福建省龙岩市上杭县某校2024-2025学年高二下学期3月质量检查 数学试题（含解析）

2024～2025学年第二学期3月份质量检查高二年级数学试题考试时间：120分钟满分：150分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上.一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1.函数在区间上的平均变化率为（）A. B. C.2 D.【答案】C【解析】【分析】利用平均变化率的意义，直接计算作答.【详解】函数在区间上的平均变化率为.故选：C2.函数，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据初等函数的导数公式和导数的运算法则求解即可【详解】因为，所以，故选：D.3.若，则等于（）A. B.3 C. D.6【答案】D【解析】【详解】根据导数的公式即可得到结论．【解答】解：因为，所以，所以，所以，所以，故选：D．4.已知函数，则的图象在处的切线方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程作答.【详解】函数，求导得：，则，而，因此，即，所以的图象在处的切线方程为：.故选：A5.若在和处有极值，则函数的单调递增区间是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出函数的导函数，依题意且，即可得到方程组，从而求出、的值，再利用导数求出函数的单调递增区间.【详解】因为，所以，由已知得，解得，所以，所以，由，解得，所以函数的单调递增区间是.故选：C．6.如图是函数的导数的图象，则下面判断正确的是（）A.在内是增函数B.在内是增函数C.时取得极大值D.在时取得极小值【答案】B【解析】【分析】根据图象判断的单调性，由此求得的极值点，进而确定正确选项.【详解】由图可知，在区间上,单调递减；在区间上,单调递增.所以不是的极值点，是的极大值点.所以ACD选项错误，B选项正确.故选：B7.已知函数在上单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分情况讨论，当时直接代入可得函数递减；当时，求导，构造函数，，再由得到抽象函数，求出，最后再讨论时的情况，综合得出结果.【详解】当时，函数在上单调递减，不符合题意，所以，由题可知恒成立，即.令，则，所以在上单调递增，由，可得，即，所以，所以，当时，，不符合题意，故的取值范围是.故选：B8.已知函数在区间内任取两个实数p、q，且，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先，由的几何意义，得到直线的斜率，然后得到函数图象上在区间内任意两点连线的斜率大于1，从而得到在内恒成立，分离参数后，转化成在内恒成立，从而求解得到a的取值范围.【详解】因为的几何意义为：表示点与点连线的斜率，因为实数，在区间，故在区间内，不等式恒成立，所以函数图象上在区间内任意两点连线的斜率大于1，故函数的导数大于1在内恒成立，由函数的定义域，所以在内恒成立，即在内恒成立，由于二次函数在上是单调增函数，故时，在上取最大值为15，故实数a的取值范围为.故选：B【点睛】导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为;（3）若恒成立，可转化为.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）9.下列求导正确的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】利用基本初等函数的导数公式可判断A选项；利用导数的运算法则可判断BD选项；利用复合函数的求导法则可判断C选项.【详解】对于A选项，，A错；对于B选项，，B对；对于C选项，，C错；对于D选项，，D对.故选：BD.10.已知函数，则（）A.当时，有两个极值点B.当时，有三个零点C.点是曲线的对称中心D.当时，过点可作曲线的三条切线【答案】ABD【解析】【分析】利用导数求解极值点即可判断A；根据函数单调性以及极值的正负即可判断B；利用函数对称的性质即可判断C；设出切点，利用导数的几何意义求解切线的方程，结合条件把问题转化为函数图象的交点个数问题，即可判断D.【详解】对于A，由题知，定义域为，则，当时，令，得或，令，得或，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，在处取得极小值，所以为极大值点，为极小值点，故A正确；对于B，当时，当时，；当时，，且，，因为，所以，，所以，，所以有三个零点，B正确；对于C，若点是曲线的对称中心，则满足恒成立，因为，，所以，其值不恒为0，C错误；对于D，设过点的直线与相切的切点为，则，且切线斜率为，故切线的方程为，即，因为切线过，则，整理得，即，构造函数与，对于函数，，令，得，令，得或，即该函数在和上单调递增，令，得，即该函数在上单调递减，时，函数有极小值；时，函数有极大值，当时，；当时，，作出函数与的图象，如图，因为，所以，所以函数与图象有三个交点，即方程有三个解，即过点可作曲线的三条切线，D正确.故选：ABD.11.已知函数的定义域为，其导函数为，且满足，，则下列结论一定成立的是（）A.方程有唯一实数根B.在区间上单调递增C.D.若且，则【答案】BCD【解析】【分析】先求出，然后讨论的单调性，即可判断A，B，C选项；对于D选项，使用基本不等式并结合的最小值即可验证.【详解】设，则，所以恒为常数.又由于，故.所以，即.对于A，由于，故对有，对有.从而在上递减，在上递增，故，所以方程没有实数根，故A错误；对于B，前面已经证明在上递增，故B正确；对于C，前面已经证明，所以，故C正确；对于D，若，，则，故D正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于构造合适的新函数，从而求出已知函数的表达式.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知函数，则_______．【答案】6【解析】分析】利用瞬时变化率和极限思想求得，再结合函数解析式求得即可.【详解】因，由可得，故.故答案为：6.13.过点作曲线的切线的斜率为______．【答案】2【解析】【分析】设切点坐标，由导数得几何意义求得切线方程，代入即可求解；【详解】，设切点横坐标为，故曲线在处的切线方程为l：，将，代入，得，解得，∴，故答案：214.若对任意正数x恒成立，则实数a的取值范围为__________．【答案】【解析】【分析】整理可得，同构结合的单调性分析可得，换元令，可得，构建，利用导数求其最值，即可得结果.【详解】因为，且，可得，整理可得，构建又因为在内单调递增，可得在内单调递增，可得，且，整理可得，令，可得，构建，则，令，解得；令，解得；可知在内单调递增，则内单调递减，则，可得，即，所以实数a的取值范围为.故答案为：.【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题1.分离参数法第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的最值；第三步：根据要求得所求范围．2.函数思想法第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的极值；第三步：构建不等式求解．四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.求下列函数的导数：（1）；（2）；（3）；（4）（5）．【答案】（1）（2）（3）（4）（5）【解析】【分析】根据基本初等函数、积的导数、商的导数和复合函数的求导公式逐项求导即可．【小问1详解】【小问2详解】【小问3详解】【小问4详解】，则【小问5详解】16.已知函数．（1）求的极值；（2）求在区间上的最大值与最小值.【答案】（1）极大值是，极小值是（2）最大值为2，最小值为【解析】【分析】（1）求出函数导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极值即可；（2）根据函数的单调性以及极值，结合，的值，求出函数的最值即可.【小问1详解】∵，∴，x13+0-0+单调递增极大值2单调递减极小值单调递增故的极大值是，极小值是；【小问2详解】由（1）知：x12+0-单调递增极大值2单调递减即函数在区间,上的最大值为2，最小值为.17.设函数．（1）求该函数的单调区间；（2）若当x∈[﹣2，2]时，不等式f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）单调递增区间为（﹣∞，﹣2），（0，+∞），单调减区间为（﹣2，0）；（2）m＞2e2．【解析】【分析】（1）求出导函数f′（x），令导函数f′（x）＞0，求解即可求得单调增区间，令f′（x）＜0，求解即可求得单调减区间，从而求得答案；（2）将恒成立问题转化成求函数f（x）最大值，利用导数求出函数f（x）的最大值，即可求得实数m的取值范围．【详解】（1）∵，∴f′（x）＝xexx2exexx（x+2），令f′（x）＞0，解得x＞0或x＜﹣2，令f′（x）＜0，解得﹣2＜x＜0，∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣2），（0，+∞），单调减区间为（﹣2，0）；（2）∵当x∈[﹣2，2]时，不等式f（x）＜m恒成立，∴m＞f（x）max，由（1）可知，f′（x）＝xexx2exexx（x+2），令f′（x）＝0，可得x＝﹣2或x＝0，∵f（﹣2），f（0）＝0，f（2）＝2e2，∴f（x）max＝2e2，∴m＞2e2，∴实数m的取值范围为m＞2e2．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数在闭区间上的最值，,考查了函数的恒成立问题，对于恒成立问题，一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法进行求解，本题采用了直接求最值的方法，属于中档题．18.已知函数.（1）当时，求经过点且与曲线相切的切线方程；（2）若存在实数，使得，则称为函数的不动点.已知函数有3个不动点，求的取值范围.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，设切点为，，利用导数的几何意义得到切线的斜率，即可得到方程，求出，从而求出切线方程；（2）依题意方程有个不同实数根，令，则函数有个零点，求出函数的导函数，分、两种情况讨论，结合函数的单调性，得到不等式组，解得即可.【小问1详解】当时，，则，设切点为，，所以切线斜率，解得，即，所以切线方程为，即为所求切线方程.【小问2详解】由题意得，方程有个不同实数根，令，则函数有3个零点，，当时，，在R上单调递增，所以只有1个零点，不符合题意：当时，令，得，则，随着的变化情况如下表，单调递增极大值单调递减极小值单调递增由函数有3个零点，根据上表可得，解得，综上可得，的取值范围.19.已知函数．（1）讨论函数的单调区间；（2）当时，证明：；（3）函数有两个零点、，求证：．【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求得，对实数的取值进行分类讨论，利用函数的单调性与导数的关系可得出函数的增区间和减区间；（2）当时，即证不等式，令，即证不等式，构造函数，利用导数求函数的最小值，即可证得结论成立；（3）设，由已知等式推导出，将所证不等式等价变形为，令，即证，令，其中，令导数分析函数的单调性，即可证得结论成立.【小问1详解】函数的定义域为，，当时，对任意的，，由可得，由可得，此时，函数的减区间为，增区间为；当时，由可得，由可得或，此时函数的减区间为，增区间为、；当时，对任意的，，此时函数的增区间为；当时，由可得，由可得或，此时，函数的减区间为，增区间为、.综上所述，当时，函数的减区间为，增区间为；当时，函数的减区间为，增区间为、；当时，的增区间为，无减区间；当时，函数的减区间为，增区间为、.【小问2详解】当时，，即证，令，即证，即证，因为，则函数在上单调递增，当时，；当时，，所以函数的值域为，令，其