2025年中考数学专题复习：利用“阿氏圆”解决线段最值问题（含解析）

利用“阿氏圆”解决线段最值问题一阶方法突破练1.如图，点P是半径为2的⊙O上一动点，点A，B为⊙O外的定点.连接PA,PB,点B与圆心O的距离为4.要使PA+12.如图,在平面直角坐标系中,A(4,0),B(0,3),点E是以原点O为圆心，2为半径的圆上一点，求AE+23.如图，已知抛物线y=x²+4x−5与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C,点D的坐标为(−30,,将线段OD绕点O逆时针旋转得到(OD',旋转角为(α(0°<α<90°),连接设问进阶练例如图，已知抛物线y=−x²+2x+3与x轴交于点A，B(点A在点B的右侧),与y轴交于点C.(1)如图①，若点D为抛物线的顶点，以点B为圆心，3为半径作⊙B,点E为⊙B上的动点,连接AE,DE,求DE+3(2)如图②，若点H是直线AC与抛物线对称轴的交点，以点H为圆心，1为半径作⊙H，点Q是⊙H上一动点，连接OQ，AQ，求OQ+5(3)如图③，点D是抛物线上横坐标为2的点，过点D作.DE⊥x轴于点E，点P是以O为圆心，1为半径的⊙O上的动点，连接CD,DP,PE,求PD−1综合强化练1.如图①,抛物线y=−x²+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线y=kx+1l经过点A,与y轴交于点D,与抛物线交于点E(2,3),点F是抛物线的顶点,连接DF,EF.(1)求直线AE和抛物线的函数解析式；(2)求tan∠EDF的值；(3)如图②,以点D为圆心,OD长为半径作圆,点G是⊙D上一点,连接BG和FG,则10BG+10作图区答题区2.如图，已知抛物线y=ax²+bx+ca≠0(1)求抛物线的解析式；(2)如图①，连接BC，点P为BC上方抛物线上的一点，PR‖y轴交BC于点R,PQ⊥BC于点Q,求△PQR周长的最大值及此时点P的坐标；(3)如图②,若点N(0,3),D(2,0),矩形ODFN的顶点F在第一象限内.以点N为圆心,1为半径作⊙N,点M是⊙N上一动点,连接DM,MF,求DM−1作图区答题区一阶方法突破练1.解:如解图,连接OB,OP,找带有系数的线段PB.在OB上截取OC=1,连接AC交⊙O于点P',点P'即为所求.连接PC.理由:∵OP=2,OB=4,∴∴△POC∽△BOP.∴PCPB=12,即确定线段和最小时动点的位置.∴PA+1∴当点P与点P'重合时,PA+12.解：找带系数的线段BE.如解图，在y轴上取一点M(0,43),连接OE,EM,AM.则OE=2,OB=3,∴OE又∵∠EOM=∠BOE,∴△EOM∽△BOE.∴即EM=∴AE+当A，E，M三点共线时，AE+EM的值最小，最小值为AM的长.在Rt△AOM中,AM=OM∴当E为线段AM与⊙O的交点时，AE+23BE3.解：∵抛物线的解析式为y=x²+4x−5,∴A(-5,0),C(0,-5),∵点D的坐标为(-3,0),∴OD=OD'=3,∴点D'的运动轨迹为以原点O为圆心，3为半径的圆在第三象限内的一段圆弧，如解图，在y轴上取一点.M(o,-95则O∴又∵∠D'OM=∠COD',∴△D'OM∽△COD',∴D'M∴A当A,D',M三点共线时,AD在Rt△AOM中,AM=AO∴当D'为AM与圆弧的交点时，AD'+二阶设问进阶练例解:(1)∵抛物线y=−x²+2x+3与x轴交于点A,B,∴A(3,0),B(-1,0).∴AB=4.∵点D为抛物线的顶点，∴D(1,4),抛物线对称轴为直线x=1,如解图①，连接BE，在x轴上截取BF=94,则BF设抛物线对称轴与x轴交于点M，连接EF，DF，∵∴△FBE∽△EBA,∴∴EF=∴DE+DF,当D,E,F三点共线时,DE+3∵BF=94,∴MF=∴DE+34AE(2)由(1)得抛物线对称轴为直线x=1.∵A(3,0),C(0,3),∴直线AC的解析式为y=-x+3.∵点H为直线AC与抛物线对称轴的交点，∴点H的坐标为(1,2).如解图②,连接OH交⊙H于点D,在OH上截取HN=5∵H(1,2),∴OM=1,HM=2.∴OH=又∵HQ=1,∴HN又∵∠NHQ=∠QHO,∴△QHN∽△OHQ.∴即QN=∴OQ+5AQ=555OQ+AQ=5∵NE⊥x轴,∴ONE∼OHM,∴∵ON=OH−NH=∴NE=∴∴OQ+5AQ的最小值为(3)∵点D是抛物线上的点,且横坐标为2,∴D(2,3).∵C(0,3),∴CD⊥y轴.∵DE⊥x轴,∴四边形OCDE为矩形.∴OE=CD=2.如解图③，在OA上截取OH=1易得直线DH的解析式为：y=2x-1.∴P(0,-1).∴且∠POH=∠EOP,∴△POH∽△EOP.∴∴PD−12PE=PD−PH≤DH,当点P在DH的延长线上时，∵H(12∴DE=3,EH=∴DH=∴PD−12PE三阶综合强化练1.解:(1)∵点E在直线y=kx+1上,∴把E(2,3)代入y=kx+1,得2k+1=3,解得k=1,∴直线AE的解析式为y=x+1,把y=0代入y=x+1,得x=-1,∴A(-1,0),把A(-1,0)与E(2,3)代入抛物线y=−x²+bx+c,得−1−b+c=0−4+2b+c=3,解得∴抛物线的解析式为y=−x²+2x+3;(2)∵点F是抛物线的顶点,∴F(1,4),把x=0代入y=x+1,得y=1,∴D(0,1)把x=0代入y=−x²+2x+3,得y=3,∴C(0,3),∴CD=2,如解图①,连接CE,∵E(2,3),则CE⊥y轴,CE=CD=2,∴∠CED=45°,DE=22,过点F作FM⊥CE于点M,则FM=EM=1,∴∠FEC=45∴在Rt△FDE中,tan(3)【思路点拨】将10BG+10FG提公因式转化为10BG+10存在.如解图②,在DF上取DH=1010,∵D(0,1),F(1,4),∴DF=∵∵∠HDG=∠GDF,∴△HDG∽△GDF,∴∴10BG+HG)≥10BH,∴10BG+10FG的最小值为10BH,过点H作HP⊥y轴于点P,过点F作FQ⊥y轴于点Q,则HP∥FQ,∴△DHP∽△DFQ,∴∴∴DP=∵D(0,1),∴H(1110根据勾股定理，得HB=∴10BH=∴10BG+10FG的最小值是2.解:(1)∵抛物线y=ax²+bx+ca≠0∴抛物线的解析式为y=ax²+bx+4,∴将点A，B的坐标代入抛物线的解析式，得a−b+4=09a+3b+4=0,解得∴抛物线的解析式为y=−(2)【思路点拨】由PR∥y轴,得到∠OCB=∠PRQ，设出点P的坐标，表示出PR的长，结合三角函数表示PQ，QR的长，再利用二次函数的性质求解即可.∵B(3,0),C(0,4),∴直线BC的解析式为y=−43∵PR∥y轴,∴∠OCB=∠PRQ,∴cos∴PQ=∴△PQR的周长为PR+PQ+QR=PR+35设点Px−43x∴△PQR的周长=125∵−∴当x=32时，△PQR的周长取得最大值，最大值为∴当点P的坐标为(32,5)时,△PQR的周长最大，最大值为36(3)∵N(0,3),D(2,0),四边形ONFD为矩形,∴NF=OD