2025北京八中高三（下）开学考数学试题及答案

2025北京八中高三（下）开学考数学年级：高三科目：数学考试时间：120分钟，满分：150分命题：樊登麟审核：王文涛一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选中，选出符合题目要求的一项）P=xx1Q=xx2−x1.设集合，，则下列结论正确的是（P=QQPD.PQA.B.C.i2.在复平面内，复数A.第一象限的共轭复数对应的点位于（）1+iB.第二象限C.第三象限D.第四象限3.下列函数中，既是偶函数又在2)上单调递减的是（）1y=xy=|+D.y=x2−4B.y=−xA.3C.|x|x−y−1=0(x2)(y3)=8分成两段，这两段圆弧的弧长之比为（−2+−24.直线A.1：2将圆）B.13C.15D.3：5n113x−25.若的二项展开式中，当且仅当第5项是二项式系数最大的项，则其展开式中含项的系数x5x（）A.−246.已知点,B,C不共线，,为实数，AP含边界）”的（B.252C.7D.80+1是“点P在ABC内（不=AB+AC，则“）A.充分不必要条件C.充要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件π6y=1被函数fx()=x+)的图象所截得线段的最小值为，则=（0π7.直线）12332A.B.C.D.338.“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明•.如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是11%=；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后(+(−)=0.99.那么大约经过（11%进步的是退步的2倍请选出最接近的一项“”“”..是（20.301030，lg1012.004321，991.995635）A.25B.C.D.409.如图是一种帐篷示意图，帐顶采用“五脊四坡式”，四条斜脊的长度相等，一条正脊平行于底面，正脊与4斜脊长度的比为，底面为矩形且长与宽之比为∶1，若各斜坡面与底面所成二面角都相等，则该二面角3的正切值为（）34312A.B.C.D.3310.已知函数()=x1x1−−(−)（其中，且）为其定义域上的单调函数，则实数a的取a1fxaa0a值范围为（）11e()e()0,1,1eA.B.C.D.ee二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）()在抛物线C：y2=2px上，则点到抛物线的准线的距离为．A1,2已知点AC__________34，将线段π12.在平面直角坐标系xOy中，已知点A,绕原点顺时针旋转得到线段，则点B553的横坐标为____________.−y−2k=0x−4yy=1恰有一个交点，那么k的一个值为______.213.如果直线l：和曲线Γ：14.如图，已知正四面体ABCD的棱长为1B作截面α分别交侧棱，AD于E，F两点，且四面1体的体积为四面体ABCD体积的，则S=______，EF的最小值为______.3，如果存在实数、，使得a=pa+q对任意nN*成立，我们称数列an15.对于给定的数列pqn1n==+()1，n1nbnN，则给出下列四个结论：nacc1*是“线性数列”，数列满足nn①等差数列是“线性数列”；②等比数列是“线性数列”；③若是等差数列，则是线性数列；bc“”nn④若是等比数列，则是线性数列bc“”.nn其中正确的结论是______.三、解答题（共6题，满分85分）16.在ABC中，a+b=11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（Ⅰ）a的值：（Ⅱ）sinC和ABC的面积．1c=7,A=−条件①：条件②：；719cosA=,cosB=．816注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．17.同学们，你们知道排球比赛的规则和积分制吗?其规则是：每局25分，达到24分时，比赛双方必须相差2分，才能分出胜负；每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以3∶0或3∶1取胜的球队积3分，负队积0分；以3∶2取胜的球队积2分，负队积1分.甲、乙两队近期将要进行比赛，为预测它们的积分情况，收集了两队以往6局比赛成绩：123456甲乙252127272325182525252517假设用频率估计概率，且甲，乙每局的比赛相互独立.（1）估计甲队每局获胜的概率；（2）如果甲、乙两队比赛1场，求甲队的积分X的概率分布列和数学期望；1（3）如果甲、乙两队约定比赛2场，请比较两队积分相等的概率与的大小（结论不要求证明）.418.如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB//DC，DC//EF，AB=5，DC=3，EF=1，BAD=CDE=60，二面角F−DC−B的平面角为设，AE，BC的中点.60°.MN⊥CD（1）证明：；（2）求直线与平面ADE所成角的正弦值.6x22y22+=(ab)10过点，过其右焦点且垂直于x轴的直线交椭圆C于F19.已知椭圆C：2ab3233A，B两点，且=．（1）求椭圆C的方程；12y=−CEEF的中点为Q，在y轴上是否存在定点P，使（2）若直线l：与椭圆交于，F两点，线段得∠EQP＝2∠EFP恒成立？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．120.已知函数fxexax()=−−x2.2（1）当a=1时，求曲线()在(y=fx())处的切线方程；f0（2）若函数()是增函数，求实数a的取值范围；fx1()−x2+x+b(+)a1b的最大值（3）若21.已知集合的任意一对元素fx，求.2A=2,3,*（nNSA的子集，若存在不大于n的正整数m，使集合S中sss−，都有1mSs2，，则称集合具有性质P.12C=xAx=k−kN和*（1）当n=10时，试判断集合B=xAx9是否具有性质P？并说明理由；=201xxS−（2）当n=100时，若集合S具有性质P，那么集合T是否具有性质P？并说明理由；（3）当n=k，kN*时，若集合()fn.具有性质，求集合中元素个数的最大值SPS参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选中，选出符合题目要求的一项）1.【答案】DP=x|x1，集合Q=xx2−x0=x|x0x或，【详解】∵集合PQ．∴故选D．2.【答案】D【分析】首先求出复数的共轭复数，再判断象限即可.(−)i+i1i(+)(−)1i1i1i1211212z===+iz=−i，【详解】设，则211,−复数z对应的点为，所以z对应的点位于第四象限.22故选：D.3.【答案】C【分析】AD选项不符合单调性，B不符合奇偶性，C选项正确.y=x为偶函数，且在y=x2−4在2)单调递增，A错误；y=−x3为奇函数，B错误；【详解】1(π)上单调递减，(0,2)(π)，故符合题意，C正确；y=|+为偶函数，当x0时，|x|1为对勾函数，在()单调递减，在()上单调递增，故不合题意，D错误.y=x+0,11,2x故选：C4.【答案】A【分析】根据已知条件作出图形，利用圆的性质及点到直线的距离公式，结合弧长公式即可求解.,B，圆心为C，过点C作⊥【详解】设直线与圆的两个交点为如图所示交于D,ACD=0π)，则(设2−3−1所以圆心到直线的距离为d=CD==2.2CD212在△ACD中，cos===AC22因为0π，π所以=，32πACB==由圆的性质知，，32π:2π−2π3=1:2．所以两段圆弧的弧长之比等于两段弧所对圆心角的弧度数之比，等于3故选：A.5.【答案】A【分析】根据二项式系数的最值可得n8，再结合二项展开式的通项运算求解即可=.【详解】因为二项展开式中，当且仅当第5项是二项式系数最大的项，n=4，解得n=8，则28r11x()8−r()r2−的展开式的通项为r1=Cr83x2−=38−r−1Cr8163r,r=,8，−可得3xx令16−r=5，解得r=7，13C8=24.7所以含项的系数为x5故选：A6.【答案】B【分析】利用向量共线的推论及充分条件和必要条件的定义即可得解.+，可知P,B,C【详解】若AP=AB+AC，且三点共线，ABC0+1；若AP=AB+AC，点P在11=−=,ABC反之不成立，例如时，此时P在外部，320+1”是“点P在ABC所以“内（不含边界）”的必要不充分条件，故选：B.7.【答案】Bπ6πππ5πfx=x+【分析】由()=1，得到x+=+2π,kZ或x+=+2π,kZ，再结6666合条件，即可求解.π6π162()=fxx+=1，得到sin+=x【详解】由，πππ5π所以x+=+2π,kZ或x+=+2π,kZ，6666π6y=1被函数fx()=+)的图象所截得线段的最小值为x0π又直线，2π显然最小值在一个周期内取到，不妨取k=0，得到x=0或x=，2π23=π，解得=所以，故选：B.8.【答案】C【分析】根据题意列出不等式，利用指数和对数的运算性质求解即可．n【详解】假设经过天，“进步者”是退步者”的2倍，n1.010.99n=2，即=2，列方程得lg20.301030n=log1012==35，解得lg992.0043211.995635−−99即经过约35天，“进步者”是“退步者的2倍．故选：C．9.【答案】A【分析】不妨设正脊EF4，斜脊EB3，底面矩形的长为==AB=4aBC=2a，宽，做辅助线，根据对称性结合二面角可得a=2，进而可得结果.【详解】根据题意不妨设：正脊EF4，斜脊EB3，底面矩形的长为==AB=4a，宽BC=2a，E,FABCD的投影分别为G,H，BC,M,N，设在底面若各斜坡面与底面所成二面角都相等，则G,H,M,N四点共线，GM=HN，E−−A的平面角为EMN的中点分别为且=，则过G作GI⊥AB，垂足为I，连接，ABCDEM⊥BC,⊥BC，可知二面角，因为EG⊥平面ABCD，AB平面，可得⊥，，，,EGAB⊥平面且平面，可得又因为GI平面，可得⊥，则二面角E−−C的平面角为EIG，可知=，则tan=tan，EGEG=，可得=，即即4a−4=a=，可得a2，212==则=22,=EB2−2=1，可得，12所以所求二面角的正切值为.故选：A.10.【答案】Dhx=a【分析】对函数进行变形，构造新函数()xa−ax−1()，转化为新函数()的单调.再分类讨hxGt=ta论单调递增和单调递减，借助导数研究其单调性.对于单调递增，再构造函数()t，得到单调性，求出范围即可.【详解】由题意可知()的定义域为+)，fxaxa(−)1x1且fxax1x1()=−(−)=−=x−(−aaax1，aaaa记h(x)=axa−ax−1()，fx()在定义域上单调，可得()必为单调函数.hx若()在定义域上单调递增，hx1ax−1(−)x1x1a()=x()2−hxaa0则恒成立，即，，2(a)1(a0，可得tat令t=x−1)2Gt=ta在t→0时值趋近于0，不符合题意；又因为函数()tax−1若()单调递减，则()=()2−0恒成立，hxhxaax1(a(−)x1x1a即，2)1(a1(a()ta，可知20，即tatt令t=x−1，2))1设Gt)=tatGt()=(+1taa)t=0，则t=−，，a当a1时，t0不成立；111当0a1时，t=−0，当t−时，()Gt0；当0t−时，()Gt0；aaa1a1可知()在区间−−,+Gt上单调递增，在区间上单调递减，a1111(a−11()Gt−=−−Gaaa−则，即a，aa)2a1a1a1a1−a−1−a1.可得，即，解得ee故选：D.【点睛】关键点点睛：本题关键点是将原函数()=ax1−x1−(−)变形为fxa1=axln−lnaa(x−)1h(x)=axa−a(x−)f(x)在定义域上单调，转化为f(x)，记，将alna()为单调函数.最后借助分类讨论和导数研究得解.hx二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）【答案】2p【分析】将点A代入抛物线方程，求出及准线方程，进而可得出答案.【详解】因为()在抛物线C：A1,22y=2px上，4=2pp=2，所以，解得故抛物线C的准线为x=−1，所以点A到抛物线C的准线的距离为1−()=2.故答案为：2.3+4312.【答案】1034【分析】利用三角函数定义可知，射线对应的角满足=,sin=，再利用任意角的关系和cos553+43两角差的余弦公式即可得点B的横坐标为.103455上的角为，如下图所示：A,在单位圆上，记终边在射线【详解】易知345cos=,sin=根据三角函数定义可知，；5ππ绕原点顺时针旋转得到线段，则终边在射线上的角为−，33π3ππ3+43所以点B的横坐标为cos−=+sinsin=.33103+43故答案为：10131−,−,+13.【答案】1（答案不唯一，满足即可）262Γ:x−4yy=1的图象，数形结合分析恰有一个交点时实数k的取值范围即可.2【分析】作出曲线y0−4y=1为双曲线的上半部分；时，Γ:x22【详解】由题意，当y0+4y=1为椭圆的下半部分.时，Γ:x22当又l:−y−2k=0ykx2=(−)即，故作出,l的图象：=(−)ykx2y=kx−2)与椭圆下半部分相切时，有(考虑临界条件，当，x2+4y=12整理得1+4k)Δ=16k2)−41+4k16k−)=022x2−16k2x+16k2−1=022，则，3由图象k0解得k=.6y=kx−2)与双曲线x(2−4y=1的渐近线平行时也为临界条件.2当131−,−,+=故实数k的取值范围为，例如k1.262131262−,−,+故答案为：（答案不唯一，满足即可）.113314.【答案】①.##3②.##31233【分析】根据体积关系可得△AEF的面积，由三角形面积公式和余弦定理，使用基本不等式可得.11311=33【详解】因为B−=V，则S，=S11=B−332212EF=a,AE=b,AF=c记，113因为bcsin60=，即bc=。212313a2=b2+c2−bc60bc−bc=bc=又因为，b=c31，即b=c=时，取等号.当且仅当bc=333所以a的最小值为.333故答案为：；.315.【答案】①②④【分析】对①②根据“线性数列”的定义进行判断；对于③：找特例b=b=b=b=4，代入即可1234p,qc判断；对于④：结合定义，设出等比数列，代入求的，再结合线性数列的定义，看是否存在实数即n可.【详解】对于①，数列为等差数列，则−an=d，即，a=n+d，n1aann1满足“线性数列”的定义，①正确；an1对于②，数列为等比数列，则=q，即aannan满足“线性数列”的定义，②正确；对于③，是等差数列，设b=b=b=b=4，bn1234c=,c=,c=4,c=7是线性数列，c“”n则，若1234c=pc+q2=p+qp=2q=021则，c=pc+q4=2p+q32c=c+q=87则应有，43故不是“线性数列”，③错误；cn对于④，是等比数列，设首项为，公比为，bnb1t()，满足“线性数列”的定义；若t=1时，b=b，则c=c=c+bnN*n11n1n1()若t1时，由c=c=c+bnN*，得c−n=b，n1n1n1nnc−c=b,c−c=b,1+n−，211322btn1−−)累加的n1−=b1+b+21，1−tbtn1−−)b1−btn1+1−t−则n=1+1=1，1−t1−tbt11−−)b−btn1+1−t11经验证当n=1时，1=1+=1满足c，则c=n，1n1−t1−t若是“线性数列”，则存在实数p,q，使得c=n1pcn+q成立，cnb1−btn+1−tb1−btn1+1−t−1=p1+q，则1−t1−t−−btn+−=1tpbbtn11t)qt)−−+−+−b，1111n+−=1tpbpbtn1pptqqt−1−+−+−b1bt1，−bt=−pbp=tq=1+1−t11则，则，b+1−t=pb+p−pt+q−qt11则是“线性数列”，④正确.cn故答案为：①②④.【点睛】关键点点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.三、解答题（共6题，满分85分）316.【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）sinC=,S=63；271574选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）sinC=,S=.4【分析】选择条件①（ⅠⅡ）先根据三角函数同角关系求得sinA,定理求sinC,最后根据三角形面积公式求结果；再根据正弦选择条件②（Ⅰ）先根据三角函数同角关系求得sin,sinBⅡ）根据两角和正弦公式求sinC，再根据三角形面积公式求结果.1osA=−a+b=【详解】选择条件①（Ⅰ）71a2=b2+c2−bcAa2=−a)2+72−−a)7(−)7a=81437（Ⅱ）−，A)sinA=1−cos2A=7ac8732==sinC=由正弦定理得：sinAsinC43sinC7113S=basinC=−8=63222189,B=,B(0,)选择条件②（Ⅰ）163785716sinA=1−2A=,sinB=1−B=2aba11−a5716==a=6由正弦定理得：sinAsinB378379571+=7（Ⅱ）sinCsin(AB)sinABsinBA=+=+=81616841171574S=basinC=−6)6=224【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题.217.1）318481E(X)=（2）分布列见详解；1（3）两队积分相等的概率小于4）根据题意利用频率估计概率即可；（2）随机变量X的所有可能取值为01，23，再由独立事件的概率公式求得每个X的取值所对应的概率即可得分布列，然后由数学期望的计算公式，得解；（3）设第场甲、乙两队积分分别为iX，Y，则iXi=3−i，i=1，，由两队积分相等，可推出iX+X=3，再分四种情况，并结合独立事件的概率公式，即可得解．12【小问14623=由表可知：6场比赛甲赢了4场，则甲每局获胜的频率为，2用频率估计概率，所以甲队每局获胜的概率为.3【小问2随机变量X的所有可能取值为0，1，3，13322122211319138可得：P(X0)==+C13=，P(X==C24=，333381221222122316，231681P(X=2)=C24=，P(X==C32+=33333327所以X的分布列为X0123198P181616184E(X)=0+1+2+3=所以数学期望．981812781【小问3记“甲、乙比赛两场后，两队积分相等”为事件A，设第i场甲、乙两队积分分别为X，YXi=3−i，i=1，则i，2，iX+X=Y+YX+X=−X)+−X)X+X=3，则，12因两队积分相等，所以，即1212121213322111(=0)=+13=而PXC，333922123318(=)=PX124=C，3812212216=，(=2)=24PXC3338122122163333273(=3)=C23+=PX所以()PA=P(X=0)P(X=+P(X=P(X=2)+P(X=2)P(X=+P(X=P(X=0)1212121211681616=81611120+++=，9278181818127965611120114.因为，所以两队积分相等的概率小于6561418.1）证明见详解57（2）14）通过证明DC⊥平面BCF，可得⊥CD.AB（2）由（）可知⊥平面ABCD，过点N做平行线NK，所以可以以点为原点，NK，NNB、NF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系N，求出平面ADE的一个法向−量，以及BM，即可利用线面角的向量公式解出．【小问1因为四边形ABCD和EFCD都是直角梯形，DCF=DCB=，DC⊥CF,DC⊥CB，且CFCB=C，CF,CB因为平面BCF，则⊥平面BCF，FN平面BCF，可得CD.⊥【小问2过点E、D分别做直线、的垂线、并分别交于点G、H．因为四边形ABCD和EFCD都是直角梯形，=AH=EFC=DCF=DCB=ABC=由题意可知，则四边形EFCG和四边形DCBH是矩形，在Rt和Rt，23，BCF60是正三角形，由DC平面ABCD，得平面ABCD⊥平面BCF，==BCF是二面角F−DC−B的平面角，则=，可知又因为N是BC的中点，则⊥，又⊥平面BCF，FN平面BCF，可得⊥CD，且BCCD=C，BC,CD平面ABCD，可知⊥平面ABCD，而AD平面ABCD，所以，过点FN⊥AD.⊥平面ABCDN做平行线NK，所以以点为原点，N因为NK，NB、NF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系N，−33设3,0),B3,0),D3,0),E，则−M,，2233,,AD=(23,0),=(3,BM=−可得22n=(x,y,z)设平面ADE的法向量为−n2x−23y=0由，得，取n,3)，n=0−2x+3y+3z=0设直线与平面ADE所成角为，5357可得sin=n,BM==，72314nBM57所以直线与平面ADE所成角的正弦值为.14x2+y2=119.1）3（2）存在定点()，P0,136c,解方程即可；）直接由椭圆C过点和33（2）先联立直线和椭圆，通过∠EQP＝2∠EFP得到点P在以EF为直径的圆上，即PE⊥PF，表示出PE，PF由PEPF=0解出点P的坐标即可.【小问136c,，由题知，椭圆C过点和3312b1++=1ac22222=32a所以=1，解得aa22bb=1=b2+c2x2+y2=1．所以椭圆C的方程为【小问23假设在y轴上存在定点P，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立，设()，(Ex,y)，()Fx,y2Py011212y=−12k4+12k−94+12k，得4+12k)x−12−9=022x+x=xx=，12由，∴21222x+y2=13()0=144k2+364+12k2∵∠EQP＝2∠EFP，∴∠EFP＝∠FPQ，∴QE＝QF＝QP∴点P在以EF为直径的圆上，即PE⊥PFPE=(1,yy−)PF=(x,y−y)，02201PEPFxxyyy2y+(−)(−)2100=∴1=+−(+)+xx1y2yyyy2012012k1=xx+k2xx−(x+x)−yk(x+x)−++y2012121201224121()()2=1+k2xx−k+y0x+x+y20+y0+1214()12y02−1k2+4y02+4y0−8==04+12k2()12y20−1k2+4y0+4y0−8=02∴恒成立20−1=0yy，解得0=1∴402+40−8=0∴()P0,1∴存在定点()，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立．P0,1【点睛】本题关键点在于利用∠EQP＝2∠EFP得到点P在以EF为直径的圆上，进而得到PEPF=0，表示出PE，PF，联立直线和椭圆后，由韦达定理及PEPF=0建立方程解出点P的坐标即可.y=120.1）（2）(,1−e（3）2）利用导数研究函数的单调性与最值分离参数计算即可；（3）含参分类讨论h(x)=ex−a+1x−b(a+)−(a+)(a+)，构造函数，利()b的单调性，得出用导数研究其单调性及最值计算即可.【小问11()=−−x2f(x)=ex−1−x，，当a=1时，则fxexx2f0=1f0可得()()=0，，即切点坐标为()，切线斜率为0，0,1y=fx()在(())f0y1处的切线方程为=.所以曲线【小问2由题意得()=x−a−x，且()fx在定义域R内恒成立，fxe0则f(x)0e−xa，x令()=xgx−()=xe−1，gxex显然x0时，()，即()gx此时单调递减，此时单调递增，a1，gx0x0时，g(x)0，即g(x)gxg(0)=1，则所以()实数a的取值范围为(,1−.【小问31()−fxx2+x+bex−(a+)x−b0，若，则2令h(x)=ex−a+1x−b()hxexa1()=−(+)，则，若a−1，则()()hx，此时在R上单调递增，hx0hx时，()→−，不符合题意；x→当当a1，则xa+1()时，()hx0()，此时单调递增，hx(+)xa1(x)0h(x)，此时单调递减，时，hxha+1=a+1−a+1a+1−b0，即()(())()()()即(a+)−(a+)(a+)b，(+)a12−(+)2(+)(+)a1a1ba1，所以令()=2−2()=−=(−)，mxxxxmxx2xxx12lnxxe)(mx()0()mx，此时单调递增，易知当时，x(e,+)mx()0()mx，此时单调递减，当即时，e()()=mxme，2e(+)a12−(+)2(+)(+)a1a1ba1，所以2ee=(+)−(+)(+)=a1a1(+)ba1时，=当且仅当a+1=e,ba1，22e所以(a+1b)的最大值为.2【点睛】思路点睛：对于双变量的恒成立问题，可以通过消元转化为单变量函数最值来进行计算.21.1）集合B不具有性质P，集合C具有性质P，理由见解析=201xxS−（2）T具有性质P，理由见解析f(n)=4k（3））先写出,B,C10的m，对于集合B，对