湖北省云学名校联盟2024−2025学年高二下学期3月月考 数学试题（含解析）

湖北省云学名校联盟2024−2025学年高二下学期3月月考数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．与直线关于y轴对称的直线的方程为（

）A． B．C． D．2．已知曲线上一点，记为函数的导数，则（

）A． B． C． D．3．已知数列满足，，，则（

）A． B． C．2 D．4．如图，在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）中，分别为的中点，则直线和夹角的正弦值为（

）A． B． C． D．5．椭圆上的点到直线的最大距离为（

）A． B． C． D．6．已知函数，记等差数列的前项和为，若，，则（

）A． B． C．2025 D．40507．已知三棱锥的每条侧棱与它所对的底面边长相等，且，，则该三棱锥的内切球的半径为（

）A． B． C． D．8．已知抛物线方程为，在轴上存在一定点，使得经过点的任意一条弦，满足为定值，则（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知等差数列的公差为正数，是数列的前项和，若，，则（

）A．B．数列是公比为的等比数列（为自然对数的底数）C．D．数列是公差为的等差数列10．已知动点与两个定点，的距离的比为，动点的轨迹为曲线，则（

）A．曲线的轨迹方程为B．直线与曲线交于、两点，则的长为C．曲线与曲线的公切线有2条D．已知点，点，点为曲线上任意一点，则的最大值为11．如图，已知正方体的棱长为4，点为的中点，点为正方形上的动点，则（

）A．满足平面的点的轨迹长度为B．满足的点的轨迹长度为C．存在点，使得平面经过点D．不存在点满足三、填空题（本大题共3小题）12．设函数在处的导数存在，且，则.13．已知双曲线的方程为，点，点，点为双曲线上的一个动点，则的最小值为.14．记，表示个元素的有限集，表示非空数集中所有元素的和，若集合，则，若，则的最小值为.四、解答题（本大题共5小题）15．已知数列为等比数列，，.(1)求数列的通项公式；(2)若是数列的前项积，求的最大值.16．（1）证明：，；（2）已知函数（，，e为自然对数的底数）.（I）当时，求函数的单调区间；（II）若函数在上单调递增，求实数的取值范围.17．已知数列满足，，，数列满足，.(1)证明：数列不是等比数列；并且求数列的通项公式；(2)求数列的通项公式；(3)令，记数列的前项和为，求证：.18．已知双曲线，满足离心率为2，且焦点到渐近线的距离为.(1)求双曲线的标准方程；(2)若直线过点，且与双曲线的左支有且只有一个公共点，求直线的斜率的取值范围；(3)记双曲线的左顶点为，右焦点为，为第一象限内双曲线上的任意一点，是否存在实数，使得恒成立?若存在，请求出此时的实数；若不存在，请说明理由.19．已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，，E为的中点，.(1)证明：平面平面；(2)若，与平面所成的角为，（I）求三棱锥的体积；（II）试问在侧面内是否存在一点，使得平面?若存在，求出点到直线的距离；若不存在，请说明理由.

参考答案1．【答案】C【详解】解：直线，即，它与轴的交点为，它关于轴对称的直线的斜率为，故要求直线的方程为，即.故选：C．2．【答案】D【详解】，，所以，所以.故选：D3．【答案】B【详解】，，，，猜想：，经检验符合题意，故.则，故选：B.4．【答案】C【详解】，因为分别为的中点，所以，，且，则，所以，即直线和夹角的余弦值为，所以正弦值为.故选：C5．【答案】C【详解】由是椭圆上的动点.可设，，由点到直线的距离公式可得，，，，最大距离.故选：C.6．【答案】A【详解】令，则的定义域为，又，所以为奇函数，又与均在上单调递增，所以在上单调递增，所以，因为，所以，因为，所以，所以，即，所以.故选：A7．【答案】C【详解】根据题意，三棱锥可以嵌入一个长方体内，且三棱锥的每条棱均是长方体的面对角线，设长方体交于一个顶点的三条棱长为a，b，，如图所示，则，，，解得，，.所以该三棱锥的的体积为，而，所以可求得，故选：C8．【答案】B【详解】方法一：假设点M的坐标为，，当AB垂直x轴时，；当AB与x轴重合时，，所以，；方法二：假设点M的坐标为，当AB不与x轴重合时，可设直线AB的方程为：，与抛物线方程联立，设，，，，，则，因为无论直线AB怎么变化，t恒为定值，所以，即；当AB与x轴重合时，可以验证也成立.所以综上所述，，，故选：B9．【答案】AB【详解】A：依题意，设公差为d，则，由，，解得，，故A正确；B：由，得，所以，由，即数列是以为公比的等比数列，故B正确；C：，故C错误；D：由，得，所以，不恒为常数，所以不是等差数列，故D错误.故选：AB10．【答案】ACD【详解】A.设，由可得，化简得，即.故曲线的轨迹方程为，A正确；B.由A得：的圆心坐标为，半径为，所以圆心到直线的距离，所以，所以B错误；C.因为两圆心间距离为大于半径差小于半径和，两个圆是相交关系，所以公切线条数是2条，C正确；D.已知点，动点N与点，点的距离的比为，所以，D正确.故选：ACD.11．【答案】ABD【详解】如图1，取的中点，取的中点，连接，FM，，因为为的中点，所以，，，因为平面，平面，所以平面，同理可得：平面，因为，平面，所以平面平面，图1因为点为正方形上的动点，所以当在线段上时，平面，故满足平面的点的轨迹长度为的长，为，A正确；如图2，过点作，交于点，可得：，因为正方体的棱长为4，点为的中点，图2所以，，故，即，解得：，过点作，交于点，交于点，则平面，因为平面，所以，当点位于线段上时，满足，即满足的点的轨迹长度为线段的长度，又因为，所以B选项正确；图3如图3，连接，取中点，连接AH，HM，则可知平面截正方体所得的截面为，与正方形没有交点，所以不存在点，使得平面经过点，故不正确；如图4，延长到点，使得，图4则点关于平面的对称点为，连接交正方形于点，则此时使得取得最小值，最小值为，所以不存在点满足，D正确；故选：ABD12．【答案】【详解】.故答案为：13．【答案】7【详解】由题意得双曲线的焦点在轴上，且，所以点为双曲线的上焦点，设下焦点为，结合图形可知点为上支上的点时才可能取得最小值，由双曲线的定义可得，所以，所以，当且仅当三点共线时取等号.故的最小值为7.故答案为：14．【答案】14【详解】当，时，，表示2个元素的有限集，由可知，或或，故；由题意知，故由可得，即，结合，可以估算得的最小值为14故答案为：；14.15．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为数列为等比数列，，，所以，，所以，，所以（2）方法一：因为，且，数列为单调递减数列，当时，最大，即，解得：，此时，的最大值为.方法二：因为，所以由二次函数的知识以及，在或者时，同时取得最大值，此时，的最大值为.16．【答案】（1）证明见解析；（I）单调递增区间为，，单调递减区间为，（II）【详解】（1）构造函数，，令，得，列表如下：1-0+递减极小值递增所以，即有成立.（2）（I）当时，，所以.令，因为，所以，解得或.列表如下：-4-2+0-0+↗极大值↘极小值↗由表可知，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为.（II）因为函数在上单调递增，所以.即对任意恒成立，因为，且，所以对任意恒成立.设，，因为的开口向上，所以只需要考虑两个端点的情况就行了，则，即，解得.即实数的取值范围为.17．【答案】(1)证明见解析，(2)(3)证明见解析【详解】（1）由题意，，因为，数列的第一项为0，数列不是等比数列；但是，且，∴数列是以2为首项以2为公比的等比数列.（2）方法一：因为，且数列是以1为首项，以0为公差的等差数列.，；方法二：，用累乘可得，当时，，……，，，所以，即，又，；（3）因为，所以，因为，.18．【答案】(1)(2)(3)存在实数【详解】（1）由已知双曲线离心率为2，则，得，所以双曲线方程为，又焦点到渐近线的距离为，可得，，所以双曲线方程为（2）由题意知直线斜率显然存在，设直线的方程为，联立直线与双曲线，得，当时，，解得：，且，当时，与双曲线的渐近线方程的斜率一致，双曲线的渐近线方程为，即渐近线斜率为，又因为直线过定点所以当时，时，直线与双曲线的左支只有一个公共点，成立；当时，时，直线与双曲线的右支只有一个公共点，不成立；当时，直线与双曲线左支有两个交点，不成立；当时，直线与双曲线的左右两支各有一个交点，成立，当时，直线与双曲线右支有两个公共点，不成立；当时，时，直线与双曲线的左支只有一个交点即与左支相切，成立；当时，时，直线与双曲线的右支只有一个交点即与右支相切，不成立；综上所述，或时，直线与双曲线的左支有且只有一个公共点；（3）存在，理由如下，①当点时，，，可求得.②当点的横坐标不为2时，可设，，，，，，和都在内，所以综上可知，存在实数符合题意19．【答案】(1)证明见解析(2)（I）8；（II）存在，【详解】（1）由四边形是直角梯形，，，可得，，从而是等边三角形，，BD平分.∵E为的中点，，，又，，平面，平面平面，平面，所以平面平面.（2）（I）在平面内作于，连接，由（1）有平面，又平面，∴平面平面.因为平面平面，平面，平面为与平面所成的角，则，由题意得，，，为的中点，.又，所以三棱锥P-BDC的体积为；（II）方法一：（向量法）以OB，OC，OP所在的直线分别为x，y，z轴建立空