\f(1－2,0－1)＝1，则切线方程为y＝ex或y＝x＋1，可得b＝0或1.]4．已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．(1)若函数f(x)的图像过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．[解]f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．(1)由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f0＝b＝0，,f′0＝－aa＋2＝－3，))解得b＝0，a＝－3或a＝1.(2)因为曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，所以关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)＞0，即4a2＋4a＋1＞0，所以a≠－eq\f(1,2).所以a的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞)).1．定义1：若函数f(x)在区间D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在区间D上也可导，则称函数f(x)在区间D上存在二阶导数，记作f″(x)＝[f′(x)]′.定义2：若函数f(x)在区间D上的二阶导数恒为正，即f″(x)＞0恒成立，则称函数f(x)在区间D上为凹函数．已知函数f(x)＝x3－eq\f(3,2)x2＋1在区间D上为凹函数，则x的取值范围是________．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\f(1,2)，＋∞))[因为f(x)＝x3－eq\f(3,2)x2＋1，所以f′(x)＝3x2－3x，f″(x)＝6x－3，令f″(x)＞0得x＞eq\f(1,2)，故x的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\f(1,2)，＋∞)).]2．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1处取得极值，且在x＝0处的切线的斜率为－3.(1)求f(x)的解析式；(2)若过点A(2，m)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．[解](1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，依题意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′1＝3a＋2b＋c＝0，,f′－1＝3a－2b＋c＝0))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝0，,3a＋c＝0))又f′(0)＝－3，所以c＝－3，所以a＝1，所以f(x)＝x3－3x.(2)设切点为(x0，xeq\o\al(3,0)－3x0)，因为f′(x)＝3x2－3，所以f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)－3，所以切线方程为y－(xeq\o\al(3,0)－3x0)＝(3xeq\o\al(