2025届烟台市、东营市高考诊断性测试（高三一模）数学试题

第PAGE"pagenumber"pagenumber页，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages页第PAGE"pagenumber"pagenumber页，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages页2025届烟台市、东营市高考诊断性测试（高三一模）数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知集合，则（

）A． B． C． D．2．已知等比数列的前项和为，则（

）A． B． C．5 D．153．已知，则（

）A． B． C． D．24．已知复数，其中，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．在中，，则（

）A． B． C． D．6．已知变量线性相关，其一组样本数据，满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为.若增加一个数据后，得到修正后的回归直线的斜率为2.1，则数据的残差的绝对值为（

）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.47．已知为抛物线上一点，若过点且与该抛物线相切的直线交轴于点，则的值为（

）A．1 B．2 C．4 D．88．已知定义在上的函数满足：为奇函数，且，若，则正整数的最小值为（

）A．17 B．19 C．21 D．23二、多选题（本大题共3小题）9．已知函数，则（

）A．的最小正周期为B．的图象关于直线对称C．在区间上的取值范围为D．的图象可由的图象向右平移个单位长度得到10．如图，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，，下列说法正确的有（

）A．若，则B．直线与底面所成角的正弦值为C．若点在底面内的射影为的中心，则D．若三棱锥的体积为2，则三棱柱的体积为611．在平面直角坐标系中，已知动点到点与到轴的距离之积为常数，设点的轨迹在轴右侧的部分为曲线，下列说法正确的有（

）A．曲线关于直线对称B．若，则曲线与直线有三个公共点C．当时，曲线上的点到点距离的最小值为D．无论为何值，曲线均为一条连续曲线三、填空题（本大题共3小题）12．第九届亚洲冬季运动会于2025年2月在哈尔滨成功举行.4名大学生到冰球、速滑以及体育中心三个场馆做志愿者，每名大学生只去1个场馆，每个场馆至少安排1人，则所有不同的安排种数为.（用数字作答）13．设为双曲线的左、右焦点，过且倾斜角为的直线与在第一象限的部分交于点，若为等腰三角形，则的离心率为.14．已知正数满足，则的最小值为：当取得最小值时，不等式恒成立，则实数的取值范围为.四、解答题（本大题共5小题）15．已知函数在处有极大值.(1)求实数的值；(2)若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围.16．如图，点在以为直径的半圆的圆周上，，且平面，(1)求证：；(2)当为何值时，平面与平面夹角的余弦值为？17．为加强中小学科学教育，某市科协，市教育局拟于2025年4月联合举办第四届全市中小学机器人挑战赛.比赛共设置穿越障碍、搬运物品两个项目.每支参赛队先挑战穿越障碍项目，挑战成功后，方可挑战且必须挑战搬运物品项目.每支参赛队每个项目至多挑战两次，若第一次挑战成功，则获得奖金2000元，该项目不再挑战：若第一次挑战失败，则必须第二次挑战该项目，若第二次挑战成功，则获得奖金1000元，否则，不获得奖金.假设甲参赛队在每个项目中，第一次挑战成功的概率为，第一次挑战失败但第二次挑战该项目成功的概率为；两个项目是否挑战成功相互独立.(1)设事件“甲参赛队两个项目均挑战成功”，求；(2)设比赛结束时，甲参赛队获得奖金数为随机变量，求的分布列；(3)假设本届比赛共有36支参赛队，且根据往届比赛成绩，甲参赛队获得奖金数近似为各参赛队获得奖金数的平均水平.某赞助商计划提供全部奖金，试估计其需提供的奖金总额.18．已知椭圆的焦距为，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)设为坐标原点，为上两个动点，且，作，垂足为.（i）线段的长度是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由；（ii）设点的轨迹为，过点作的切线交于点（异于），求面积的最小值.19．设是一个项数为的数列，其中每一项均为集合中的元素.定义数列如下：若，则，其中，当时，，当时，，且.(1)若数列，求数列；(2)若存在，对任意，均有数列与为同一数列，则称为数列组的一个周期.（i）若，求数列组的最小正周期；（ii）若数列组存在周期，求的所有可能取值.

参考答案1．【答案】A【详解】由，，则，故选：A2．【答案】D【详解】由等比数列性质可知，，又，解得或，当时，，所以，故，当时，，所以，故，综上，，故选：D3．【答案】C【详解】由.故选：C4．【答案】B【详解】由，则，可得或，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B5．【答案】C【详解】在中，，所以，则.故选：C.6．【答案】A【详解】由题设，则，增加数据后，，，且回归直线为，所以，则，所以，有，故残差的绝对值为.故选：A7．【答案】C【详解】不妨令，由，则，所以，切点为的直线斜率为，则切线为，故，又，即（负值舍），则.故选：C8．【答案】B【详解】由，则，所以，即是周期为8的函数，由为奇函数，则，则，所以，即是偶函数，由，则，结合周期性，对于，依次为，所以是周期为4的函数，则，，，，，，综上，易知时，，时，.所以正整数的最小值为19.故选：B9．【答案】ABD【详解】由，所以最小正周期为，A对；，即的图象关于直线对称，B对；由上，故，C错；向右平移个单位长度，，D对.故选：ABD10．【答案】ACD【详解】设，，，由题意可得，，，对于A，由图可得，，由，则，即，化简可得，解得，故A正确；对于B，由题意取的中点，连接，过作平面，垂足为，连接，如下图：由题意可知，则，所以，因为平面，平面，所以，因为，所以，则，可得，所以为直线与平面的夹角，由A可得，，在等边中，易知，则，所以直线与平面所成角的正弦值为，故B错误；对于C，由题意取的中点，连接，过作平面，垂足为，如下图：易知点在平面上的射影为点，即点为等边的中心，易知，因为平面，平面，所以，由B可知，在中，，故C正确；对于D，由题意作图如下：设点到平面的距离为，的面积为，则三棱锥的体积，平行四边形中，易知的面积，则三棱锥的体积，由图可知三棱柱的体积，故D正确.故选：ACD.11．【答案】ACD【详解】设动点，则其到的距离为，动点到轴的距离为，则，即，因为点也符合上式，所以选项A正确；若，则把代入上式，得方程，当时，，方程为，解得或（舍去），即得对应点，当时，方程为，解得，即得对应点，所以B错误；当时，的轨迹方程为，令曲线上的点到点距离为，则，，因为是对称轴，所以代入轨迹方程得，当时，方程为，解得，当时，方程为，则无解，将代入方程得，则点到的距离最小，且为，C正确；因为轨迹方程为，，右边是连续的，左边表示距离函数也连续，所以无论为何值，曲线均为一条连续曲线，D正确.故选：ACD12．【答案】36【详解】由题设，需要将4个人分成3组，有种，再将3组人分配到三个场馆，有种，所以共有种.故答案为：3613．【答案】【详解】由题设及图知，且，，所以，则，所以，即，可得（负值舍）.故答案为：14．【答案】5【详解】由题设，当且仅当时等号成立，所以的最小值为5，此时不等式化为恒成立，所以，即令且，则，时，时，所以在上单调递减，在上单调递增，故，则因此可得在上，恒成立，令且，所以，令，，在单调递增，且，则时，，函数在单调递减，时，，函数在单调递增，因此可得，即，则当，，则在单调递增，当，，则在单调递减，所以，故只需.故答案为：5，15．【答案】(1)(2)【详解】（1）由函数，求导可得，由函数在处取极大值，则，解得或，当时，可得，易知当时，；当时，，则此时函数在处取得极小值，不符合题意，舍去；当时，可得，易知当时，；当时，，则此时函数在处取得极大值，符合题意.综上所述，.（2）由（1）可得函数，求导可得，令，解得或，可得下表：单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以函数的极大值为，极小值为，函数存在三个零点，等价于函数图象与直线存在三个交点，如下图：由图可得，则.16．【答案】(1)证明见解析；(2)或.【详解】（1）由平面，平面，则，又点在以为直径的半圆的圆周上，则，由且都在面内，则面，由面，故；（2）若为的中点，即为半圆的圆心，作面，在面内作，由，，则，故可构建如下图示的空间直角坐标系，则，由，故，可得，所以，，，若，分别为面、面的一个法向量，则，取，，，取，，所以，整理得，则，可得或.17．【答案】(1)(2)答案见解析；(3)元【详解】（1）每个项目挑战成功的概率，则.（2）甲参赛队获得奖金数为随机变量的所有可能取值为4000，3000，2000，1000，0.；；；；.∴甲获得奖金数的分布列为：40003000200010000（3）由（2）得出甲参赛队获得奖金数数学期望元，因为假设本届比赛共有36支参赛队，估计其需提供的奖金总额为元18．【答案】(1)(2)（i）；（ii）【详解】（1）由椭圆的焦距为，则，由椭圆的离心率为，则，解得，易知，则可得椭圆.（2）（i）当直线的斜率不存在时，可设方程为，代入椭圆，可得，易知，解得；当直线的斜率存在时，可设方程为，联立，消去可得，由，设，则，可得，由直线的斜率，直线的斜率，且，则，整理可得，化简可得，解得，由.（ii）由圆的对称性，则，由（i）可知：当直线的斜率不存在时，，当直线的斜率存在时，，当且仅当时，等号成立，则，综上可得，故的最小值为.19．【答案】(1)；(2)（i）3；（ii）的所有可能取值为且.【详解】（1）由，对于，则，同理，，所以，对于，则，同理，，所以，依上的过程，易知；（2）（i）若，，则，即，若，，则，即，若，，则，即，令，各不相同，则，若，则，，，显然，即是周期；若，则，，，显然，即是周期；若，则，即是周期；（注意为正整数），综上，对任意，为数列组周期，最小正周期是3；（ii）当为偶数，不妨设，则，