浙江专用2024年高考数学一轮复习讲练测专题3.3利用导数研究函数的极值最值讲含解析

PAGEPAGE1第03讲利用导数探讨函数的极值，最值讲1.了解函数极值的概念及函数在某点取到极值的条件，会用导数求函数的极大值、微小值，会求闭区间上函数的最大值、最小值，会用导数解决某些实际问题.2.高考预料：（1）以探讨函数的单调性、单调区间、极值（最值）等问题为主，与不等式、函数与方程、函数的图象等相结合，且有综合化更强的趋势．（2）单独考查利用导数探讨函数的某一性质以小题呈现，综合探讨函数的性质以大题呈现；（3）适度关注生活中的优化问题.3.备考重点：（1）娴熟驾驭导数公式及导数的四则运算法则是基础；（2）娴熟驾驭利用导数探讨函数的单调性、极值（最值）的基本方法，敏捷运用数形结合思想、分类探讨思想、函数方程思想等，分析问题解决问题.学问点1．函数的极值(1)函数的微小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a旁边其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a旁边的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的微小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的微小值．(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b旁边的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b旁边的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．微小值点，极大值点统称为极值点，极大值和微小值统称为极值．【典例1】（2024年文北京卷）设函数.（Ⅰ）若曲线在点处的切线斜率为0，求a；（Ⅱ）若在处取得微小值，求a的取值范围.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）因为，所以.，由题设知，即，解得.（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）得.若a>1，则当时，；当时，.所以在x=1处取得微小值.若，则当时，，所以.所以1不是的微小值点.综上可知，a的取值范围是.方法二：.（1）当a=0时，令得x=1.随x的改变状况如下表：x1+0−↗极大值↘∴在x=1处取得极大值，不合题意.（2）当a>0时，令得.①当，即a=1时，，∴在上单调递增，∴无极值，不合题意.②当，即0<a<1时，随x的改变状况如下表：x1+0−0+↗极大值↘微小值↗∴在x=1处取得极大值，不合题意.③当，即a>1时，随x的改变状况如下表：x+0−0+↗极大值↘微小值↗∴在x=1处取得微小值，即a>1满意题意.（3）当a<0时，令得.随x的改变状况如下表：x−0+0−↘微小值↗极大值↘∴在x=1处取得极大值，不合题意.综上所述，a的取值范围为.【规律方法】求函数f(x)极值的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的全部根；(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号，假如左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，假如左负右正，那么f(x)在x0处取微小值．【变式1】（2024·北京高三期末（理））已知函数．（Ⅰ）若曲线在处的切线方程为，求的值；（Ⅱ）求函数在区间上的极值．【答案】（Ⅰ）0（Ⅱ）详见解析【解析】（Ⅰ）因为，所以，所以.因为在处的切线方程为.所以，解得.（Ⅱ）因为，，所以，①当，即时，在恒成立，所以在单调递增；所以在无极值；②当，即时，在恒成立，所以在单调递减，所以在无极值；③当，即时，改变如下表：-0+单调递减↘微小值单调递增↗因此，的减区间为，增区间为．所以当时，有微小值为，无极大值.学问点2．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．【典例2】(2024北京，理19)已知函数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．

【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）最大值1；最小值.【解析】所以函数在区间上单调递减.因此在区间上的最大值为，最小值为.【规律方法】求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a，b)内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．【变式2】（2024·天津高三期中（理））已知函数在处有极值.（Ⅰ）求、的值；（Ⅱ）在时，求函数的最值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)最大值为2，最小值为.【解析】(Ⅰ)由函数的解析式可得：，则，即：，解得：.经检验符合题意.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：，，令可得或，由于：，，，故函数的最大值为，函数的最小值为.考点1函数极值的辨析【典例3】（2024·浙江高考模拟）已知a＞0且a≠1，则函数f(x)＝(x－a)2lnx（）A．有极大值，无微小值B．有微小值，无极大值C．既有极大值，又有微小值D．既无极大值，又无微小值【答案】C【解析】由题意，，由，得或，由方程，结合函数图象，作出和的图象，结合图象得和的图象有交点，∴方程有解，由此依据函数的单调性和极值的关系得到：函数既有极大值，又有微小值具有极大值，也有微小值，故选C.【易错提示】（1）可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同；（2）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．【变式3】（2024·吉林省试验高三期中（文））设可导函数在R上图象连续且存在唯一极值，若在x＝2处，f(x)存在极大值，则下列推断正确的是()A．当时，，当时，.B．当时，，当时，.C．当时，，当时，.D．当时，，当时，.【答案】A【解析】∵函数的定义域为R，且在处存在唯一极大值，∴当时函数单调递增，当时函数单调递减，∴当时，，当时，．故选A．考点2已知函数求极值点的个数【典例4】（2024·河南高考模拟（文））已知函数.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的极值点个数.【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）依题意，，故，又，故所求切线方程为.（2）依题意.令，则，且当时，当时，，所以函数在单调递减，在单调递增，，当时，恒成立，.函数在区间单调递增，无极值点；当时，，故存在和，使得，当时，，当时，，当时，，所以函数在单调递减，在和单调递增，所以为函数的极大值点，为函数的微小值点.综上所述，当时，无极值点；当时，有个极值点.【易错提示】极值点处的导数为0，而导数为0的点不肯定是极值点，要检验极值点两侧导数是否异号．【变式4】（2024·全国高考模拟（理））设，则函数（）A．仅有一个微小值B．仅有一个极大值C．有多数个极值D．没有极值【答案】A【解析】，得.设，则.即为增函数，且.所以当,则单调递减；当,则单调递增，且.所以函数仅有一个微小值.故选A.考点3已知函数求极值（点）【典例5】（2024·山东高考真题（文））已知函数.(I)当a=2时,求曲线在点处的切线方程；(II)设函数,探讨的单调性并推断有无极值,有极值时求出极值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.【解析】（Ⅰ）由题意，所以，当时，，，所以，因此，曲线在点处的切线方程是，即.（Ⅱ）因为，所以，，令，则，所以在上单调递增，因为，所以，当时，；当时，.（1）当时，，当时，，，单调递增；当时，，，单调递减；当时，，，单调递增.所以当时取到极大值，极大值是，当时取到微小值，微小值是.（2）当时，，当时，，单调递增；所以在上单调递增，无极大值也无微小值.（3）当时，，当时，，，单调递增；当时，，，单调递减；当时，，，单调递增.所以当时取到极大值，极大值是；当时取到微小值，微小值是.综上所述：当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数既有极大值，又有微小值，极大值是，微小值是；当时，函数在上单调递增，无极值；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数既有极大值，又有微小值，极大值是，微小值是.【总结提升】(1)求函数f(x)极值的步骤：①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0,求出函数定义域内的全部根；④检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号,假如左正右负,那么f(x)在x0处取极大值,假如左负右正,那么f(x)在x0处取微小值．(2)若函数y＝f(x)在区间(a,b)内有极值,那么y＝f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值．【变式5】（2024·浙江高三开学考试）已知函数（1）推断的单调性；（2）若函数存在极值，求这些极值的和的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）因为，所以，令．，即时，恒成立，此时，所以函数在上为减函数；，即或时，有不相等的两根，设为（），则，．当或时，，此时，所以函数在和上为减函数；当时，，此时，所以函数在上为增函数．（2）对函数求导得.因为存在极值，所以在上有解，即方程在上有解，即.明显当时，无极值，不合题意，所以方程必有两个不等正根.设方程的两个不等正根分别为，则，由题意知，由得，即这些极值的和的取值范围为．考点4已知极值(点)，求参数的值或取值范围【典例6】（2024·北京高考真题（文））设函数.（Ⅰ）若曲线在点处的切线斜率为0，求a；（Ⅱ）若在处取得微小值，求a的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）因为，所以.，由题设知，即，解得.（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）得.若a>1，则当时，；当时，.所以在x=1处取得微小值.若，则当时，，所以.所以1不是的微小值点.综上可知，a的取值范围是.方法二：.（1）当a=0时，令得x=1.随x的改变状况如下表：x1+0−↗极大值↘∴在x=1处取得极大值，不合题意.（2）当a>0时，令得.①当，即a=1时，，∴在上单调递增，∴无极值，不合题意.②当，即0<a<1时，随x的改变状况如下表：x1+0−0+↗极大值↘微小值↗∴在x=1处取得极大值，不合题意.③当，即a>1时，随x的改变状况如下表：x+0−0+↗极大值↘微小值↗∴在x=1处取得微小值，即a>1满意题意.（3）当a<0时，令得.随x的改变状况如下表：x−0+0−↘微小值↗极大值↘∴在x=1处取得极大值，不合题意.综上所述，a的取值范围为.【规律方法】由函数极值求参数的值或范围．探讨极值点有无(个数)问题，转化为探讨f′(x)＝0根的有无(个数)．然后由已知条件列出方程或不等式求出参数的值或范围，特殊留意：极值点处的导数为0，而导数为0的点不肯定是极值点，要检验极值点两侧导数是否异号．【变式6】（2024·江西省抚州市第一中学高三期末（文））已知函数.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若，令，若，是的两个极值点，且，求正实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）t.【解析】（Ⅰ）由，，则当时，则，故在上单调递减；当时，令，所以在上单调递减，在上单调递增综上所述：当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.（Ⅱ），故，当时，恒成立，故在上单调递减，不满意有两个极值点，故.令，得,，又有两个极值点；故有两个根.故且或；且为微小值点，为极大值点.故令，由或得令，当时，，则在上单调递增，故，则时成立；当时，，则在上单调递增，故，则时；综上所述：考点5利用导数求函数的最值【典例7】（2024·全国高考真题（文））已知函数.（1）探讨的单调性；（2）当时，记在区间的最大值为，最小值为，求的取值范围.【答案】(1)见详解；(2).【解析】(1)对求导得.所以有当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增；当时，区间上单调递增；当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.(2)若，在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为.而，故所以区间上最大值为.所以，设函数，求导当时从而单调递减.而，所以.即的取值范围是.若，在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为而，故所以区间上最大值为.所以，而，所以.即的取值范围是.综上得的取值范围是.【易错提示】求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要探讨其极值状况，还要探讨其单调性，并通过单调性和极值状况，画出函数的大致图象，然后借助图象视察得到函数的最值．【变式7】（2024·新疆高考模拟（文））已知函数（其中e是自然对数的底数）．Ⅰ当时，求的最小值；Ⅱ当时，求在上的最小值．【答案】（I）；（II）【解析】（I）时，当时，；当时，在上单调递减，在上单调递增当时，取得最小值（II），令得作出和的函数图象如图所示：由图象可知当时，，即当时，，即在上单调递减，在上单调递增的最小值为考点6依据函数的最值求参数的值（范围）【典例8】（2024·北京高考模拟（理））已知函数.（Ⅰ）求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）求在上的单调区间；（Ⅲ）当时，证明：在上存在最小值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）单调递减区间为,单调递增区间为；（Ⅲ）详见解析.【解析】（Ⅰ）因为，所以则，，所以切线方程为（Ⅱ）令，即，，得当改变时，改变如下：0减最小值增所以函数的单调递减区间为,单调递增区间为（Ⅲ）因为，所以令，则因为，所以所以即在内有唯一解当时，，当时，，所以在上单调递减,在上单调递增.所以，又因为所以在内有唯一零点当时，即，当时，即，所以在上单调递减,在上单调递增.所以函数在处取得最小值即时，函数在上存在最小值【易错提示】求极值、最值时，要求步骤规范，含参