数学 第四册（五年制高职） 教案 第二章 立体几何

五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学（第四册）》教案课题17.1.1平面及其表示授课时间学习目标1．能够从日常生活实例中抽象出“平面”的概念，掌握平面的表示法及水平放置的直观图；2.能正确的用图形和符号描述空间点、线、面之间的关系．教学重点平面的概念及表示教学难点能正确的用图形和符号描述空间点、线、面之间的关系教学准备PPT教学过程教学内容一、问题探究二、抽象概括（一）平面的表示法（二）空间点、线、面之间的关系教师活动几何里所说的“平面”是从生活中的“平面”抽象出来的.平面是没有厚薄且可以向四周无限延展的.现实生活中的“平面”都是平面的局部形象.一、问题探究如何表示一个平面？一般地，用平行四边形表示平面，当平面水平放置时，平行四边形的一边画成水平的；当平面竖直放置时，平行四边形的一边画成竖直的.画图时通常把平行四边形的锐角画成45°，一边画成邻边的2倍长.二、抽象概括（一）平面的表示法平面一般用希腊字母α，β，γ等表示，上图中的平面可记作平面α；平面也可以用表示平面的平行四边形的顶点或对角顶点的字母来表示，图中的平面可记作平面ABCD或平面AC.（二）空间点、线、面之间的关系直线上有无数个点，平面内也有无数个点，直线和平面都可以看作是由满足一定条件的无数个点组成的集合，因此，可以借助集合符号来表示点与直线、点与平面、直线与直线以及直线与平面的位置关系。学生活动学生观察、思考、交流．思考、记忆教学过程教学内容教师活动学生活动三、例题讲析四、合作交流图形表示符号表示文字语言A点A在直线a上A点A不在直线a上A点A在平面α内A点A不在平面α内a直线a，b相交于点Aa直线a在平面α内a直线a不在平面α内三、例题讲析例1将下列文字语言转化为符号表示.（1）点A在平面α内，且不在平面β内；（2）直线l过平面β内的点M；（3）直线m在平面α内，直线n在平面α外，直线m，n相交于点O．四、合作交流直线l与平面α相交于点A，用符号怎么表示？掌握文字语言与符号语言的互化利用点、线、面之间的关系，熟悉符号表达教学过程教学内容教师活动学生活动五、课内练习六、课堂小结五、课内练习1.判断下列说法是否正确.（1）平面的形状是平行四边形；（2）可以画一个长4cm、宽2cm的平面；（3）平面没有大小，也没有厚薄．2.将下列文字语言转化为符号表示，并画出相应的图形.（1）直线a在平面α内，点C在平面α内，点C不在直线a上；（2）点O在平面α外，直线b在平面α外，点O在直线b上；（3）直线l经过A、B两点，点B在平面α内，点A不在平面α六、课堂小结1平面的概念2点、线、面的基本位置关系，文字、符号、图形语言之间的转化.完成练习师生共同归纳课后作业教后记教案课题17.1.2平面的基本性质（一）授课时间学习目标1.识记公理一、三,并能运用它解决简单的点、线共面问题；2.识记公理二，并能运用它找出两个平面的交线；3.培养学生的想象能力和空间抽象能力．教学重点平面基本性质的掌握与运用教学难点平面基本性质的掌握与运用教学准备PPT教学过程教学内容一、问题探究二、抽象概括公理1教师活动在日常生活中经常会看到这样的现象：在不太平整的地面上，照相机的三脚架能够稳定地摆放，而四条腿的桌子却不容易放稳；工人师傅常用角尺来检查一个工件的表面是否平整；一扇门的几个铰链一定在一条直线上……这些现象的背后蕴含着哪些基本原理？一、问题探究借助三角板和平整的桌面动手实验，观察并思考：（1）把三角板的一个顶点放在桌面上时，三角板和桌面有公共点，三角板所在的平面与桌面所在平面有多少个公共点？这些公共点有怎样的位置关系？（2）把三角板的两个顶点放在桌面上时，可以发现这条边就紧贴在桌面上，这说明什么？（3）把三角板的三个顶点都放在桌面上时，可以发现整个三角板都紧贴在桌面上，这又说明什么？二、抽象概括公理1如果一条直线上有两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．若A∈α，B∈α，则如果直线l上所有的点都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l，记作l⊂α，否则就说直线l在平面α外，记作学生活动学生观察、思考、交流．思考、记忆教学过程教学内容教师活动学生活动公理2公理3三、例题讲析公理2如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过该点的公共直线．若两个平面只有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共直线称为这两个平面的交线．平面α,β相交于直线l，可以记作α∩β=l．若A∈α，A∈β，则存在唯一的直线l，使得A∈l且α∩β=l．公理3经过不在同一条直线上的三点，有且仅有一个平面．公理3也可以简单说成“不共线的三点确定一个平面”.由不共线的三点A,B,C确定的平面也可记作平面ABC.三、例题讲析例2判断下列说法是否正确.（1）因为直线可以向两端无限延长，所以它有可能超出其所在的平面；（2）两个平面相交，可以有两条不同的交线；（3）不重合的三点可以确定一个平面.例3如图，ABCD-（1）点A,（2）点B,（3）平面ABCD与平面BCC1B掌握图形语言、文字语言和符号语言的互化教学过程教学内容教师活动学生活动四、合作交流五、课内练习六、课堂小结四、合作交流常见的自行车的撑脚有哪几种设计？为什么要这样设计？五、课内练习1.如图，ABCD-A（第1题）（1）平面AB1与平面（2）过点B,D,2.如图，三条直线两两相交于A，B（第2题）六、课堂小结1识记平面的基本性质的3个公理掌握确定平面的方法，完成练习回忆、归纳和总结课后作业教后记教案课题17.1.3平面的基本性质（二）授课时间学习目标1.能分析得出并识记平面的三个推论；2.体会直线是构成平面图形的基本要素；3.感悟数学源于生活，增强学习兴趣，培养学生的想象能力和空间抽象能力．教学重点平面基本性质的掌握与运用教学难点平面基本性质的掌握与运用教学准备PPT教学过程教学内容一、问题探究二、抽象概括三、例题讲析四、思维拓展教师活动一、问题探究不共线的三点可以确定一个平面，那么：（1）直线和直线外一点可以确定一个平面吗？（2）两条相交直线可以确定一个平面吗？（3）两条平行直线可以确定一个平面吗？二、抽象概括推论1直线和直线外一点可以确定一个平面．推论2两条相交直线可以确定一个平面．推论3两条平行直线可以确定一个平面．三、例题讲析例4如图，已知a//b，c∩a=四、思维拓展如图，用两条细绳检验小方凳四条腿的底端是否在同一平面内，可以怎么做？学生活动观察分析，思考问题思考、记忆结合实际问题数形结合，提升直观想象的核心素养思考交流教学过程教学内容教师活动学生活动五、课内练习六、课堂小结五、课内练习1.判断下列说法是否正确，并说明理由．（1）一点和一条直线可以确定一个平面；（2）如果三条直线两两相交，那么它们在同一个平面内;（3）如果两条直线分别与两条平行直线都相交，那么这两条直线在同一个平面内.2.一扇门可以自由转动，如果锁住了，门就固定了，这里涉及什么原理？3.看图填空：（第3题）（1）l∩m=，l∩n=（2）直线l与直线m确定的平面为，点A与直线n确定的平面为.六、课堂小结1识记平面的基本性质的3个推论并应用根据推论，完成练习回忆、归纳和总结课后作业教后记教案课题17.2.1平行直线授课时间学习目标1.认识空间中直线平行关系的传递性，了解等角定理；2.能判断空间两条直线平行；3.培养学生的直观想象能力和空间抽象能力．教学重点空间两直线平行关系的判定与证明教学难点空间两直线平行关系的判定与证明教学准备PPT教学过程教学内容一、问题探究二、抽象概括三、例题讲析教师活动平面内平行于同一直线的两条直线互相平行，那么空间中平行于同一条直线的两条直线是否平行呢？一、问题探究如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知二、抽象概括公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行.如图，若a//b，b//c三、例题讲析例1如图，已知ABCD-A1B1C1学生活动熟记公理的图形语言、文字语言和符号语言运用公理4，思考交流，完成例题教学过程教学内容教师活动学生活动四、合作交流等角定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．如图，若AB//A1B1，AC//A例2如图，AA'，BB'，CC'不共面，AA'//B四、合作交流一个角的两边和另一个角的两边分别平行，这两个角一定相等吗？请结合图17-17回答下列问题：图17-17（1）已知角α的两边和角β的两边分别平行，并且方向相反，角α和角β有怎样的关系？（2）已知角α的两边和角γ的两边分别平行，并且一组边的方向相同，另一组边的方向相反，角α和角γ有怎样的关系？识记结论运用公理，完成具体问题思考交流教学过程教学内容教师活动学生活动五、课内练习六、课堂小结五、课内练习1.如图，把一张长方形纸片对折两次后打开，这些折痕所在的直线是否平行？为什么？（第1题）2.在正方体ABCD-A1A.１条B.２条C.３条D.４条3.如果OA//O1A1,OBA.相等B.互补C.相等或互补D.互余4.如图，已知点E,F,G,H分别是空间四边形ABCD（空间四边形是指四个顶点不在同一个平面内的四边形）四条边AB,BC,CD,DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形．（第4题）六、课堂小结1识记公理4和等角定理培养空间想象力，完成练习巩固知识点，回忆、归纳和总结课后作业教后记教案课题17.2.2异面直线授课时间学习目标1.认识空间直线的位置关系、异面直线的概念；2.会判断空间两条直线的位置关系；3.培养学生的直观想象能力和空间抽象能力．教学重点空间两条直线的位置关系及异面直线的概念教学难点异面直线的判定教学准备PPT教学过程教学内容一、问题探究二、抽象概括（一）异面直线的概念（二）空间两条直线的位置关系教师活动平面内两条直线有平行、相交和重合三种位置关系.在立体几何中，我们所说的两条直线是指不重合的两条直线，那么，空间两条直线又有哪几种位置关系呢？一、问题探究如图，ABCD-（1）直线A1B1（2）直线BD1与矩形ABCD二、抽象概括（一）异面直线的概念异面直线：一般地，不同在任何一个平面内的两条直线称为异面直线．画异面直线时，为了显示它们不共面的特点，通常用一个或者两个平面来衬托。（二）空间两条直线的位置关系1.相交直线----有且仅有一个公共点，两直线在同一个平面内；平行直线----没有公共点，两直线在同一个平面内；异面直线----没有公共点，两直线不同在任何一个平面内.2.共面直线：两条相交或平行的直线又称为共面直线.学生活动借助长方体，体会异面直线的特征识记异面直线的概念，规范异面直线的画法了解空间两直线的位置关系教学过程教学内容教师活动学生活动三、例题讲析（三）异面直线的判定定理四、合作交流三、例题讲析例3如图，ABCD-（1）与直线DD（2）与直线AC成异面直线的棱有哪些？

（三）异面直线的判定定理平面外一点和平面内一点的连线与平面内不过该点的直线是异面直线.例4如图，ABCD-A1B1C1D1为长方体，试判断直线BD1与四、合作交流如果两个相交平面内各有一条直线与交线相交，那么这两条直线有怎样的位置关系？思考分析，灵活应用异面直线相关概念解题锻炼学生逻辑思维，提升逻辑推理核心素养思考交流教学过程教学内容教师活动学生活动五、课内练习六、课堂小结五、课内练习1．判断下列说法是否正确，并说明理由.（1）过直线外一点有无数条直线与已知直线异面；（2）过平面内一点和平面外一点的直线，与平面内所有的直线异面；（3）两条异面直线不可能平行于同一条直线.2．在两个相交平面内各画一条直线，使它们成为：（1）平行直线；（2）相交直线；（3）异面直线.3．若一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线的位置关系是（）.A．平行B．相交C．异面D．相交或异面4.如图，在长方体ABCD-A1B1C（第4题）六、课堂小结1异面直线的概念完成练习巩固知识点，回忆、归纳和总结课后作业教后记教案课题17.2.3异面直线所成的角授课时间学习目标1.知道异面直线所成角定义;2.会求正方体中的异面直线所成的角;3.培养将空间问题转化为平面问题解决的思想方法.教学重点异面直线所成的角定义教学难点会求正方体中的异面直线所成的角教学准备PPT教学过程教学内容一、问题探究二、抽象概括（一）异面直线所成的角（二）异面直线垂直教师活动平面内研究两条相交直线的相对位置关系时用到了“角”的概念，那么，两条异面直线的相对位置关系之间也存在“角”的因素吗？一、问题探究如图，正方体ABCD-A1B1C1D二、抽象概括（一）异面直线所成的角一般地，对于两条异面直线m与n[如图（1）]，经过空间任意一点O作直线m'//m，n'//n,则直线m'和n'所成的锐角或直角称为异面直线m，n（1）（2）（3）（二）异面直线垂直若两条异面直线m和n所成的角为直角，则称这两条异面直线互相垂直，记作m⊥学生活动思考，交流，讨论理解异面直线所成角的定义，归纳出结论教学过程教学内容教师活动学生活动三、例题讲析四、合作交流五、课内练习六、课堂小结三、例题讲析例5如图，ABCD-A（1）DD1与（2）BC1与（3）BC1与四、合作交流两条异面直线所成角θ的取值范围是什么？五、课内练习1.判断下列说法是否正确，并说明理由.（1）如果两条直线互相垂直，那么它们一定相交；（2）两条异面直线所成的角可以是钝角.2.如图，ABCD-（第2题）（1）求异面直线AD1与（2）求证：AB⊥六、课堂小结1异面直线所成角的定义2会求正方体中的异面直线所成的角理解异面直线所成角概念，进一步认识正方体结构特征完成练习巩固知识点，回忆、归纳和总结课后作业教后记教案课题17.3.1直线与平面平行的判定授课时间学习目标通过实例，理解空间中直线与平面的位置关系，理解直线与平面平行;通过观察、实践研究、思考交流，归纳出直线与平面平行的判定定理；通过整体观察、直观感知、思辨论证、度量计算，完善思维结构、发展空间想象能力。通过本节课的学习，提升直观想象、逻辑推理、数学运算和数学精神等核心素养。教学重点直线与平面的位置关系，直线与平面平行的判定定理教学难点直线与平面平行的判定定理的理解教学准备PPT教学过程教学内容教师活动学生活动一、问题探究二、抽象概括三、例题讲析四、思维拓展五、课内练习六、课堂小结通过前面的学习已经知道，空间两条直线有平行、相交、异面三种位置关系，那么，直线和平面有哪几种位置关系呢？一、问题探究当门关闭时，门的四条边所在的直线都在门框所在的平面内.当门打开时，门的四条边所在的直线与门框所在的平面有什么样的位置关系？通过观察可知，当门打开时，门的四条边所在的直线有的在门框所在的平面内，有的与这个平面相交，还有的既不在这个平面内也不与这个平面相交.由公理1可知，若直线在平面内，则直线上的所有点都在平面内.此时直线与平面有无数个公共点，如图17-25（1）.一般地，若直线和平面有且仅有一个公共点，则称直线与平面相交.如图17-25（2），直线与平面相交于点A，可记作＝A.若直线和平面没有公共点，则称直线与平面平行，记作a//α，如图17-25（3）.（1）（2）（3）图17-25二、抽象概括因此，一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种：（1）直线在平面内——有无数个公共点；（2）直线与平面相交——有且仅有一个公共点；（3）直线与平面平行——没有公共点.直线与平面相交或平行统称为直线在平面外.如图17-26，将长方形卡纸ABCD沿对称轴EF对折，固定平面ABFE，通过观察可以发现，当卡纸的一边CD绕EF旋转时，直线CD与直线AB平行或重合；当直线CD不在平面ABFE内时，直线CD与平面ABFE平行.图17-26直线与平面平行的判定定理如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线就和这个平面平行.如图17-27，若aα，bα，a//图17-27三、例题讲析例1如图17-28，空间四边形中，E,F分别是AB,AD的中点，求证：．图17-28例2如图17-29，正方体六个面所在的平面中，直线与哪些平面平行？直线与哪些平面平行？直线AC与哪些平面平行？图17-29四、思维拓展有几种方法可以判断一条直线与一个平面平行？分别需要满足哪些条件？五、课内练习1.判断下列说法是否正确，并说明理由.（1）如果一条直线不在某个平面内，那么这条直线与这个平面平行.（2）过平面外一点，可以作无数条直线与这个平面平行.（3）如果两条平行直线中有一条直线平行于一个平面，那么另一条直线也与这个平面平行.（4）如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行.2.如图，长方体六个面所在的平面中，与直线CD平行的平面有，与直线平行的平面有，与直线A1D平行的平面有.（第2题）3.如图，平面与的两边分别交于两点,且,求证：.（第3题）六、课堂小结1.空间中直线与平面的位置关系2.直线与平面平行的判定认真思考，尝试回答从具体到抽象，从特殊到一般尝试用自己的语言进行总结感受，理解数学符号语言的重要性独立思考，尝试完成。思考，尝试解决独立完成尝试利用所学进行证明讨论、交流、记忆课后作业完成《学习指导》AB组教后记教案课题17.3.2直线与平面平行的性质授课时间学习目标通过观察、实践研究、思考交流，归纳出直线与平面平行的性质；通过整体观察、直观感知、思辨论证、度量计算，完善思维结构、发展空间想象能力。通过本节课的学习，提升直观想象、逻辑推理、数学运算和数学精神等核心素养。教学重点直线与平面平行的性质教学难点直线与平面平行的性质的理解教学准备PPT教学过程教学内容教师活动学生活动一、问题探究二、抽象概括三、例题讲析四、合作交流五、课内练习六、课堂小结若一条直线和一个平面平行，则它和这个平面没有公共点，平面内的任意一条直线和这条直线的位置关系就是平行或者异面.如何在平面内找到与这条直线平行的直线呢？一、问题探究木工师傅处理如图17-30所示的一块木料，他打算经过点和,将木料锯开，已知，他应该怎样画线确定截面呢？图17-30如图17-31所示，假定木工师傅是这样画线确定截面的，那么直线EF和直线BC之间有怎样的关系？因为，直线EF在平面A'B'C图17-31二、抽象概括直线与平面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，且经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．如图17-32，若，，β∩α＝b，则.图17-32例题讲析例3如图17-33，直线平面，经过的两个平面和分别和平面交于直线.求证：．图17-33四、合作交流已知直线和平面平行，问：平面内有多少条直线和直线平行？这些直线之间的位置关系是怎样的？五、课内练习1．直线，，过点平行于的直线(

).A．只有一条，且不在平面内

B．有无数条，但不一定在内C．只有一条，且在平面内

D．有无数条，且都在内2．若，，则直线与平面的位置关系是．3．如图,已知，,且，求证：（第3题）六、课堂小结1.空间中直线与平面的位置关系2.直线与平面平行的性质认真思考，尝试回答从具体到抽象，从特殊到一般尝试用自己的语言进行抽象概括感受，理解数学符号语言的重要性独立思考，尝试完成。小组合作交流思考，尝试解决独立完成讨论、交流、记忆课后作业完成《学习指导》AB组教后记教案课题17.3.3直线与平面垂直的判定和性质授课时间学习目标通过观察、实践研究、思考交流，归纳出直线与平面垂直的判定与性质；通过整体观察、直观感知、思辨论证、度量计算，完善思维结构、发展空间想象能力。通过本节课的学习，提升直观想象、逻辑推理、数学运算和数学精神等核心素养。教学重点直线与平面垂直的判定与性质教学难点直线与平面垂直的判定与性质的理解教学准备PPT教学过程教学内容教师活动学生活动一、问题探究二、抽象概括①三、例题讲析①四、合作交流抽象概括②六、例题讲析②七、思维拓展八、课内练习九、课堂小结当直线与平面相交时，直线与平面垂直的情形随处可见，那么如何判断直线与平面是否垂直呢？一、问题探究如图17-34，将书打开直立在桌面上，书脊和各页与桌面的交线有什么样的位置关系？和桌面又有怎样的位置关系？图17-34通过观察可以发现，书脊和各页与桌面的交线都垂直，和桌面也垂直，且和桌面内的任意一条直线都垂直.一般地,若直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则称直线l与平面α垂直，记作l⊥α.直线l称为平面α的垂线，平面α称为直线l的垂面，它们的唯一公共点P称为垂足.画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直.如图17-35，，垂足为.图17-35二、抽象概括一般情况下直接使用直线与平面垂直的定义去判定一条直线与一个平面垂直是比较困难的，通常需要用到如下判定定理.直线和平面垂直的判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直.如图17-36，若，则.图17-36三、例题讲析①例4如图17-37，为正方体.（1）试判断与的位置关系.（2）与垂直吗？为什么？（3）求证：.图17-37四、合作交流如图17-38，长方体中，棱所在的直线与平面有怎样的位置关系？这四条棱所在的直线之间又有怎样的位置关系？五、抽象概括②图17-38直线与平面垂直的性质定理如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线互相平行.如图17-39，若则.图17-39六、例题讲析②例5如图17-40，已知直线l和平面α平行，过直线l上任意两点A,B，分别引平面α的垂线AA1，BB1，垂足分别为求证：AA图17-40七、思维拓展如图17-41，旗杆高8m，它的顶端处挂有一条10m长的绳子，拉紧绳子并把它的下端分别放在地面上的两点（点B、C、D不在同一直线上）.若这两点到底端点的距离均为6m，则旗杆和地面有怎样的位置关系？图17-41八、课内练习1．如图，若，平面，则在和的边所在的直线中，与垂直的直线有，与垂直的直线有.（第1题）2.如图，已知平面垂足是，垂足是，试判断：（1）直线与的位置关系；（2）直线与平面的位置关系.（第2题）九、课堂小结1.空间中直线与平面的位置关系2.直线与平面垂直的判定与性质认真思考，尝试回答从具体到抽象，从特殊到一般尝试用自己的语言进行抽象概括感受，理解数学符号语言的重要性合作交流从具体到抽象，从特殊到一般独立思考，尝试完成。小组合作交流思考，尝试解决独立完成讨论、交流、记忆课后作业完成《学习指导》AB组教后记教案课题17.3.4直线与平面所成的角授课时间学习目标通过观察、实践研究、思考交流，归纳出直线与平面所成的角的求解方法。通过整体观察、直观感知、思辨论证、度量计算，完善思维结构、发展空间想象能力。通过本节课的学习，提升直观想象、逻辑推理、数学运算和数学精神等核心素养。教学重点直线与平面所成的角的求解方法教学难点直线与平面所成的角的理解教学准备PPT教学过程教学内容教师活动学生活动一、问题探究二、抽象概括三、例题讲析四、合作交流五、思维拓展六、课内练习九、课堂小结我国是一个有着悠久造桥历史的国家，也是一个拥有世界顶级造桥技术的国家.现在外出旅游到处可见各式各样美轮美奂的斜拉桥，每座斜拉桥都有很多根斜拉索，这些斜拉索相对于桥面的倾斜程度明显不同，那么，如何表示这些不同的倾斜程度呢？直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情形，如果一条直线与一个平面相交且不垂直，那么就称这条直线为这个平面的斜线.一、问题探究如图17-42，在长方体中，直线BA1，BD1是平面ABCD的两条斜线，如何表示它们相对于图17-42通过变换角度观察图形可以发现，斜线BA1在平面ABCD内的正投影为直线BA,用BA1和BA的夹角来表示斜线BA1相对于平面ABCD的倾斜程度是合理的（这个角是斜线BA1与平面ABCD内所有过点B的直线的夹角中最小的角）.同样的，斜线BD1在平面ABCD内的正投影为直线BD,用BD图17-43斜线与平面的交点称为斜足.过斜线上一点（除斜足外）向平面引垂线，过垂足与斜足的直线称为斜线在这个平面内的射影（正投影）.如图17-44，直线为平面的斜线，点为斜足，直线为平面的垂线，点为垂足，直线就是斜线在平面内的射影.线段的长称为点P到平面α的距离.图17-44二、抽象概括一般地，平面的一条斜线与它在平面内的射影所成的锐角，称为这条斜线与这个平面所成的角.特别地，若一条直线与一个平面垂直，则称它们所成的角是直角；若一条直线与一个平面平行或在这个平面内，则称它们所成的角是.因此，直线与平面所成的角的取值范围是0°≤θ≤容易证明，如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线上的任意一点到这个平面的距离为定值，这个定值称为这条直线到这个平面的距离.如图17-43，长方体中，棱AA1(或BB1)的长即为直线三、例题讲析例5如图17-45,在棱长为1的正方体中，求：（1）直线与底面所成角的大小；（2）直线到平面ADD1图17-45四、合作交流从平面外一点向平面引若干斜线段（指以该点和斜足为短线的线段），如果斜线段的长相等，那么它们在平面内的射影长相等吗？五、思维拓展虎丘塔，又称云岩寺塔，是驰名中外的宋代古塔，建于公元959—961年，比意大利著名的比萨斜塔早建200多年，被尊称为“中国第一斜塔”.该塔为仿楼阁式砖木结构，共七层，高47.5m.从明代起，虎丘塔开始向西北倾斜，现塔顶中心偏离底层中心2.34m，求该塔与地面所成角的大小（精确到0.1°）.六、课内练习1.如果两条直线与同一个平面所成的角相等，那么这两条直线一定平行吗？2.已知斜线段的长是它在平面上射影长的倍，求斜线段所在直线与该平面所成的角.3.如图，长方体中，BC＝2，CC1（1）直线与平面所成角的大小；（2）直线到平面CDD1C(第3题)九、课堂小结1.空间中直线与平面的位置关系2.直线与平面垂直的判定与性质认真思考，尝试回答从具体到抽象，从特殊到一般尝试用自己的语言进行抽象概括感受，理解数学符号语言的重要性尝试解答小组合作交流，共同探究思考，尝试解决独立思考，尝试完成。讨论、交流、记忆课后作业完成《学习指导》AB组教后记教案课题17.4.1平面与平面平行的判定授课时间学习目标通过观察、实践研究、思考交流，归纳出平面与平面平行的判定方法。通过整体观察、直观感知、思辨论证、度量计算，完善思维结构、发展空间想象能力。通过本节课的学习，提升直观想象、逻辑推理、数学运算和数学精神等核心素养。教学重点平面与平面平行的判定方法教学难点平面与平面平行的判定的理解教学准备PPT教学过程教学内容教师活动学生活动一、问题探究二、抽象概括三、例题讲析四、课内练习五、课堂小结前面研究了直线与直线、直线与平面的位置关系，那么两个平面有哪几种位置关系呢？在立体几何中，我们所说的两个平面是指不重合的两个平面.一、问题探究如图17-47，观察长方体ABCD−A平面AC与平面A1平面AC与长方体的四个侧面有没有公共点？长方体的六个面相互之间有怎样的位置关系？图17-47观察长方体ABCD−A1B1C1D1，它的二、抽象概括一般地，若两个平面α，β没有公共点，则称平面α，β互相平行，记作α∕∕β（如图17-48）.若两个平面α，β有一个公共点，则称平面α，β相交于过该点的公共直线a，记作α∩β=a（如图17-49）.图17-48图17-49因此，两个平面的位置关系有且只有两种：（1）两平面平行———没有公共点；（2）两平面相交———有一条公共直线（无数个公共点）.两个平面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行.如图17-50，若a⊂α，b⊂α，a∩b=A，且a∕∕β，b∕∕β，则α∕∕β.图17-50三、例题讲析例1如图17-51，已知两个全等的正方形ABCD，ABEF不在同一个平面内，求证：平面ADF//平面BCE.图17-51推论如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行.四、课内练习1.如图，长方体六个面所在的平面中，与平面ABCD平行的平面有，与平面AA1D1D平行的有，与平面CDD（第1题）2.下列命题中正确的是（）.A.如果一个平面内有一条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行B.如果一个平面内有两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行C.如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行D.如果一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行3.若一个平面内有不同的三点到另一个平面的距离相等,则这两个平面的位置关系是（).A.平行B.相交C.平行或相交D.无法判断4.三棱锥V-ABC中,D,E,F分别是棱VA,VB,VC的中点,求证:平面DEF//平面ABC.五、课堂小结1.空间中平面与平面的位置关系2.平面与平面平行的判定认真思考，尝试回答从具体到抽象，从特殊到一般尝试用自己的语言进行抽象概括感受，理解数学符号语言的重要性尝试解答讨论、交流、记忆课后作业完成《学习指导》AB组教后记教案课题17.4.2平面与平面平行的性质授课时间学习目标通过观察、实践研究、思考交流，归纳出平面与平面平行的性质。通过整体观察、直观感知、思辨论证、度量计算，完善思维结构、发展空间想象能力。通过本节课的学习，提升直观想象、逻辑推理、数学运算和数学精神等核心素养。教学重点平面与平面平行的性质教学难点平面与平面平行的性质的理解教学准备PPT教学过程教学内容教师活动学生活动一、问题探究二、抽象概括三、例题讲析四、合作交流五、课内练习六、课堂小结由两个平面平行的定义可知，两个平行平面没有公共点.除此之外，平行平面还有什么性质？一、问题探究图17-51中，平面ADF∕∕平面BCE且CD//EF，直线DF与因为CD//EF，所以CD与EF在同一平面CDFE内.因为平面ADF∕∕平面BCE，而DF与图17-51二、抽象概括两个平面平行的性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.如图17-52，若α∕∕β，γ⋂α=a，γ⋂图17-52三、例题讲析例2求证：夹在两个平行平面间的两条平行线段的长相等.已知：如图17-53，α∕∕β，点A，D在平面α内，点B，C在平面β内，且AB∕∕CD.求证：AB=CD.图17-53如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离为定值.这个定值称为这两个平行平面间的距离.四、合作交流如果一条直线与两个平行平面中的一个平面垂直，那么它与另一个平面也垂直吗？五、课内练习1.已知平面平面,直线⊂,求证:.2.如图,已知,,求证:(1);(2).六、课堂小结1.空间中平面与平面的位置关系2.平面与平面平行的性质认真思考，尝试回答从具体到抽象，从特殊到一般试用自己的语言进行抽象概括合作交流尝试解答讨论、交流、记忆课后作业完成《学习指导》AB组教后记教案课题17.4.3二面角授课时间学习目标通过观察、实践研究、思考交流，归纳出二面角的概念，并会求其大小。通过整体观察、直观感知、思辨论证、度量计算，完善思维结构、发展空间想象能力。通过本节课的学习，提升直观想象、逻辑推理、数学运算和数学精神等核心素养。教学重点二面角的概念及求解教学难点二面角的概念及求解的熟练掌握教学准备PPT教学过程教学内容教师活动学生活动一、问题探究二、抽象概括三、例题讲析四、合作交流五、课内练习六、课堂小结使用笔记本电脑时,需将折叠在一起的显示屏和键盘（所在平面）打开成一定角度，而且不同的使用者打开的角度也不尽相同.如何表示这个角度呢?一、问题探究如图17-54（1），长方体ABCD−A1B1C1D1中，平面AB1//平面（1）（2）图17-54平面内的任意一条直线可以把这个平面分成两部分，其中的每一部分都可以看作是从这条直线出发的半平面.通过观察可以发现，图17-54（1）中的平面A1BCD1和平面AC可以看作是由直线BC出发的两个半平面，这两个半平面在与直线BC垂直的平面DC图17-54（1）长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB⊥BC，A1B⊥BC，∠ABA1的大小与图17-5二、抽象概括一般地，由一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个半平面都称为二面角的面.图17-55是棱为AB、两个半平面分别为α,β的二面角,记作二面角α−AB−β,也可记作二面角M−AB−N.如图17-56，以二面角α−l−β的棱l上的任意一点Ο为端点，在二面角的两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线OA和OB，则这两条射线所成的角∠AOB称为二面角α−l−β的平面角.图17-55图17-56二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度.规定：二面角θ的取值范围是0°平面角是直角的二面角称为直二面角，直二面角的两个半平面互相垂直.三、例题讲析例3如图17-57，ABCD−A（1）求二面角D1（2）求二面角A1图17-57四、合作交流如何在正方体中绘制一个平面角为60°课内练习1．画出下面各图中二面角的平面角，并用字母表示.（第1题）2.如图，为正方体，求二面角的大小.（第2题）六、课堂小结1.空间中平面与平面的位置关系2.二面角的概念及其求解认真思考，尝试回答从具体到抽象，从特殊到一般试用自己的语言进行抽象概括尝试解答讨论、交流、记忆独立自主完成讨论，感受课后作业完成《学习指导》AB组教后记 教案课题17.4.4平面与平面垂直的判定和性质授课时间学习目标通过观察、实践研究、思考交流，归纳出平面与平面垂直的判定和性质。通过整体观察、直观感知、思辨论证、度量计算，完善思维结构、发展空间想象能力。通过本节课的学习，提升直观想象、逻辑推理、数学运算和数学精神等核心素养。教学重点平面与平面垂直的判定和性质教学难点平面与平面垂直的判定和性质的熟练掌握教学准备PPT教学过程教学内容教师活动学生活动一、问题探究二、抽象概括三、例题讲析四、思维拓展五、课内练习六、课堂小结如果两个平面所成的二面角是直角，那么这两个平面互相垂直.是否还能用其他方法来判断两个平面是否垂直呢？一、问题探究如图17-58,教室的门在打开过程中,门所在平面与地面有怎样的位置关系?图17-58通过观察可以发现，教室的门在打开的过程中，之所以能保持与地面垂直，是因为门的旋转轴与地面垂直，而且这条旋转轴始终与门在同一个平面内.二、抽象概括平面与平面垂直的判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.如图17-59，若l⊥α，l⊂β，则β⊥α.图17-59画两个互相垂直的平面时,通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直（如图17-60）.图17-60三、例题讲析例4如图17-61，已知为正方体，求证：平面BDD1B1图17-61平面与平面垂直的性质定理如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.如图17-63，若α⊥β，α∩β=l，AB⊂β且AB⊥l，则AB⊥α.图17-63例5如图17-64，平面α⊥β，α∩β=AB，AC⊂α且AC⊥AB，BD⊂β且BD⊥AB，AC=5，AB=3，BD=4，求CD的长.图17-64四、思维拓展如图17-65,建筑工人在砌墙时,通常用一端系有铅锤的线来检查所砌的墙是否和水平面垂直.建筑工人这样做的依据是什么？图17-65五、课内练习1.判断下列说法是否正确，并说明理由.（1）过平面外一点只可作一个平面与已知平面垂直；（2）过平面外一条直线可以作无数个平面与已知平面垂直；（3）若两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面.2.如图，为正方体，求证：平面平面.（第2题）3.如图，平行四边形中，AB=3，AD=6，，沿对角线将它折成直二面角B−AC−D，求折后两个顶点B，D间的距离.(第3题)六、课堂小结1.空间中平面与平面的位置关系2.平面与平面垂直的判定和性质认真思考，尝试回答从具体到抽象，从特殊到一般尝试用自己的语言进行抽象概括尝试解答独立自主完成独立完成讨论、交流、记忆课后作业完成《学习指导》AB组教后记教案课题第17章立体几何复习课授课时间学习目标全面梳理本章知识点，巩固平面的概念与性质，空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系；2.培养运用所学知识分析和解决问题的能力；3.培养和提升学生的直观想象、逻辑推理、数学运算和数学精神等核心素养教学重点知识点梳理，形成本章的知识整体性教学难点综合运用教学准备PPT教学过程教学内容一、知识框图二、内容要点1．平面的基本性质教师活动一、知识框图二、内容要点1.平面的基本性质（1）平面及其表示几何里所说的平面是从生活中的平面抽象出来的．平面是没有厚薄且可以向四周无限延展的．平面一般用希腊字母QUOTEα,β,γα,β,γ等表示，也可以用表示平面的平行四边形的顶点或对角顶点的字母来表示.学生活动回顾本章知识点，尝试用知识框图呈现梳理内容要点，理解概念、熟记知识点教学过程教学内容教师活动学生活动2.直线与直线的位置关系3.直线与平面的位置关系（2）平面的基本性质公理1如果一条直线上有两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．公理2如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过该点的公共直线．公理3经过不在同一条直线上的三点，有且仅有一个平面．推论1直线和直线外一点可以确定一个平面．推论2两条相交直线可以确定一个平面．推论3两条平行直线可以确定一个平面．2.直线与直线的位置关系平行直线公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行.等角定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．（2）异面直线一般地，不同在任何一个平面内的两条直线称为异面直线．空间两条直线的位置关系有相交、平行、异面三种.表17-2位置关系公共点个数共面情况相交直线有且仅有一个公共点在同一个平面内平行直线没有公共点在同一个平面内异面直线没有公共点不同在任何一个平面内异面直线的判定定理平面外一点和平面内一点的连线与平面内不过该点的直线是异面直线.（3）异面直线所成的角一般地，经过空间任意一点分别作两条异面直线的平行线，得到的两条相交直线所成的锐角或直角，称为这两条异面直线所成的角．若两条异面直线所成的角为直角，则称这两条异面直线互相垂直.3.直线与平面的位置关系（1）直线与平面平行的判定一般地，若一条直线与一个平面没有公共点，则称这条直线和这个平面平行.一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种：=1\*GB3①直线在平面内——有无数个公共点；=2\*GB3②直线与平面相交——有且仅有一个公共点；=3\*GB3③直线与平面平行——没有公共点.梳理内容要点，理解概念、熟记知识点教学过程教学内容教师活动学生活动4.平面与平面的位置关系直线与平面平行的判定定理如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线就和这个平面平行.（2）直线与平面平行的性质直线与平面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，且经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．（3）直线与平面垂直的判定和性质一般地,若一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，则称这条直线和这个平面垂直.直线与平面垂直的判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直.直线与平面垂直的性质定理如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线互相平行.（4）直线与平面所成的角一般地，平面的一条斜线与它在平面内的射影所成的锐角，称为这条斜线与这个平面所成的角.直线与平面所成的角的取值范围是QUOTE0°≤θ≤90°0°4.平面与平面的位置关系（1）逻辑式：由常量1，0以及逻辑变量经逻辑运算构成的式子称为逻辑代数式，简称逻辑式.逻辑变量只能取0或（1）平面与平面平行的判定一般地，若两个平面没有公共点，则称这两个平面互相平行.两个平面的位置关系有且只有两种：=1\*GB3①两平面平行———没有公共点；=2\*GB3②两平面相交———有一条公共直线（无数个公共点）.平面与平面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行.推论如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行.（2）平面与平面平行的性质平面与平面平行的性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离，称为这两个平行平面间的距离.（3）二面角一般地，由一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个半平面都称为二面角的面.二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说梳理内容要点，理解概念、熟记知识点教学过程教学内容教师活动学生活动三、习题精练一、判断题二、选择题这个二面角是多少度.规定：二面角QUOTEθθ的取值范围是QUOTE0°≤θ≤180°0°≤平面角是直角的二面角称为直二面角，直二面角的两个