2023九年级数学上册 第四章 图形的相似4 探索三角形相似的条件第1课时 相似三角形的判定（1）教学实录 （新版）北师大版

2023九年级数学上册第四章图形的相似4探索三角形相似的条件第1课时相似三角形的判定（1）教学实录（新版）北师大版课题：科目：班级：课时：计划1课时教师：单位：一、设计意图本节课旨在通过引导学生探索三角形相似的条件，深入理解相似三角形的判定方法。通过实例分析和小组讨论，培养学生观察、分析、归纳的能力，提高学生的数学思维品质。同时，通过运用相似三角形的性质解决实际问题，激发学生的学习兴趣，培养学生的应用意识。二、核心素养目标培养学生几何直观能力，通过观察、操作和推理，理解相似三角形的判定条件。提升逻辑推理能力，通过证明相似三角形，发展学生的演绎推理思维。增强数学建模意识，将实际问题转化为几何模型，应用相似三角形的性质解决实际问题。三、教学难点与重点1.教学重点，

①理解相似三角形的判定条件，包括边角边（SAS）、角角边（AAS）、角边角（ASA）和直角三角形的斜边和一条直角边相似（HL）；

②能够运用相似三角形的判定条件解决实际问题，如计算未知边长、面积比例等。

2.教学难点，

①掌握相似三角形判定条件的证明过程，理解条件背后的几何原理；

②在复杂图形中识别和应用相似三角形的判定条件，分析图形结构，建立相似关系；

③将实际问题中的几何关系转化为相似三角形模型，进行合理推理和计算。四、教学方法与策略1.采用讲授与小组讨论相结合的教学方法，确保学生对相似三角形判定条件有深入理解。

2.设计小组合作活动，让学生通过实际操作和合作探究来发现和验证相似三角形的判定条件。

3.利用多媒体展示几何图形的动态变化，帮助学生直观理解相似三角形的判定过程。

4.安排学生进行角色扮演，模拟几何证明的过程，提高学生的参与度和证明技巧。五、教学过程一、导入新课

（教师）同学们，我们之前学习了三角形的相关知识，对三角形的性质有了初步的认识。今天，我们将继续探索三角形的世界，探讨三角形之间的一种特殊关系——相似三角形。请大家翻开课本，我们一起来看看这节课的内容。

（学生）好的，老师。

二、新课讲授

1.相似三角形的定义

（教师）同学们，我们先来回顾一下相似图形的定义。相似图形是指形状相同，但大小不一定相同的图形。那么，相似三角形又是什么呢？

（学生）相似三角形是指形状相同，大小可以不同的三角形。

（教师）很好，相似三角形的定义就是如此。接下来，我们来探讨一下相似三角形的判定条件。

2.相似三角形的判定条件

（教师）相似三角形的判定条件有哪些呢？请大家翻开课本，认真阅读相关内容。

（学生）边角边（SAS）、角角边（AAS）、角边角（ASA）和直角三角形的斜边和一条直角边相似（HL）。

（教师）很好，这些就是我们今天要学习的相似三角形的判定条件。接下来，我将通过实例来向大家讲解这些判定条件的应用。

3.实例分析

（教师）首先，我们来看一个边角边（SAS）的判定条件。请大家看大屏幕，这里有一个三角形ABC和一个三角形DEF，已知AB=DE，∠B=∠E，AC=DF。我们要证明三角形ABC和三角形DEF相似。

（学生）根据边角边（SAS）的判定条件，我们可以得出三角形ABC和三角形DEF相似。

（教师）很好，同学们能够正确运用边角边（SAS）的判定条件。接下来，我们再来看一个角角边（AAS）的判定条件。

（教师）请大家看大屏幕，这里有一个三角形ABC和一个三角形DEF，已知∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF。我们要证明三角形ABC和三角形DEF相似。

（学生）根据角角边（AAS）的判定条件，我们可以得出三角形ABC和三角形DEF相似。

（教师）同学们，通过这两个实例，我们了解了相似三角形的判定条件。接下来，我们再来看一个角边角（ASA）的判定条件。

（教师）请大家看大屏幕，这里有一个三角形ABC和一个三角形DEF，已知∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。我们要证明三角形ABC和三角形DEF相似。

（学生）根据角边角（ASA）的判定条件，我们可以得出三角形ABC和三角形DEF相似。

（教师）很好，同学们已经掌握了相似三角形的判定条件。接下来，我们再来看一个直角三角形的斜边和一条直角边相似（HL）的判定条件。

（教师）请大家看大屏幕，这里有一个直角三角形ABC和一个直角三角形DEF，已知∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，AC=DF。我们要证明三角形ABC和三角形DEF相似。

（学生）根据直角三角形的斜边和一条直角边相似（HL）的判定条件，我们可以得出三角形ABC和三角形DEF相似。

（教师）同学们，通过以上实例，我们了解了相似三角形的判定条件。接下来，我们将通过小组讨论，尝试运用这些判定条件解决实际问题。

4.小组讨论

（教师）同学们，现在请你们以小组为单位，讨论以下问题：

（1）如何运用相似三角形的判定条件解决实际问题？

（2）在解决实际问题时，如何判断两个三角形是否相似？

（学生）我们小组讨论了一下，认为在解决实际问题时，首先要观察题目给出的条件，然后根据相似三角形的判定条件进行判断。

（教师）很好，同学们能够正确运用相似三角形的判定条件解决实际问题。接下来，我们将通过一个实际案例来巩固所学知识。

5.实际案例

（教师）请大家看大屏幕，这里有一个实际问题：一个长方形的长为10cm，宽为5cm，它的对角线长度为多少？

（学生）根据勾股定理，对角线长度为√(10^2+5^2)=√125=5√5cm。

（教师）很好，同学们能够运用所学知识解决实际问题。接下来，我们将进行课堂小结。

三、课堂小结

（教师）同学们，今天我们学习了相似三角形的判定条件，包括边角边（SAS）、角角边（AAS）、角边角（ASA）和直角三角形的斜边和一条直角边相似（HL）。通过实例分析和小组讨论，我们掌握了相似三角形的判定条件，并能够运用这些条件解决实际问题。希望大家在课后能够继续巩固所学知识，提高自己的数学能力。

（学生）好的，老师，我们明白了。

四、作业布置

（教师）同学们，这节课的作业如下：

1.完成课本上的练习题；

2.尝试运用所学知识解决生活中的实际问题。

（学生）好的，老师。

五、课堂反思

（教师）同学们，今天我们学习了相似三角形的判定条件，大家掌握得怎么样？

（学生）老师，我觉得我们通过实例分析和小组讨论，对相似三角形的判定条件有了更深入的理解。

（教师）很好，希望大家在课后能够继续巩固所学知识，提高自己的数学能力。这节课就到这里，下课！六、拓展与延伸1.提供与本节课内容相关的拓展阅读材料：

-《几何证明的艺术》：这本书详细介绍了几何证明的基本方法，包括相似三角形的证明技巧，适合对几何证明感兴趣的同学们阅读。

-《数学史上的相似三角形》：通过阅读数学史上的相似三角形案例，了解相似三角形在数学发展史上的重要地位和应用。

-《几何问题与应用》：这本书包含了许多有趣的几何问题，通过解决这些问题，可以加深对相似三角形性质的理解，并学会如何将几何知识应用于实际问题。

2.鼓励学生进行课后自主学习和探究：

-学生可以尝试自己证明相似三角形的判定条件，如边角边（SAS）、角角边（AAS）、角边角（ASA）和直角三角形的斜边和一条直角边相似（HL）。

-探究相似三角形在几何图形中的特殊性质，如相似三角形的对应边成比例、对应角相等。

-分析实际生活中的相似三角形问题，如建筑中的比例设计、摄影中的透视问题等。

-尝试使用计算机软件（如Geometer'sSketchpad）来动态演示相似三角形的判定条件，加深对几何概念的理解。

-研究相似三角形在工程和科学领域的应用，如建筑设计、机械设计、天文学等。

-通过网络资源或图书馆查阅相关资料，了解相似三角形在其他学科中的应用，如物理学中的光学、力学等。七、典型例题讲解1.例题：已知三角形ABC中，∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°，求三角形ABC的面积。

解题步骤：

-首先，利用三角形内角和定理，得到∠A+∠B+∠C=180°，验证三角形ABC的内角和是否为180°，确认其为三角形。

-由于三角形ABC的内角分别是45°、60°和75°，可以看出这是一个锐角三角形。

-接下来，我们可以利用正弦定理或者直接使用三角形的面积公式S=1/2*a*b*sin(C)来计算三角形ABC的面积。

-由于∠C=75°，我们可以通过计算sin(75°)来得到sin(C)的值。

-然后假设AB=c，BC=a，AC=b，根据正弦定理，我们有sin(A)/a=sin(B)/b=sin(C)/c。

-由于∠A=45°，sin(A)=sin(45°)=√2/2；∠B=60°，sin(B)=sin(60°)=√3/2。

-因此，sin(C)可以通过sin(A)/a=sin(C)/c来计算，得到sin(C)=sin(B)b/a=√3/2*b/√2/2=√6/2。

-最后，使用面积公式S=1/2*a*b*sin(C)，将a、b和sin(C)的值代入，得到S=1/2*b*b*√6/2=b^2√6/4。

-由于我们不知道具体的边长，无法直接计算面积，但可以得出面积与边长的关系。

2.例题：在三角形ABC中，已知AB=AC，∠B=30°，求BC的长度。

解题步骤：

-由于AB=AC，三角形ABC是一个等腰三角形。

-在等腰三角形中，底角相等，因此∠C也等于30°。

-由于三角形ABC的内角和为180°，可以计算出∠A=180°-∠B-∠C=180°-30°-30°=120°。

-利用正弦定理，sin(A)/a=sin(B)/b=sin(C)/c，其中a=BC，b=AC，c=AB。

-由于AB=AC，可以将正弦定理简化为sin(A)/a=sin(B)。

-代入已知值，sin(120°)/BC=sin(30°)，得到BC=sin(120°)/sin(30°)。

-计算得到BC=√3/2/1/2=√3。

3.例题：在三角形ABC中，已知∠A=45°，∠B=45°，AB=8cm，求三角形ABC的周长。

解题步骤：

-由于∠A=∠B=45°，三角形ABC是一个等腰直角三角形。

-在等腰直角三角形中，两条腰的长度相等，因此AC=AB=8cm。

-周长P=AB+BC+AC=8cm+8cm+8cm=24cm。

4.例题：在三角形ABC中，已知∠A=90°，∠B=30°，AB=6cm，求BC的长度。

解题步骤：

-由于∠A=90°，三角形ABC是一个直角三角形。

-在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半，因此BC=AB/2=6cm/2=3cm。

5.例题：在三角形ABC中，已知∠A=90°，∠C=60°，AC=8cm，求BC的长度。

解题步骤：

-由于∠A=90°，三角形ABC是一个直角三角形。

-在直角三角形中，60°角所对的直角边是斜边的一半乘以√3，因此BC=AC/2*√3=8cm/2*√3=4√3cm。八、教学评价与反馈1.课堂表现：

学生在课堂上的参与度较高，能够积极回答问题，对于相似三角形的判定条件表现出浓厚的兴趣。在讲解过程中，学生能够跟随老师的思路，对于几何图形的观察和分析能力有所提升。

2.小组讨论成果展示：

小组讨论环节，学生们能够积极合作，共同探讨相似三角形的判定条件。在展示讨论成果时，各小组能够清晰地阐述自己的观点，并能够运用所学知识解决实际问题。例如，在讨论如何运用相似三角形的判定条件解决实际问题时，学生们提出了多种方法和思路。

3.随堂测试：

随堂测试结果显示，大部分学生对相似三角形的判定条件有较好的掌握。在解答过程中，学生能够正确运用判定条件，如边角边（SAS）、角角边（AAS）、角边角（ASA）和直角三角形的斜边和一条直角边相似（HL）。然而，部分学生在解决实际问题时，对于如何将实际问题转化为几何模型仍存在困难。

4.学生自评与互评：

在课后，学生进行了自评和互评。自评中，学生们认识到自己在课堂上的表现，如积极参与讨论、认真听讲等。互评环节，学生们能够客观评价同伴的表现，提出改进建议。

5.教师评价与反馈：

针对课堂表现，教师对学生的积极参与表示肯定，并对学生在小组讨论中的表现给予表扬。同时，教师指出学生在解决实际问题时，对于几何模型的应用还需加强。教师建议学生在课后多练习，提高几何建模能力。此外，教师还针对学生在随堂测试中出现的问题，进行了详细的讲解和指导，帮助学生理解和掌握相似三角形的判定条件。教学反思与总结哎，这节课总的来说，我觉得挺满意的，但也有些地方需要改进。

首先啊，我在教学方法上，尝试了讲授与小组讨论相结合的方式。我发现这种方式挺有效的，学生们在讨论中能更好地理解和掌握相似三角形的判定条件。不过，我也发现有些学生比较内向，不太敢发言，我在课后得考虑怎么更好地调动他们的积极性，让他们也能参与到讨论中来。

然后啊，我在策略上，设计了几个实例来帮助学生理解相似三角形的判定条件。我觉得这些实例挺有针对性的，但是可能有些学生觉得难度还是有点大，我在反思中觉得，可能得根据学生的接受程度来调整实例的难度，不能一味的追求难度，得让大部分学生都能跟得上。

管理方面嘛，我注意到课堂纪律总体还是不错的，但是偶尔还是有学生走神，我得想办法提高课堂的吸引力，让学生更专注于课堂内容。

至于教学效果，我觉得还是不错的。学生们对相似三角形的判定条件有了更深入的理解，他们在解决实际问题时的能力也有所提高。但是，我也发现，有些学生对于如何将实际问题转化为几何模型还有点吃力，这说明我们在几何建模方面的教学还需要加强。