山东省日照市2024−2025学年高二上学期1月期末校际联合考试数学试题

第PAGE"pagenumber"pagenumber页，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages页第PAGE"pagenumber"pagenumber页，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages页山东省日照市2024−2025学年高二上学期1月期末校际联合考试数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．抛物线的焦点坐标是（）A． B． C． D．2．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,化简A． B． C． D．3．已知之间的一组数据：12345.543.53若与满足回归方程，则的值为（

）A． B． C． D．4．已知直线与直线平行，则实数（

）A． B．1 C．或1 D．5．如图所示，直四棱柱底面是正方形，分别是的中点，则点到平面的距离为（

）A．1 B． C． D．6．为解决“卡脖子”问题，实现7nm芯片国产化，让中国制造走向世界，某公司两个研发小组同时设计生产出了相同规格、相同数量的芯片，经初步鉴定：组生产的芯片合格率为，B组生产的芯片合格率为，现公司决定再将这些产品送专家鉴定后量产，专家从这些芯片中随机取一个，则该芯片合格的概率为（

）A． B． C． D．7．如图，湖面上有4个相邻的小岛，现要建3座桥梁，将这4个小岛连通起来，则建设方案有（

）A．12种 B．16种 C．20种 D．24种8．已知椭圆的左焦点为为坐标原点，若在上存在关于轴对称的两点，使得为正三角形，且，则的离心率为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．设复数在复平面内对应的点为Z，原点为O，为虚数单位，则下列说法正确的是（

）A．若，则或B．若点Z的坐标为，且是关于的方程的一个根，则C．若，则的虚部为D．若，则点的集合所构成的图形的面积为10．下列选项中正确的有（

）A．若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于1B．C．已知随机变量服从正态分布，则D．若数据的方差为8，则数据的方差为211．如图，已知正方体的棱长为是的中点，为正方形所在平面内一动点，则下列结论正确的是（

）A．若到直线与直线的距离相等，则的轨迹为抛物线B．若，则的中点的轨迹所围成图形的面积为C．若直线与平面所成的角为，则的轨迹为椭圆D．若直线与直线所成的角为，则的轨迹为双曲线三、填空题（本大题共3小题）12．的展开式中的系数是．（用数字作答）13．假设某厂包装食盐的生产线，正常情况下生产出来的食盐质量服从正态分布，对于的食盐即为不合格，不合格食盐出现的概率为0.05，现从这批食盐中随机抽取100包，用表示这100包中质量位于区间的包数，则随机变量的方差是．14．如图，画在纸面上的抛物线过焦点的弦长为9，沿轴将纸面折成平面角为的二面角后，空间中线段的长为．四、解答题（本大题共5小题）15．已知圆经过点，且圆心在直线上.(1)求圆的标准方程；(2)求过点与圆相切的直线方程.16．为了解某一地区新能源电动汽车销售情况，一机构调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表：性别购买非电动汽车购买电动汽车总计男性39645女性301545总计692190(1)在犯错误概率不超过的前提下，能否认为购买电动汽车与车主性别有关？(2)在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记这3人中男性的人数为，求的分布列．参考数据：，其中．附表：0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.82817．如图，在三棱锥中，为等边三角形，是的中点，，平面．(1)求与平面所成角的正弦值；(2)若平面于点，求二面角的余弦值．18．为弘扬中华民族的传统美德，增强老年人的幸福感和归属感，某市开展学生志愿服务活动．现有来自甲，乙，丙，丁四个地区的学生各一名，分配到甲，乙，丙，丁四个地区的养老院进行志愿服务，要求每个地区分配一名学生．(1)求甲地区的学生不在甲地区参加志愿服务，且乙地区的学生不在乙地区参加志愿服务的概率；(2)在概率论和统计学中，常用协方差来描述两个随机变量之间的线性相关程度，给定离散型随机变量，定义协方差为．如果协方差为正，说明两个随机变量具有正相关关系；如果协方差为负，说明两个随机变量具有负相关关系；如果协方差为零，说明两个随机变量在线性关系上不相关．在参加志愿服务活动的4名学生中，记在本地区参加志愿服务的学生人数为，不在本地区参加志愿服务的学生人数为．（ⅰ）求随机变量的分布列；（ⅱ）求，并说明之间的线性相关关系．19．已知圆，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，当点在圆上运动时，设动点的轨迹为曲线．(1)求曲线的标准方程；(2)设是曲线上不同的两点，是的中点，直线的斜率分别为．证明：为定值；(3)直线与曲线的右支交于点（在的上方），过点作斜率为的直线，过点作斜率为2的直线与交于点；过点且斜率4为的直线与双曲线交于点（在的上方），再过点作斜率为的直线，过点作斜率为2的直线与交于点，这样一直操作下去，可以得到一列点．证明：共线．

参考答案1．【答案】A【详解】因为抛物线，所以由抛物抛物线焦点坐标公式可知，焦点坐标是．故选:A2．【答案】A【详解】在平行六面体，连接AC，如图，则,故选A．3．【答案】B【详解】由表可得，因为线性回归方程过样本中心点，则，解得.故选：B.4．【答案】C【分析】由直线平行的充要条件列式运算即可求解.【详解】已知直线与直线平行，则当且仅当，解得或.故选C.5．【答案】D【详解】由题意知，该几何体为长方体，建立空间直角坐标系如下图所示，则，可得，设平面的一个法向量为，则，设，则，则，所以点C到平面的距离为.故选：D．6．【答案】C【详解】设事件“从组中抽取芯片”，事件“抽到合格的芯片”，则，，，则.故选：C.7．【答案】B【详解】由题意知要将4个相邻的小岛A，B，C，D连接起来，共有个位置可以建设桥梁，从这6个位置中选3个建设桥梁，共有种选法，但选出的3个位置可能是仅连接或或或三个小岛，不合题意，故要建3座桥梁，将这4个小岛连接起来，共有（种）不同的方案.故选：B.8．【答案】B【详解】设椭圆的焦距为，右焦点为，直线交于点M，连接，因为为正三角形，，所以M为的中点，所以，故，易知，所以，，由椭圆的定义知，即，得.故选：B.9．【答案】BD【详解】A中，令，则，故A错误；B中，若点Z的坐标为，则，所以，整理得，所以，解得，所以，故B正确；C中，易知的虚部为，故C错误；D中，记，则所以，圆的面积为，圆的面积为，所以点的集合所构成的图形的面积为，故D正确.故选：BD10．【答案】BD【详解】对于选项A：若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于1，故A错误；对于选项B：因为，故B正确；对于选项C：随机变量服从正态分布，则，故C错误；对于选项D：设数据，，，的方差为，因为数据，，，的方差为8，则，解得，故D正确．故选：BD.11．【答案】ABD【详解】对于A，平面，即为到直线的距离，在平面内，点到定点的距离与到定直线的距离相等，∴点的轨迹就是以为焦点，为准线的抛物线，故A正确；对于B，若，则,可得中点的轨迹为以中点为圆心，为半径且平行于平面的圆，其面积为，故B正确；对于C，与平面所成的角为，则，可得，∴点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，故C错误；对于D，如图，建立空间直角坐标系，，设，则，，因为，化简得，即，所以的轨迹为双曲线，故D正确；故选：ABD﹒12．【答案】【详解】的展开式的通项公式为，令可得所以的展开式中的系数是故答案为：13．【答案】9【详解】由题意可知：，且，则，可得，由题意可知：，所以随机变量的方差.故答案为：9.14．【答案】【详解】，设直线为，，联立与可得，则，则，故，解得，故，解得，故，如图，以为坐标原点，为轴，在平面内垂直于的直线为轴，垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，过作平面于，过作于，连接，由于轴，且轴，，故轴平面，平面，故轴，则由于在直角坐标系中，故，因此在直角三角形中，，因此在空间直角坐标系中，，故，故答案为：.15．【答案】(1)(2)和【详解】（1）设圆的标准方程为，由题意得，所以圆的标准方程为；（2）当直线的斜率不存在时，符合题意，当直线斜率存在时，设该斜率为，此时直线方程为，即，圆心到该直线的距离为，即，解得，此时直线方程为，故所求直线方程为和.16．【答案】(1)可以认为购买电动汽车与车主性别有关(2)分布列见解析【详解】（1）零假设：购买电动汽车与车主性别无关，由表中数据得：，依据小概率值的独立性检验，推断不成立，所以在犯错误概率不超过的前提下，可以认为购买电动汽车与车主性别有关.（2）按购买电动汽车的车主进行分层抽样，抽取的7人中男性有人，女性有5人，则的可能值为，可得：，所以的分布列为：01217．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为为等边三角形，是的中点，则，且平面，以为坐标原点，分别为轴，过平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，可得，设平面的法向量为，则，令，则，可得，则，所以与平面所成角的正弦值为.（2）由（1）可得：，设平面的法向量为，则，令，则，可得，因为平面，则直线的方向向量可以为，设平面的法向量为，则，令，则，可得，由题意可知：平面的法向量可以为，则，由图可知：二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为.18．【答案】(1)(2)（ⅰ）分布列见详解；（ⅱ），随机变量之间具有负相关关系【详解】（1）记“甲地区的学生不在甲地区参加志愿服务，且乙地区的学生不在乙地区参加志愿服务”为事件A，样本空间为，则，，所以.（2）由题意可知：随机变量的可能取值为0,1,2,4，则，，所以随机变量的分布列为0124由题意可知：，即，因为，则，令，可知随机变量的可能取值为，则，可得随机变量的分布列为0可得，因为，所以随机变量之间具有负相关关系.19．【答案】(1)(2)证明见解析(3)证明见解析【