2025年中考数学专题复习：已知角度为定值求动点坐标（含解析）

已知角度为定值求动点坐标一阶方法突破练1.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2m−1mm0),过点A作(1)若∠AOB=30°,,求m的值;(2)若.∠AOB=60°,,求m的值.2.如图，在平面直角坐标系中，直线l1:y=13x+1分别交x轴，y轴于点A,B,直线l2:y=12x+t3.如图，抛物线y=−14x2+34.如图，抛物线y=−x²+2x+8与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，点P是抛物线的对称轴上一点，若∠APB=150°,求点P的坐标.5.如图，在平面直角坐标系中，直线y=−x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P为x轴上一点，若∠PBA=15°,，求点P的坐标.6.如图，在平面直角坐标系中，直线.y=−x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，点Q为y轴上一点，若∠QAB=75°,，求点Q的坐标.二阶设问进阶练例如图，抛物线y=−x²+2x+3与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C.(1)若点F是抛物线对称轴上一点，当∠AFC=90°时,求点F的坐标；(2)若点N为抛物线上一点，当∠NBA=30°时，求点N的横坐标；(3)若点P为抛物线对称轴上一点，当∠APC=45°时,求点P的坐标；(4)如图④,连接AC,BC,点D在线段AC上(不与点A,C重合)且tan∠BDC=3,，求点D的坐标；(5)如图⑤，已知点Q(0，1)，连接BQ，抛物线上是否存在点M,使得tan∠MBQ=(6)创新题·定角求平移距离如图⑥，将抛物线向下平移m个单位,交BC于点E,R,若∠EOR=45°,求m的值.阶综合强化练1.如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x²−1的顶点为P，A，B为抛物线上两点，且线段AB‖x轴，过点A作AD⊥x轴于点D,过点B作.BC⊥x轴于点C,连接BP,PD,BD.(1)求证:∠BPD=90°;(2)创新题·猜想角度定值条件小樱证明完(1)中的∠BPD为90°后，她猜想：所有抛物线中的“∠BPD,都为90°,，为验证她的猜想，她提出如下问题：如图①，抛物线y=ax²+c中字母a，c满足什么条件才能使∠BPD=90°..请回答小樱的问题并说明理由；(3)如图②,抛物线y'=ax²+bx+c中字母a，b，c满足什么条件才能使.结论.作图区答题区2.如图，抛物线y=ax²−3x+ca≠0与x轴交于A(4,0),C两点,交y轴于点.B(1)求抛物线的解析式；(2)过点B作.BD‖x轴，过点P作PD⊥BD于点D,且.BP=5(3)(三角函数值确定)当点F为AB的中点，且tan∠FCP=作图区答题区3.在平面直角坐标系中，抛物线y=ax+1侧)，与y轴交于点C(0，3)，点D为抛物线的顶点，点P是抛物线的对称轴上一点.(1)求抛物线的解析式及点D的坐标；(2)如图①,连接PB,PD,求PB+2(3)(特殊角+定边)如图②,连接CP,PB,BC,若∠CPB=135°,，求点P的坐标.作图区答题区考向1已知角度为定值求动点坐标一阶方法突破练1.解:(1)∵∠AOB=30°,A(2m-1,m),AB⊥x轴,∴OB=2m-1,AB=m,△AOB是直角三角形,∴OA=2m,由勾股定理得，OB²+AB²=OA²,∴解得m=2+3或(2)∵∠AOB=60°,A(2m-1,m),AB⊥x轴,∴OB=2m-1,AB=m,△AOB是直角三角形,∴OA=4m-2,由勾股定理得，m²+2m−1²=4m−2²,解得2.解:如解图,过点D作DE⊥x轴于点E,设点坐标，表示出线段长.设P(m,0),D(xD,yD),由题意得yD=1∴D(6-6t,3-2t),E(6-6t,0),∵B(0,1),P(m,0),∴OB=1,PE=|6-6t-ml,OP=|ml,DE=|3-2t|,∵∠BPD=90°,∴∠BPO+∠DPE=90°,∠BPO+∠PBO=90°,∴∠DPE=∠PBO,∵∠BOP=∠PED=90°,BP=PD,∴△PBO≌△DPE(AAS),利用全等关系式求未知数.∴BO=PE=|6-6t-m|=1,OP=DE=|m|=|3-2t|,当m=3-2t时,|6-6t-3+2t|=|3-4t|=1,解得t=12或t=1(点B,D重合,舍去),当m=-(3-2t)时,|6-6t+3-2t|=|9-8t|=1,解得综上所述，t=12或3.解：根据已知条件构造辅助圆，以AB为斜边作等腰Rt△AGB,则AG=BG,∠AGB=90°,以点G为圆心,AG长为半径画圆，则点P在优弧AB上时总有∠APB=45°,分两种情况讨论，如解图①，若点G在x轴上方时，⊙G与抛物线的交点只有A，B，即没有点P使∠APB=45°;如解图②,若点G在x轴下方时,过点G作GM⊥x轴于点M,连接PG.∵抛物线的解析式为y=−∴令y=0,得−14x∴A(-2,0),B(8,0),∴AB=10.∵AM=BM=GM=设P∵PG=AG=∴PG²=50,即p−3∵点P的横纵坐标均为整数，∴有p−32或p−3解得p₁=−2,p₂=8,此时两点为A，B两点，舍去，或p−3解得p₃=−4,p₄=10,当p=-4或p=10时,−综上所述，符合条件的点P的坐标为(-4，-6)或(10，-6).4.解：由题意得，抛物线的对称轴为直线x=−b2a=1,令∵点A在点B左侧,∴A(-2,0),B(4,0),∴AB=6,∵∠APB=150°,点P在抛物线的对称轴上,150°角的补角的2倍是60°角，可以以AB为边作等边三角形找圆心，构造辅助圆.∴分两种情况讨论：①当点P在x轴下方时，如解图，以AB为边在AB上方构造等边△AEB，设抛物线对称轴与x轴交于点D，以点E为圆心，AB长为半径构造⊙E，则⊙E与抛物线对称轴在x轴下方的交点即为点P，∵AB=6,∠EAB=60°,∴⊙E的半径为6,ED=AE·sin∠EAB=33,∴DP=EP-ED=6-33,∴点P的坐标为(1,33-6);②当点P在x轴上方时,利用对称性可知，点P的坐标为1综上所述，点P的坐标为(133−65.解:∵直线y=-x+2与x轴交于点A,与y轴交于点B,∴A(2,0),B(0,2),∴OA=OB=2,∴∠OBA=45°,分两种情况讨论：如解图，当点P在点A左侧，即P₁处时，∵∠P₁BA=15°,∴∠OBP₁=∠OBA−∠P₁BA=30°,∴O∴点P₁的坐标为233∵∠P₂BA=15°,∴∠OBP₂=∠OBA+∠P₂BA=60°,∴O∴点P₂的坐标为(23,0),综上所述，点P的坐标为2330或(26.解:如解图,∵直线y=-x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴A(2,0),B(0,2),∴OA=OB=2,∴∠OAB=45°.将非特殊角转化为特殊角∵∠QAB=75°>45°,∴点Q只能在y轴负半轴.∵∠QAB=75°,∴∠QAO=∠QAB-∠OAB=30°,∴OQ=OA⋅∴点Q的坐标为0二阶设问进阶练例解：(1)∵抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C,令x=0,得y=3,令y=0,解得:x₁=−1,x₂=3,∴A(-1,0),B(3,0),C(0,3),:y=−x²+2x+3=−∴抛物线的对称轴为直线x=1，设点F的坐标为(1,f),则CF²=1²+∵∠AFC=90°,∴AF²+CF²=AC²,即2²+f²+1²+f−3∴当∠AFC=90°时,点F的坐标为(1,1)或(1,2);(2)①当点N在x轴上方时,如解图①,设BN与y轴交于点K，∵B(3,0),∴OB=3,∵∠NBA=30°,∴OK=∴直线BN的解析式为y=−33x+3,联立直线BN和抛物线的解析式得∴点N的横坐标为−1+②当点N在x轴下方时，同理可得，点N的横坐标为−1−综上所述，点N的横坐标为−1+33g(3)如解图②,连接AC,取AC的中点S,过点S作SE⊥AC交抛物线对称轴于点E,连接AE,CE,∵A(-1,0),C(0,3),∴直线AC的解析式为y=3x+3.∵S为AC的中点,SE⊥AC,∴s(-123设直线SE的解析式为y=−将点S的坐标代入，得−解得d=∴直线SE的解析式为y=−∴点E的坐标为(1,1).由(1)可知,∠AEC=90°,∵∠APC=∴以点E为圆心,AE长为半径作⊙E，⊙E与抛物线对称轴的交点即为点P，连接AP，CP,AP',CP',∴AE=EP.∵AC∴AE=∴点P的坐标为(11+5或(4)如解图③,过点B作BH⊥AC于点H,则∠BHD=90°,∵A(-1,0),B(3,0),C(0,3),∴AB=4,AC=10∵sin∠BAH=sin∠BAC=OC∴BH=AB⋅sin∵∴DH=在Rt△BDH中,BD=由(3)可知直线AC的解析式为y=3x+3,设D(t,3t+3),∵B(3,0),∴解得t1当t=−15时,∴点D的坐标为−(5)存在.取线段BQ的中点G，再将QG绕点Q旋转90°得到QG',则tan∠①如解图④,将QG绕点Q顺时针旋转90°,过点Q作NZ∥x轴,过点G',B分别作G'N⊥NZ于点N,BZ⊥NZ于点Z,易得△NQG'∽△ZBQ,且相似比为12由题意得BZ=OQ=1,QZ=OB=3,∴NG'=12Qz=32,QN=12BZ=12,.点G'的坐标为−12−12,②如解图⑤，将线段QG绕点Q逆时针旋转90°得到QG",过点G"作G"L⊥CQ于点L,同理，可得点G∴直线BG"的解析式为y=-x+3.联立y=−x+3y=−x2+2x+3,解得综上所述，点M的坐标为−8(6)如解图⑥,将△OCE绕点O顺时针旋转90°得到△OBS,连接RS,∵OB=OC=3,∴∠OCB=∠OBC=45°,∵∠EOR=45°,∴∠EOC+∠ROB=∠SOB+∠ROB=45°,∴∠EOR=∠SOR=45°,∵OR=OR,OE=OS,∴△EOR≌△SOR(SAS),∴ER=RS,由旋转性质得,∠SBO=∠OCB=45°,∵∠RBS=∠RBO+∠SBO=45°+45°=90°,∴RS²=BR²+BS²,即ER²=BR²+CE²,设E(x₁,y₁),R(x₂,y₂),则E设平移后的抛物线的解析式为y=−x²+2x+3−m,联立y=−x+3y=−x2∴∴y₁=x₂,y₂=x₁,∴E,R关于直线y=x对称,∴CE=BR,设CE=BR=a,则ER=3∴∴a=32−3或∴ER=6−3∴解得m=三阶综合强化练1.(1)证明:设点D(-m,0),由题意可知A,B两点关于y轴对称，∴A∴PB²=m²+m⁴,PD²=m²+1,BD²=4m²+∴BD²=4m²+∴△BPD是直角三角形,∴∠BPD=90°;(2)解:ac=-1;理由:∵y=ax²+c,∴P(0,c),设点D(-n,0),∴B(n,an²+c),∴PB²=n²+a²n⁴,PD²=n²+c²,BD²=4n²+∵∠BPD=90°,∴BD²=PB²+PD²,∴4n²+∴2c=-2,∴ac=-1;(3)解:4ac−b²=−4.【解法提示】设y=ax−ℎ²+k,∴P(h,k),设D(h-p,0),则Aℎ−pap²+k,Bℎ+pap²+k,∴PB²=p²+2.解:(1)∵抛物线y=ax²−3x+ca≠0∴将点A(4,0),B(0,-4)代入抛物线解析式，得16a−12+c=0c=−4,解得∴抛物线的解析式为y=x²−3x−4;(2)【思路点拨】点P为抛物线上的点，可以设出点P的坐标，由所给的BP与PD的关系，分点P在点D上方和下方两种情况讨论，从而得到点P的坐标.设点P∵B(0,-4),∴D(m,-4),∵BP=①当点P在点D上方时，即yPPD=m²−3m−4−∴12m=∴点P的坐标为7②当点P在点D下方,即0<m<3时,PD=∴12m=−∴点P的坐标为5综上所述，点P的坐标为72−9(3)【思路点拨】由中点坐标公式得到点F的坐标，作CF的垂线FM，构造直角三角形，通过等量代换得到角相等，利用三角形相似和相似比可得到点M的坐标，从而得到MC的解析式，与抛物线解析式联立求解即可.∵A(4,0),B(0,-4),∴点F的坐标为(2,-2),∵∴分两种情况讨论：①若点P在直线CF上方,如解图①,过点F作CF的垂线FM₁，且使得FM∵∠CFM₁=90°,∴∠CFS+∠M₁FR=90°,∵∠CFS+∠FCS=90°,∴∠M₁FR=∠FCS,∴△FRM₁∽△CSF,且相似比为12∵抛物线y=x²−3x−4与x轴交于A，C两点，∴C(-1,0).∴FS=3,CS=2,∴FR=∴M13−12,∴直线M₁C的解析式为y=−18x−②若点P在直线CF下方,如解图②,过点F作CF的垂线FM₂，且使得FM同理可得，FQ=∴M21−72,..直线M₂C的解析式为y=−74x−综上所述，点P的横坐标为318或93.解:(1)将C(0,3)代入抛物线解析式γ=a(x+1)(x-3),解得a=-1,∴抛物线的解析式为y=−x²+2x+3,∵y=−x²+2x+3=−∴点D的坐标为(1,4);(2)【思路点拨】此题求最小值，通过观察可知为“胡不归”