2025届吉林省延边朝鲜族自治州一模数学试题

第PAGE"pagenumber"pagenumber页，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages页第PAGE"pagenumber"pagenumber页，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages页2025届吉林省延边朝鲜族自治州一模数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．若“”的充分不必要条件是“”，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．2．在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则的复数所对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．在中，，为中点，，则（

）A． B． C． D．4．已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．5．已知，则（

）A． B． C． D．6．在直三棱柱中，，，且，则该三棱柱的外接球的体积为（

）A． B． C． D．7．编号为，，，，的5种蔬菜种在如图所示的五块实验田里，每块只能种一种蔬菜，要求品种不能种在1，2试验田里，品种必须与品种在相邻的两块田里，则不同的种植方法种数为（

）A．24 B．30 C．36 D．548．如图是函数的大致图象，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．下列命题中正确的是（

）A．样本甲中有件样品，其方差为，样本乙中有件样品，其方差为，则由甲，乙组成的总体样本的方差为B．已知随机变量，则C．数据，，，，，，的第80百分位数是8D．已知随机变量，则10．设是上的奇函数，且对都有，当时，，则下列说法正确的是（

）A．的最大值是1，最小值是0 B．当时，C．点是函数的对称中心 D．在区间上是增函数11．过点的直线交抛物线于，两点，线段的中点为，抛物线的焦点为，下列说法正确的是（

）A．以为直径的圆过坐标原点 B．若，则C．若直线的斜率存在，则斜率为 D．三、填空题（本大题共3小题）12．已知，分别是椭圆的左、右焦点，是上一点，若的周长为10，则的离心率为.13．在中，角的对边分别为，，，且的周长为，则角为.14．若函数的图象上存在关于原点对称的点，则实数的取值范围是.四、解答题（本大题共5小题）15．已知数列的首项，且满足.(1)求，；(2)证明：数列为等比数列；(3)求数列的通项公式.16．如图，在四棱柱中，底面是矩形，，，，.

(1)证明：平面平面；(2)若三棱锥的体积为，求二面角的正弦值.17．某生物研究小组准备探究某地区棉花长绒分布规律，据统计该地区棉花有，个品种，且这两个品种的种植数量大致相等，记种棉花和种棉花的绒长（单位：）分别为随机变量，，其中服从正态分布，服从正态分布.(1)从该地区的棉花中随机采摘一朵，求这朵棉花的绒长在区间的概率；(2)记该地区棉花的绒长为随机变量，若用正态分布来近似描述的分布，请你根据（1）中的结果，求参数和的值（精确到0.1）；(3)在（2）的条件下，从该地区的棉花中随机采摘3朵，记这3朵棉花中绒长在区间的个数为，求的分布列及数学期望（分布列写出计算表达式即可）.参考数据：若，则，，.18．已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率.(1)求双曲线C的方程；(2)记双曲线C的右顶点为，过点作直线，与C的左支分别交于两点，且，为垂足.（i）证明：直线恒过定点，并求出点坐标；（ii）判断是否存在定点，使得为定值，若存在说明理由并求出点坐标.19．已知函数.(1)当时，求的极值；(2)若，求的值；(3)求证：.

参考答案1．【答案】B【详解】由＂＂的充分不必要条件是＂＂，得，但，所以．故选：B.2．【答案】D【详解】由题意得，则，其对应的点为，位于第四象限．故选：D3．【答案】A【详解】由题意可作图如下：则，，由为的中点，则，.故选：A.4．【答案】B【详解】因为正实数,满足，所以，则：，当且仅当时取等号，因为不等式恒成立，所以．故选：B．5．【答案】C【详解】由，可得，即，所以，故选：C6．【答案】D【详解】设外接圆半径为，圆心为，设外接球球心为，半径为，因为，，在中由正弦定理有，则，则有，所以，所以球的体积为：

，故选：D.7．【答案】B【详解】当A种在4号田时，B只能种在3号，其余三种蔬菜在三个位置全排列，共有种结果，当A种在5号田时，结果相同，也有6种；当A种在3号田时，B有3种结果，余下的三种蔬菜在三个位置全排列，有种结果；根据分类计数原理，共有种结果．故选：B．8．【答案】D【详解】由图可知，是的极小值点，由已知得，令，得，得，经验证符合题意，所以，由，，可得，解得.故选：D9．【答案】BCD【详解】对于A，记样本甲，乙的平均数分别为，由甲乙组成的总体样本的平均数为，则甲乙组成的总体样本的方差为，故A不正确；对于B，因为随机变量，所以，故B正确；对于C，因为，所以数据1，3，4，5，7，8，10的第80百分位数是8，故C正确；对于D，因为，所以，所以，故D正确；故选：BCD．10．【答案】BD【详解】因为是上的奇函数，所以，又对都有，所以的图象关于对称，因为，即，所以，所以是周期为4的周期函数，又当时，单调递增，所以在上单调递增，则在上单调递增，由的图象关于对称，得在上单调递增，所以在上的最大值是，最小值是，故A错误；当时，，则，故B正确；由对都有，得的图象关于对称，故C错误；由在上单调递增，且周期为4，则在区间上是增函数，故D正确；故选：BD11．【答案】ACD【详解】由题意可知直线斜率不为0，设，联立得，则，对于A选项，，因为，所以，所以以为直径的圆过坐标原点，A说法正确；对于B选项，若，则，由抛物线的定义可得，B说法错误；对于C选项，因为为线段中点，所以，若直线的斜率存在，则，直线的斜率，C说法正确；对于D选项，，D说法正确；故选：ACD.12．【答案】/【详解】由椭圆方程可得，得，因为是上一点，所以，因为的周长为10，所以，得，所以的离心率为.故答案为：13．【答案】【详解】由题意知，，由正弦定理得，，即，所以，由余弦定理得，，又，所以.故答案为：.14．【答案】【详解】当时，，有解，∴有正根，即，令，则，故当时，，当单调递增，，故在单调递减，单调递增，，∴.故答案为：.15．【答案】(1)，；(2)证明见解析；(3)【详解】（1），.（2）由得，且，所以数列是首项为2，公比为3的等比数列.（3）由（2）知数列是首项为2，公比为3的等比数列，所以，即:.16．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）因为四边形为矩形，所以，又，，，平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面；（2）因为，，，所以，因为，即，所以，即，由（1）可知，，，两两互相垂直，以为原点，以直线，，分别为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，，，，设平面的一个法向量，则，取，则，设平面的一个法向量，则，取，则，于是，故二面角的正弦值为.17．【答案】(1)；(2)，．(3)分布列见解析，期望为.【详解】（1）记这朵棉花的线长为．因为A种棉花和种棉花的个体数量大致相等，所以这朵棉花是A种还是种的可能性是相等的．所以．（2）由于两种棉花的个体数量相等，，的方差也相等，根据正态曲线的对称性，可知，由（1）可知得．（3）设棉花的绒长为，则，由题有，所以，因此的分布列为0123.18．【答案】(1)；(2)（i）证明见详解，；（ii）存在，，理由见详解.【详解】（1）由题意，双曲线的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为，可得解得，所以双曲线方程；（2）证明：（i）由（1）知，当直线斜率存在时，设直线方程为，联立方程组整理得，，即，设，由韦达定理可得因为，所以，可得，即，即，整理得，即，即，可得，解得，将代入直线，此时直线过定点，不合题意；将代入直线，此时直线过定点，当直线的斜率不存在时，不妨设直线方程为，因为，所以三角形为等腰直角三角形，此时点坐标为，所以（舍）或，此时过定点，综上可知，直线恒过定点；（ii）因为，此时存在以为斜边的直角三角形，所以存在定点为中点满足，此时.19．【答案】(1)在处取得极小值，无极大值；(2)；(3)证明见解析.【分析】（1）求导，根据函数的单调性可得最值；（2）分情况讨论函数的单调性与最值情况，可得参数值；（3）利用放缩法，由，可知若证，即证，再根据，可得证.【详解】（1）当时，，，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增