陕西省渭南市白水县白水中学2024-2025学年高二下学期入学考试 数学试题（含解析）

白水中学2026届高二级第二学期入学考试数学试题一､单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1.已知，并且，则方差（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据二项分布方差的计算方法，，结合，可得结果.【详解】由题可知：所以：又因为，所以故选：A【点睛】本题考查二项分布方差的计算，掌握二项分布的期望与方差计算，，同时对，则，属基础题.2.将5本不同的书分给4人,每人至少1本,不同的分法种数有()A.120种 B.5种 C.240种 D.180种【答案】C【解析】【分析】5本书分给4人，每人至少1本，说明其中1人得2本，其他三个各得1本，由此可分配．【详解】由题意分法种数为，故选C．【点睛】本题考查排列组合中的分配问题，由于元素与位置都不相同，因此可把其中两个元素捆绑在一起为一个元素，然后4个元素进行排列即可．3.4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取．若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券概率是（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】第一名同学没有抽到中奖券后剩下3张奖券，1张能中奖，由题意可得中奖概率和抽取顺序无关，故直接可得概率【详解】因为第一名同学没有抽到中奖券，所以问题变为3张奖券，1张能中奖，又中奖概率和抽取顺序无关，故最后一名同学抽到中奖券的概率是．故选：B4.已知直线l过原点O，且点，到直线l的距离相等，则直线l的方程为（）A. B.C.或 D.或【答案】D【解析】【分析】根据点到直线距离公式即可.【详解】∵直线l过原点，并且选项中的直线的斜率都是存在的，故设所求直线的方程为，由已知及点到直线的距离公式可得，解得或，即所求直线方程为或；故选：D5.某地区有名学生参加某次考试，考试后数学成绩近似服从正态分布，若，则估计该地区学生本次考试数学成绩在分以上的人数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用正态分布曲线的对称性求出的值，再乘以即可得解.【详解】由正态分布曲线的对称轴为，以及，得，因此，故估计该地区学生本次考试数学成绩在130分以上的人数为．故选：B．6.若展开式的系数之和等于展开式的二项式系数之和，则的值为．A.15 B.10 C.8 D.5【答案】D【解析】【分析】二项式的展开式的各项系数的和为，的二项式系数之和为，由m=k，即可求得n的值.【详解】设二项式的展开式的各项系数的和为m，即x=1时满足题意，，又设的二项式系数之和为k，则，因为m=k，所以，解得n=5.故选D.【点睛】本题考查二项式系数的性质，关键在于理解好二项式各项系数的和与二项式系数之和的含义，属基础题.7.已知是夹角为的两个单位向量，则与的夹角是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】借助向量模长与数量积的关系及夹角公式计算即可得.【详解】，，则，因为，所以，即与的夹角是.故选：B.8.已知，是圆上的点，点在双曲线的右支上，则的最小值为（）A.9 B. C.8 D.7【答案】C【解析】【分析】根据题意作出示意图，利用双曲线的定义以及圆外的点到圆上点的最近距离计算方法，求解出的最小值.【详解】如图所示：设圆心为，双曲线右焦点为，且，，所以，当且仅当，，三点共线时取得等号．故选：C.【点睛】本题考查根据双曲线的定义求解线段和的最小值，难度一般.（1）求解和椭圆、双曲线有关的长度和的最值问题，都可以通过相应的圆锥曲线的定义去分析问题；（2）圆外一定点到圆上点的距离的最值，可通过连接圆外的点与圆心来分析求解.二､多项选择题（共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，每题错选0分，漏选2分.）9.若是空间向量的一组基，则下列各组中能构成空间向量的一组基的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】根据空间向量基本定理逐一分析即可.【详解】对A，因为是空间向量的一组基，则可以构成空间向量的一组基，故A正确；对B，设，其中，则，无解，则能构成空间向量的一组基，故B正确；对C，显然不存在实数使得成立，则能构成空间向量的一组基，故C正确；对D，因为，则不能构成空间向量的一组基，故D错误.故选：ABC.10.已知分别是正方体的棱和的中点，则（）A.与是异面直线B.与所成角的大小为45°C.与平面所成角的余弦值为D.平面与平面所成角的余弦值为【答案】AD【解析】【分析】根据异面直线定义判断A，应用空间向量法求异面直线所成角判断B，应用空间向量法求线面角正弦值再求余弦值判断C，应用空间向量法求面面角余弦值判断D.【详解】对于选项A，因为平面，平面，，所以与是异面直线，故A正确；以D为原点的方向分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则，，对于选项B，因为，，设与所成角为，则，又因为，所以，故B错误；对于选项C，由题知平面的一个法向量为，因为，，设与平面所成角为α，则，，故C错误；对于选项D，，，设平面的法向量为，则令得，设平面的法向量为，，则令得，设平面与平面所成角的角为β，所以平面与平面所成角的余弦值为，故D正确．故选：AD.11.已知曲线C：，下列说法正确的是（）A.若，则C为双曲线B.若且，则C为焦点在x轴上的椭圆C.若，则C不可能表示圆D.若，则C为两条直线【答案】AB【解析】【分析】根据题意，由双曲线的标准方程即可判断AD，由椭圆的标准方程即可判断B，由圆的标准方程即可判断C.【详解】若，则C为双曲线，所以A正确；若且，则，，所以C为焦点在x轴上的椭圆，所以B正确；若，当时，C是单位圆，所以C不正确；若，则C为双曲线，所以D不正确.故选：AB三､填空题（共3小题，每小题5分，共15分》12.已知向量，，且与互相垂直，则的值是______.【答案】##【解析】【分析】向量的垂直用坐标表示为，代入即可求出答案.【详解】，，因为与互相垂直，所以,即，解得：.故答案为：13.一批产品共50件，有5件次品，其余均为合格品.从这批产品中任意抽取2件，出现次品的概率为________.【答案】【解析】【分析】设抽取的2件产品中次品的件数为X，则P(X＝k)＝(k＝0,1,2).由此可得答案.【详解】设抽取的2件产品中次品的件数为X，则P(X＝k)＝(k＝0,1,2).所以P(X>0)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝.故答案：.14.若椭圆的离心率为，则双曲线的渐近线方程为_________．【答案】【解析】【分析】根据离心率可求的值，从而可求渐近线方程.【详解】因为的离心率为，故，故，故双曲线的渐近线方程为：，故答案为：.四､解答题（共3小题，共27分.其中第15题7分，16､17各题均10分）15.袋中装有4个红球，5个白球，从中不放回地任取两次，每次取一球.（1）求在第一次取出红球的条件下，第二次取出红球的概率.（2）求第二次才取到红球的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用条件概率的定义并结合古典概型即可得到答案；（2）利用条件概率公式即可.【小问1详解】若第一次取出红球，此时袋中有3个红球，5个白球，则第二次取出红球的概率为.【小问2详解】用表示第次取到红球，则第二次才取到红球的概率为.16.已知抛物线，焦点为，准线为，抛物线上一点的横坐标为3，且点到准线的距离为5.（1）求抛物线的方程；（2）若为抛物线上的动点，求线段的中点的轨迹方程.【答案】（1）抛物线的方程为；（2）线段的中点的轨迹方程为．【解析】【分析】（1）由抛物线的定义简单计算可得结果.（2）由相关点法，设，表示出，代入抛物线方程得，整理得，即为的轨迹方程.【详解】（1）有题意可得，所以，故抛物线方程为：；（2）由（1）知，设，则，即，而点在抛物线C上，，，即，此即所求点M的轨迹方程.17.如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，底面ABCD，，E是PC上任一点，.（1）求证：平面平面PAC：（2）若E是PC的中点，求ED与平面EBC所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）依题意可得，再由线面垂直的性质得到，即可得到平面，从而得到平面；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角的正弦值；【详解】解：（1）在四棱锥中，底面ABCD为菱形，所以，又因为底面ABCD，底面ABCD，所以，，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面；（2）取的中点，连接，因为底面ABCD为菱形且，所以为等边三角形，所以，所以，如图建立空间直角坐标系，令，则，，，，所以，，，设平面的法向量为，所以即，令