2024年甘肃省兰州市中考数学一诊试卷（含解析）卷

2024年甘肃省兰州市中考数学一诊试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.以下是2023年中国国际汉字文化创意设计大赛中，以“甘肃”“广东”为主题创作的作品，其中轴对称

图形是()

B

AW箫，广D东

2.2023年10月26日，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号广遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心发射成功.

火简起飞质量约497000千克.数据497000用科学记数法表示为()

A.0.497x106B.4.97x10sC.4.97x104D.49.7x104

4.因式分解.：a2-4=()

A.(a+4)(a—4)B.(a+4)(a—2)C.(a+2)(a—4)D.(a+2)(a—2)

5.一元二次方程》2-5%+5=0的根的情况为()

A.无实数根B.有两个不相等的实数根

C.有两个相等的实数根D.不能判定

6.实数a,b在数轴上的对应点如图所示，下列结论正确的是()

-3-2-10123

A.a>-2B.a+b>0C.|a|<\b\D.b-a>0

7.如图，在数学实践课上，老师要求学生在一张44纸(矩形4BCD)上剪出一个面积

为lOOCcm?的等边三角形4EF.某小组分析后，先作了乙MA8=60。，再算出了力"

的长，然后分别在AM,”上截取了4E=4F,则AF的长为()

A.5>J~3cmB.10cmC.10\A3c7nD.20cm

8.在一定温度范围内，声音在空气中的传播速度u（m/s）可看作是温度1（。0的一次函数，根据下表数据,

则u与t的函数表达式为（）

温度t（℃）・・・-100102030・・・

传播速度u（m/s）…324330336342348•••

A.P=6t+330B.v=-6t+330C.v=0.6t+330D.v=-0.6t+330

9.兰州市现行城镇居民用水量划分为三级，水价分级递增.第一级为每户每年不超过1447砂的用水量，执行

现行居民用水价格；第二级为超出1447n3但不超过180^3的用水量，执行现行居民用水价格的1.5倍；第三

级为超出1807九3的用水量，执行现行居民用水价格的3倍.某小区志愿队为了解该小区居民的用水情况，随

机抽样调查了50户家庭的年用水量，并整理绘制了频数分布直方图（如图），若该小区共有1000户居民，请

根据相关信息估计该小区年用水量达到第三级标准的户数（）

A.30B.45C.60D.90

10.仇章算术力中记载了这样一个问题：今有上禾三秉，益实六斗，当下禾十秉.下禾五秉，益实一斗，

当上禾二秉.问上、下禾实一秉各几何？大意是：3束上等禾的产量再加6斗，相当于10束下等禾的产量；5

束下等禾的产量再加1斗，相当于2束上等禾的产量.问上等禾、下等禾每束的产量各为几斗？

设上等禾每束产量”斗，下等禾每束产量y斗，根据题意可列方程组为（）

（3x+6—10y+6-lOy|3x—6—lOyflOx—3y+6

AJC，D，

15y+1=2%4-1=2y（5y-1=2x（2y=5x4-1

11.把直尺、圆片和两个同样e大小的含30。角的直角三角尺按图所示放置,

两三角尺的斜边与圆分别相切于点8,。.若48=3,则命=（）

A.五

B./27T

C.1.57r

D.73n-

12.如图，在钝角△ABC中（Z8AC为钝角），△8=45°,AB=6凯,AC=

10,在其内部作一个矩形MNQP,使矩形的一边NQ在边BC上，顶点M,P

分别在边力8,4c上.设矩形的一边MN=无，矩形的面积为y,贝！y与3的函数

关系式可用函数图象表示为（）

每小题3分,

13.若x为正整数，要使厅式有意义，则工=（写出1个即可）.

14.自然界绝大多数的彩色光都可以利用红、绿、蓝三种色光按不同比例

混合而成，这叫做三原色原理，如：红光与绿光重叠现黄色.如图所示，小

明制作了两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的扇形，同

时转动两个转盘，根据三原色原理配得黄色的概率为______.

15.如图，在平面直角坐标系中，△48C和△AB'C'是以原点。为位似中心的位似图

形，黑=；，已知4（12）,则顶点4的坐标为—

HD/

16.如图，在矩形48CD中，AB=4,BC=6,点E为BC的中点，4E与BD相交于

点P,则线段AP=

三、解答题：本题共12小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题4分）

解不等式组：（工+：1>3（：+1）.

<2x-1<x+1

18.（本小题4分）

解方程丁系=扁5一】•

19.（本小题4分）

先化简，再求值：4x（x+2y）-（2x4-3）2+12%,其中％=y=-5.

20.（本小题6分）

如图，-次函数y-x+6的图象与反比例函数y一如>0）的图象交于点4（1,3）,与x轴交于点乩

（1）求反比例函数y=g与一次函数y=x+b的表达式;

（2）过点A作AC1为轴于点C,求△A8C的面枳.

21.（本小题6分）

甘肃省公用品牌“tt味”中的区域品牌“兰州百合”荣登农业产业品牌百强榜，甘肃某地区为深入推进乡

村振兴产业发展，采购了48两种型号包装机同时包装百合，某质检部门从已包装好的产品中随机各抽取

10袋测得实际质量（单位：g）,规定质量在（500±5）g为合格产品.将所得数据进行收集整理，部分信息如

下：

信息一：A,8型号包装机包装的既袋百合质量的折线统计图

信息二：48型号包装机包装的每袋百合质量的统计量

统计量

平均数中位数众数极差合格率

型号

A型504.8m5081130%

。型504.8505505860%

请根据以上信息，回答下列问题:

(1)表格中的m=______:

(2)根据统计图来看，_____型号包装机包装的百合的质量比较桧定；(填'"”或“8”)

(3)综合以上信息，你认为该地区应选择哪种型号的包装机包装百合较为合适？并说明理由.

22.(本小题6分)

如图，在△力。®中，48=30。，。0与A8相切于点A,与。8相交于点C,延长4。交O。于点0,连接CO.

(1)求ZD的大小；

(2)当BC=2时，求CD的长.

23.(本小题6分)

数学家为解决“化圆为方”问题，将其转化为特殊的“化矩形为方”问题.化矩形为方指的是给定任意矩

形，作出和这个矩形面积相等的正方形.

如图.已知矩形尺规作图完成“化矩形4RC0为正方形8PQR”问题，以下为作图过程：

①以点8为圆心，8c氏为半径画弧，交力8延长线于点E；

②分别以点4E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于M,N两点，连接MN交AE于点尸，则点尸为

力E的中点;

③以点F为圆心，A尸长为半径画弧，交延长线于点P；

④以8P为边，在边3P右侧作正方形8PQR,即“〈匕矩形ABCD为正方形BPQR”.

(1)请按照作图过程中④的要求，用无刻度直尺和圆规将所给图形补充完整；(保留作图痕迹，不写作法)

(2)根据已补充完整的图形解决问题:

在矩形ABC。中，已知48=5,AD=1,则85二,PF=______,进而求得正方形BPQR的边8P=

.由此可得5苑38°=5.方侬改屋即达到“化矩形为方”的目的•

24.(本小题6分)

小伟站在一个深为3米的泳池边，他看到泳池内有一块鹅卵石，据此他提出问题：鹅卵石的像到水面的距

离是多少米？小伟利用光学知识和仪器测量数据解决问题，具体研究方案如下：

问

鹅卵石的像到水面的距离

题

工

纸、笔、计算器、测角仪等

根据实际问题画出示意图(如图)，鹅卵石在C处，其像在G处，泳池深为8N,RBN=CH,

说

MN上NC于点N,MN工BH于点、B,CH1.BH于点H,点G住CH上,A,B,G三点共线，通过查

明

阅资料获得要端=1.33.

数

BN=3m,/-ABM=41.7°.

据

请你根据卜.述信息解决以下问题:

⑴求“8N的大小;

(2)求鹅卵石的像G到水面的距离GH.(结果精确到0.17几)

（参考数据：s出41.7。右0.665,cos41.7°«0.747,tan41.7°«0.891,x<3«1.73）

25.(本小题6分)

如图1，从远处看兰州深安黄河大桥似张开的翅膀，宛如一只“蝴蝶”停留在黄河上，它采用叠合梁拱桥

方案设计.深安黄河大桥主拱形。力B呈抛物线状，从上垂下若干人吊杆，与桥面相连.如图2所示，建立平面

直角坐标系，吊杆CD到原点。的水平距离0C=26m,吊杆EF到原点。的水平距离0E=134m,且CD=

EF,主拱形离桥面的距离人7九)与水平距离x(m)近似满足二次函数关系y=-0.006(%-h)2+匕其对称轴

为直线％=h.

(1)求。”的长度;

（2）求主拱形到桥面的最大高度的长.

图1

26.（本小题7分）

如图,在矩形力8C。中，点E,尸分别在力。,CO上.将矩形ABC。分别沿BE,EF翻折后点力，。均落在点G

处，此时氏G,尸三点共线，若BG=2EG.

（1）求证：矩形A8C。为正方形;

（2）若。尸=2,求BC的长.

27.（本小题8分）

综合与实践

【问题情境】在数学综合实践课上，“希望小组”的同学们以三角形为背景，探究图形变化过程中的几何

问题，如图，在△力8c中，AB=AC,/BAC=90。，点D为平面内一点（点4B,。三点不共线），人后为4

A8D的中线.

【初步尝试】（1）如图1，小林同学发现：延长AE至点M,使得=连接。M.始终存在以下两个结

论，请你在①，②中挑选一个进行证明：

①DM=4C；@£.MDA+LDAB=180°;

【类比探究】（2）如图2,将/W绕点川顿时针旋转90。得到”，连接C凡小斌同学沿着小林同学的思考进一步

探究后发现：AE=^CF,请你帮他证明；

【拓展延伸】（3）如图3,在（2）的条件下，王老师提出新的探究方向：点。在以点力为圆心，4。为半径的圆

上运动G4D>48）,直线与直线C9相交于点G,连接BG,在点。的运动过程中BG存在最大值.若4B=

4,请直接写出BG的最大值.

F

图I图2图3

28.(本小题9分)

在平面直角坐标系％0y中，给出如下定义：对于图形W和图形W外一点P,若在图形W上存在点M,N,使

PM=2PN,则称点P是图形W的一个“2倍关联点”.例如：如图1,已知图形W：AABC,71(0,2),

B(-l.O),C(l,0)；点P(0,-l)到A4JC上的点的最小距离为P。=1,到△IBC上的点的最大距离为PA=

3,则P4>2PO.因此在△48C上存在点M,N,便得PM=2PN,则点P是△的一个“2倍关联点”.

(1)如图2,已知/1(0,1),8(2,1).

①判断点匕(2,-1)_____线段4B的一个“2倍关联点”；(填“是”或“不是”)

②若点P2(Lm)是线段AB的“2倍关联点”，求m的最小值；

(2)如图3,O0的圆心为原点，半径为1,若在直线，：y=%+匕上存在点Q是。。的“2倍关联点”，求b

的取值范围.

图1图2图3

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：B,C,。选项中的汉字都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够

互相重合，所以不是轴对称图形；

A选项中的汉字能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称

图形.

故选:A.

根据轴对称图形的概念解答即可.

本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合.

2.【答案】B

【解析】解:497000=4.97x105,

故选:B.

将一个数表示成QX10〃的形式，其中1工|可＜10,几为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可

求得答案.

本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键.

3.【答案】B

•••a//b,

•••Z4=z.5,

Vz3=118°,43+45=180°,

AZ5=62°,

Z4=62°,

故选：B.

根据平行线的判定与性质求解即可.

此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质是解题的关键.

4.【答案】D

【解析】解：a2-4=(a+2)(a-2).

故答案为：(a+2)(a-2).

故选:D.

利用平方差公式分解.

本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的公式法是解决本题的关键.

5.【答案】B

【解析】解：•.♦4=(一5/-4xlx5=5>0,

••.方程有两个不相等的实数根.

故诜：B.

先进行判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况.

本题考查了根的判别式：一元二次方程a/+成+c=0(a工0)的根与』二/一有如下关系：当/>0

时，方程有两个不相等的实数根；当4=0时，方程有两个相等的实数根；当/<0时，方程无实数根.

6.【答案】0

【解析】解.：由数轴可知，-3VQV-2,lVbV2,

A.—3<a<—2,a<—2,故选项A不符合题意；

B、v—3<a<—2,1<b<2,a+b<0,故选项4不符合题意：

C、•••一3<QV-2,l<b<2,A3>|a|>2,2>\b\>1,|a|>网，故选项C不符合题意；

。、•••一3VaV-2,l<b<2,/.2<-a<3,A3<b-a<5,A6-a>0,故选项。符合题意;

故选：D.

由数轴可知，一3〈。〈一2,l<b<2,由此逐一判断各选项即可.

本题考查的是实数与数轴，熟练掌握数轴上各点的分布以及从数轴上获取已知条件是解题的关键.

7.【答案】D

【脩析】解：过E作EHJ.M于H,

Z.EHA=90°,

•••/.EAH=60°,

A£AEH=30°,

是等边二角形,

：.AH=FH=^AE,

设44=，AE=AF=2xt

:.EH=>/AE2-AH2=

•••等边三角形AE尸的面积=100/3C7H2,

:.2x2x•V3x=100A/-3,

解得x=10,

•••力/的长为20cm,

故选：D.

过E作EH_L4FfH,得到4E/M=90。，根据三角形的内角和定理得到乙4EH=30。，得到AH=FH=

"力£,设4H=x,AE=AF=2x,根据勾股定理得到E4=A/'4E2—4,2=昌，根据三角形的面积公式

列方程即可得到结论.

本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键.

8.【答案】C

【解析】解：设一次函数的解析式为u=kt+b,

b=330

10k+b=336'

K：33O>

•••〃与t的函数表达式为u=0.6t4-330,

故选：C.

设一次函数的解析式为u=kt+b,待定系数法求解即可.

本题考查•次函数的应用，解题的关键是利用待定系数法求解析式.

9.【答案】C

【解析】解：1000x赤鼻=60（户）.

O4।JLD"T"D

估计该小区年用水量达到第三级标准的户数大约为60.

故选:C.

用1000户乘样本中用水量达到第三级标准的户数所占百分比即可.

此题主要考查了利用样本估计总体以及频数分布直方图与频数（率）分布表综合应用，根据已知得出样本数

据总数是解题关键.

10.【答案】A

【解析】解：根据题意知：您以

13yr1—LX

故选:A.

设上等禾每束产量工斗，下等禾每束产量y斗，等量关系：3束上等禾的产量+6斗=10束下等禾的产量；5

束下等禾的产量+1斗=2束上等禾的产量.

此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出笔量关系是解题关键.

11.【答案】C

【解析】解：连接OC,OB,\—

•••两三角尺的斜边与圆分别相切于点氏C,A/Ap)/

A£OCB=乙OBC=90°,OC=OB,

•••“48=60°+30°=90。，

.・思边形4B0C是正方形，

£BOC=90°OB=AB=3,

诧的长度=9；片=1.57T,

故选：C.

连接OC,OB,根据切线的性质得到/OCB==90。，。。二。3,推出四边形48。。是正方形，求得

乙BOC=90°,OB=AB=3,根据弧长公式即可得到结论.

本题考查了切线的性质，正方形的判定和性质，正确地找出辅助线是解题的关键.

12.【答案】A

【解析】解：过点A作AE1BC于点E,AE交MP于点F,如图，

「MZXP

•:乙B=45°,AB=6KAE1BC,

BE=AE=^AB=6»BNEQC

EC=AC2-AE2=7102-62=8，

BC—BE十EC—14.

•••匹边形MNQP为矩形，

乙PMN=乙MNQ=90°,

vAE1BC,

.•加边形MNEF为矩形，

:,EF=MN=x,

:，AF=6-x.

•••MP//BC,

AMPSAABC,

，——MP=一AF，

BCAE

MP6-x

146

7

:.MP=一"+14,

•J

777

•••y=x(--x+14)=--x2+14x=--(x-3)2+21.

ooo

•.•矩形MNQP,使矩形的一边NQ在边8c上，顶点M,P分别在边48,4c上，

0<%<6.

7

•••一？V0,

兰》=3时，矩形的面积取得最大值为21.

y与文的函数的函数图象为抛物线y=-1(x-3)2+21上的0--6的一段.

故选:A.

过点4作AEJLBC于点E,AE交MP于点F,利用等腰直角三角形的性质，勾股定理求得BC的长度，利用相

似三角形的判定定理和相似三角形的对应高的比等于相似比的性质求得MP,利用矩形的面积公式求得y与

”的函数关系式，利用二次函数的性质解答即可得出结论.

本题主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的面枳，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，勾

股定理，二次函数的图象与性质，配方法，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.

13.【答案】3(答案不唯-)

【解析】解：由题意得：3-x>0,

解得：x<3,

所以％=3符合题意.

故答案为：3(答案不唯).

根据二次根式有意义的条件可得3-x>0,再解即可.

考查了二次根式的意义和性质.概念：式子，覆(a20)叫二次根式.性质：二次根式中的被开方数必须是

非负数，否则二次根式无意义.

14.【答案】1

*3

【解析】解：列表如下:

红黄绿

红（红，红）（红，黄）（红,绿）

绿（绿，红）（绿，黄）（绿，绿）

由表格知，共有6种等可能结果，其中根据三原色原理配得黄色的有2种结果，

所以根据三原色原理配得黄色的概率为!=

o3

故答案为".

列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可.

本题主要考查列表法与树状图法，列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是

一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可.能的结果，通常采用树形图.

15.【答案】（2,4）

【解析】解：•••△力8。和△小夕。'是以原点。为位似中心的位似图形，器=今

••.△ABC与AAB'C'的相似比为

•••力（1,2）,

点4’的坐标为（1x2,2X2）,即（2,4）,

故答案为：（2,4）.

根据题意求出相似比，再根据位似变换的性质计算，得到答案.

本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,那么位

似图形对应点的坐标的比等于k或-A.

16.【答案】学

【解析】解：:E为8C的中点，

...BE=^BC=3,

•••匹边形/WCD为矩形，

Z.ABC=90°,

：.AE="的+即=,42+32=5.

设4P=x,则PE=5-x,

vAD//BC,

APD^^EPB,

ADBE

AP~~PE，

6_3

故答案为：y.

利用矩形的性质和直角三角形的性质，勾股定理求得AE的长度，设AP=x,则PE=5-再利用相似三

角形的判定与性质解答即可.

本题主要考查了矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三

角形的判定与性质是解题的关键.

7x+11>3(x+1)①

17.【答案】解:

2x-1<x+1②

解不等式①，得》>-2,

解不等式②，得xv2,

所以原不等式组的解集为：一2<%<2.

【解析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可.

主要考查了解一元一次不等式组，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大

小小找不到(无解).

方程两边都乘3(%+1),得9=%-3(久+1),

9=x—3x—3,

3x—x——3—9,

2%=-12,

x=-6,

检验：当％=—6时，3(%+1)。0,

所以分式方程的解是％=-6.

【脩析】方程两边都乘3(%+1)得出9=3(x+1),求出方程的解，再进行检验即可.

本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键.

19.【答案】解：原式=4/+8灯一4/一12%一9+12%

=8xy-9,

当y=-5时，原式=8x2x(-5)-9=-8-9=-17.

【解析】根据单项式乘多项式的运算法则、完全平方公式、合并同类项把原式化简，把X、y的值代入计算

即可.

本题考查的是整式的化筒求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关健.

2().【答案】解：(1)把4(1,3)代入反比例函数丫=5和一次函数丫=工+8中，得*3,解得k=3,

1+b=3,解得匕=2,

・••反比例函数的表达式为y=p一次函数的表达式为y=x+2；

(2)当y=0时，x+2=0,解得％=-2,

:.B(-2,0),

•••/。_1%轴于点。，力(1,3),

6(1,0),

AfiC=l-(-2)=3,

1Q

••・△48C的面积为：；x3x3=(

【解析】(1)把4(1,3)代入反比例函数、=：和一次函数、=工+8中，求出土和b即可解答；

(2)求出点B和。的坐标，利用三角形的面积公式解答即可.

本题考查了待定系数法求函数解析式及反比例函数与一次函数图象交点的问题，求得点的坐标是解题的关

键.

21.【答案】506.5B

【解析】解：(1)力型号包装机包装的每袋质量由小到大排列如卜.：

497,499,501,506,506,507,508,508,508,508,

:./型中位数m=(506+507)+2=506.5,

故答案为：506.5；

(2)从统计图来看，8型号包装机包装的百合的质量比较稳定；

故答案为：B；

(3)该地区应选择8型号的包装机包装百合较为合适.

理由如下：从统计图看4型波动比8型波动大，从A,B型号包装机包装的每袋百合质量的统计量来看•，3型

中位数和众数都没有超出规定质量，而A型中位数和众数都超出规定质量，且B型极差小于4型极差，

.••该地区应选择8型号的包装机包装百合较为合适.

(1)根据中位数的意义解答即可；

(2)根据统计图直观判断即可；

(3)综合所有信息，利用统计图和统计量的意义作出判断，再说明理由即可.

本题考查折线统计图，平均数，中位数，众数，能从统计图表中获取有用信息，明确相关统计量的意义是

解题的关键.

22.【答案】解：(1)-.-O。与AB相切于点4,(1I

Z.BAO=90°,//''VX.

♦・"=30%(

:.LAOB=90°-30°=60°,\////

•:乙AOB=2乙D,D

:.2ZD=60°,

:.LD=30°；

(2)在RtAAOB中，Z.B=30°,

•••GA=^OB,

:.GB=2OA=0C+BC=。力+2,

•••GA=2,

•••AD=OB=4,

:.AB=y/OB2-OA2=2g

连接AC，

4D是。。的直径，

AZ.ACD=90°,

在么力。。和△08/4中，

ZD=Z.B=30°

^ACD=WAB=90°,

AD=OB

:心ADC@匕OBALAAS'),

CD=AB=2/3.

【解析】(1)由切线的性质和三角形内角和定理求得/力。8=60。，根据圆周角定理即可求出4D；

(2)根据含30度直角三角形的性质结合已知条件求出。4OB,进而得到4D=0B,根据勾股定理求出

A8,证明△4DC空△084根据全等三角形的性质即可求得答窠.

本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，含30度直角三角形的性

质，综合运用这些知识是解决问题的关键.

23.【答案】23/5

【解析】解：(1)如图所示，正方形P8QR即为补充完整的图

形；

(2)vAB=5,BE=AD=1,

•••AE=AB+BE=5+1=6,

由作图过程可知：直线MN是线段的垂直平分线,

AF=EF=3,

BF=EF-BE=3-1=2,PF=AF=3,

...BP=yjPF2-BF2=V32-22=75>

故答案为：2,3,y/~5.

(1)根据基本作图方法即可将所给组形补充完整；

(2)由作图过程可得MN是AE的垂直平分线，然后利用勾股定理即可解决问题.

本题考查了作图-复杂作图，线段垂直平分线的性质，正方形的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方

法.

24.【答案】解：(1)v错=1.33,sinz^M=s"41.7"0.665,

sin448M_1

•••sin乙CBN=1.33=2f

...乙CBN=30°,

4CBN的大小为30。

(2)•••乙ABM=乙NBG=41.7°,BN=CH=3m,

vBN//HC,

乙CBN=乙BCH=30°,Z-BGH=乙NBG=41.7°,

在R—BC，中,

BH=CH,tan^BCH=3x噂=/3(m),

J

在中，

HG=—tan7，8GH=—tan丝41.7。'x'

.••鹅卵石的像G到水面的距离G"为1.97儿

【解析】⑴根据光爆=1.33代入，进而作答即可；

SinZCnAf

(2)BN〃，配乙CBN=々BCH,在R£ABC”中，根据三角函数求出B”,在Rt△BHG中，根据三角函数求

出HG.

本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，熟悉角的正切值，正弦值.

25.【答案】解：(1)由题意得，其对称轴为直线％=等型=80,即九=80,OH=80m,

答：OH的长度为80m；

(2)vh=80,

2

Ay=-0.006(x-80)+/c,

•••直线为=80是其对称轴，

:.8(160,0),

将B点代入函数y=-0.006(%-80)2+匕

得,-0.006(160-80)2+>=0,

解得：k=38.4,

:.y=-0.006(%-80)2+38.4,

71(80,38.4),即4H=38.4m,

答：主拱形到桥面的最大高度4H的长为38.4m.

【解析】(1)因为。。=26租，OF=134m,且CO=EF,所以其对称轴为直线x=粤至，可得。，的长；

(2)将(1)求得九的值代入该二次函数，已知对称轴，可得8点坐标，将8点代入该二次函数，解得k的值，可

得该二次函数的表达式，可得主拱形到桥面的最大高度4,的长.

本题考查了二次函数的实际应用，关键是掌握二次函数的对称轴.

26.【答案】(1)证明：由翻折得E4=EG,ED=EG,BG=BA,

:.EA=ED=EG,

:.AD=2ED=2EG,

•••BG=2EG,

AD=BG,

:.AD=BA,

♦.仞边形48CD是矩形，且AD=BA,

匹边形48CD是正方形.

(2)解：由翻折得，GE8=4AE8,乙GEF=LDEF,

乙AEG=2乙GEB,Z.DEG=2/.GEF,

2乙GEB+2Z.GEF=180°,

：.£BEF=乙GEB+乙BEF=90°,

vZ.A=Z.D=90°,

AZ.AEB=乙DFE=90°-乙DEF,

vAB=AD=2AE,DF=2,

•••器=tanz.Z>FF=tanz.AEB=普=2,

EA=ED=2DF=4,AB=2EA=8,

:.BC=AB=8,

.・.BC的长是8.

【解析】(1)由翻折得E/l=EG,ED=EG,BG=BA,则瓦4=EO=EG,所以40=2E7)=2EG,而

BG=2EG,即可证明40=84而四边形ABCD是矩形，所以四边形力BCO是正方形；

(2)由翻折得/GEB=乙GEF=(DEF,则48EF=NGEB+4BE/=90°,而4A==90°,可证

^LAEB=zDFE,则累=tanNDFE=tanNAE8=^=2,求得EA=ED=2DF=4,则BC=48=

2EA=8.

此题重点考查正方形的性质、轴对称的性质、正方形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余、同角的

余角相等、锐角三角函数与解直角三角形等知识，推导出乙8EF=90。是解题的关键.

27.【答案】(1)证明：①为A4B0的中线，

:.BE=DE,

在4485和4MOE中，

BE=DE

Z-AEB=/MED,

AE=ME

•••△48E卬MDE(SAS),

AB=DM,

vAB=AC,

DM=AC；

②由①知△ABEgaMDE,

•••Z.BAE=乙DME,

:•AB//DM,

Z.MDA+匕DAB=180°：

(2)证明：延长4E至点M,使得ME=4E,连接OM.

图2

由旋转得：AF=AD,Z,DAF=90°,

,:/.BAC=90°,/.DAF+Z.BAC+乙BAD+Z.CAF=360°,

/.BAD4-/-CAF=180°,

由(1)②得：^-MDA+LDAB=180°,DM=AB=AC,

:.£CAF=LMDA,

在A/CF和△OM/中，

AF=AD

/-CAF=Z.MDA,

AC=DM

：，^ACF^^DMA(SAS),

ACF=AM,

-AE=\AM,

<AE=；CF；

(3)如图3,延长D4至M，使力M=/1D,设力M交C/于N,连接交C尸于K,取AC中点P,连接GP,

D

B、、-

图3

由旋转得：AF=AD,Z.DAF=90°,

:.AF=AM,^MAF=180°-90°=90°,

vABAC=90°,

•••Z.MAF+LCAM=乙BAC+^CAM,

^LCAF=/.BAM,

在ZMCF和△力BM中，

(AC=AB

\z-CAF=乙BAM,

(AF=AM

：.^ACF^^ABM(SAS),

Z.AFC=LAMB,即/AFN=zKMN,

♦:乙ANF=乙KNM,

:.4FAN=乙MKN=90°,

:.BM1CF,

•:E、4分别是DB、OM的中点，

•••4E是△8DM的中位线，

:.AE"BM,即AG〃8M,

AG1CF,

LAGC=90n,

•.•点P是4c的中点，

GP=^AC=^AB=2,

.•.点G在以P为圆心，2为半径的OP上运动,

连接80并延长交OP于G',

二BG'的长为BG的最大值，

在中，BP=AB2+AP2=V42+22=2/5，

:.BG'=BP+PG'=2/5+2，

：,8G的最大值为20+2.

【解析】(1)利用S4S证明△AB