2025年中考数学总复习《圆与四边形综合》专项检测卷附答案

第第页答案第=page11页，共=sectionpages22页2025年中考数学总复习《圆与四边形综合》专项检测卷附答案学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．如图，在矩形中，，直线交直线于点E，交直线于点F，．(1)若点P是边上的一个动点（不与点A，D重合），于点H，设为x，四边形的面积为y，试求y与x的函数解析式．(2)若，①求圆心在直线上，且与直线，都相切的的半径长．②圆心在直线上，且与直线及矩形的某一边所在直线都相切的圆共有多少个？（直接写出满足条件的圆的个数即可）2．如图，内接于，为的直径，．连接，，交延长线于点．(1)证明：平分；(2)若平分，①当时，求的长；②设，直接写出与的函数关系式．3．点，，在上，将沿折叠后，与交于．(1)若，求的度数．(2)如图，点恰是翻折所得的中点，若，求的度数．4．已知：如图，过正方形的顶点，，且与边相切于点．点是与的交点，连接，，，点是延长线上一点，连接，且．

(1)求证：是的切线；(2)如果正方形边长为，求的长．5．如图，四边形内接于．

(1)求证：；(2)如图2，在线段上分别取点，连接并延长交于点，连接并延长，交于点，连接，当时，求证：；(3)在（2）的条件下，当时，若，求的长．6．如图，是⊙O的直径，过D作⊙O的切线，点C是的中点，四边形是平行四边形．(1)求证：是⊙O的切线；(2)已知⊙O的半径为1，求图中弧所围成的阴影部分的面积．7．已知，为的直径，弦与交于点E，点A为弧的中点．(1)如图1，求证：；(2)如图2，点F为弧上一点，连接，，，过点C作交于点G，求证：．(3)如图3，在（2）的条件下，连接交于点L，连接，若，，求线段的长．8．已知为的外接圆，的半径为6．(1)如图，是的直径，点是的中点．①尺规作图：作的角平分线，交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法）：②求的长度．(2)如图，是的非直径弦，点在上运动，，点在运动的过程中，四边形的面积是否存在最大值，若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．9．如图，点是等边三角形中边上的动点（），作的外接圆交于点．点是圆上一点，且，连结交于点．(1)求证：；(2)当点运动时，的度数是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求的度数．10．如图①，矩形与以为直径的半圆O在直线l的上方，线段与点E、F都在直线l上，且，，．点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线方向运动，矩形随之运动，运动时间为t秒．(1)如图②，当时，求半圆O在矩形内的弧的长度；(2)在点B运动的过程中，当、都与半圆O相交时，设这两个交点为G、H．连接、，若为直角，求此时t的值．(3)当矩形为正方形时，连接，在点B运动的过程中，若直线与半圆只有一个交点，则t的取值范围是．11．如图1，直角坐标系中，OT为第一象限的角平分线，，，点P为OA上一动点，Q为y轴上一动点，，以PQ为直径的圆与OT相交于点C．(1)若，求点P坐标；(2)求证：；(3)判断OP、OQ、OC之间的数量关系并证明；(4)如图2，将题设条件“”更换为“”，以PQ为直径的圆与AB相交于M、N两点，则MN的最大值为．12．如图，已知是⊙O中一条固定的弦，点C是优弧上的一个动点（点C不与A、B重合）．(1)如图1，于D，交⊙O于点N，求证：.(2)如图2，设，⊙O半径为5，若平分，交⊙O于点E，四边形的面积是否是定值？若是定值，求出这个定值，若不是定值，求出四边形面积的取值范围．13．在矩形中，cm，cm，点P从点A出发，沿边向点B以每秒1cm的速度移动，同时点Q从点B出发沿边向点C以每秒2cm的速度移动P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，设两点移动的时间为t秒，回答下列问题：(1)如图1，当t为几秒时，△PBQ的面积等于5？(2)如图2，当t＝秒时，试判断的形状，并说明理由；(3)如图3，以Q为圆心，为半径作．①在运动过程中，是否存在这样的t值，使正好与四边形的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；②若与四边形有三个公共点，请直接写出t的取值范围．14．如图1，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD+2∠ACD＝180°，连接AC，BD．(1)求证：AB＝AD；(2)如图2，BD是直径．①已知BC＝，AC＝2+1，求⊙O的半径；②如图3，连接OC，若OC∥AB，AC与BD相交于E点，求的值．15．已知AB为直径，弦CD（不是直径）交AB于H，．(1)如图1，求证：；(2)如图2，E为AO上一点，连接CE并延长CE交于点G，连接DG，，垂足为N，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，点F在CD延长线上，，，若半径为5．，求线段NG的长．参考答案1．(1)(2)①满足条件的的半径长为或6；②6个【分析】（1）根据题意，过点P作于点H．进而得出，即可求出，利用求出即可；（2）①分别利用若与直线，都相切，且圆心在的左侧，过点作于点，则可设，根据即可得出答案，若与直线，都相切，且圆心在的右侧，过点作于点，则可设，根据求出即可；②利用图形分析得出所有的可能即可【详解】（1）解：如图，过点P作于点H．在中，，，，，，，，，．（2）解：①，，，，如下图，若与直线，都相切，且圆心在AB的左侧，过点作于点，则可设．，，解得；若与直线，都相切，且圆心在的右侧，过点作于点，如下图：则可设，，，解得．综上，满足条件的的半径长为或6②如图2，符合题意的圆共有6个．【点睛】此题主要考查了圆的综合应用以及切线的性质以及相似三角形的判定与性质等知识，利用分类讨论得出是解题关键．2．(1)见解析(2)①；②【分析】（1）由圆内接四边形的性质可知，根据等弧或同弧所对圆周角相等得到，，则有，由此即可求解；（2）①如图，作，垂足为，可证，得到，再证，得到，则，根据为的直径，平分，得到，在中，由勾股定理得到，代入计算即可求解；②根据为的直径，平分，得到，，，如图所示，过点作于点，过点作于点，则都是等腰直角三角形，根据锐角三角函数的计算得到，再证明，得到，，由，得到即可求解．【详解】（1）证明：由圆内接四边形的性质可知，又∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴平分；（2）解：①如图，作，垂足为，∵，平分（已证），∴，在与中，，∴，∴，在与中，，∴，∴，∵为的直径，∴，∵平分，∴，∴，∴，在中，，∴，∵，即，∴；②∵为的直径，∴，∵平分，∴，，∵，∴，如图所示，过点作于点，过点作于点，∴，，∴都是等腰直角三角形，∵，，，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，即，解得，．【点睛】本题主要考查圆内接四边形的性质，同弧或等弧所对圆周角相等，直径或半圆所对圆周角为直径，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，锐角三角函数的计算等知识的综合运用，掌握圆与四边形，三角形的综合运用，数形结合思想是解题的关键．3．(1)(2)【分析】本题是圆的综合题目，考查了圆内接四边形的性质，圆心角、弧、弦之间的关系，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，本题综合性强，熟练掌握圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定与性质是解题的关键．（1）将还原后点的对应点为，连接、，则，，求出，由三角形的外角性质即可得出答案；（2）由（1）得，证出，由等腰三角形的性质得出，，设，则，在中，由三角形内角和定理得出方程，解方程即可；【详解】（1）解：将还原后点的对应点为，连接、，如图所示：则，，，；（2）（2）由（1）得，，，，点是翻折所得的中点，，，，，，设，则，在中，由三角形内角和定理得：，解得，即．4．(1)见解析(2)【分析】（1）根据正方形的性质和切线的判定定理即可得到结论；（2）连接，根据切线的性质得到，过作于，推出四边形是矩形，得到，求得，，根据勾股定理和相似三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）证明：四边形是正方形，，是的直径，，，又，，，，，是的切线；（2）解：连接，是的切线，，过作于，则四边形是矩形，，，，，是的中位线，，设，，，，，，，，，，，，．

【点睛】本题考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，垂径定理，三角形的中位线定理，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识并正确作出辅助线是解题的关键．5．(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补，结合已知条件得到，则由勾股定理可证明；（2）连接，根据圆周角定理得到，再证明是的直径，则由勾股定理可证明；（3）在上取一点使，在上取一点使，连接．则和是等腰直角三角形．设为，则，进一步得到，证明四边形为矩形，得到，从而求出，设，推出，再证明，即可证明，利用勾股定理得到，则，求出，则，再证明，即可求出．【详解】（1）证明：四边形为圆的内接四边形，，，，在中，；（2）证明：连接，，，，，是的直径，．；

（3）解：在上取一点使，在上取一点使，连接．，和是等腰直角三角形．设为，

，，，，，四边形为矩形，

，，设，，，

，，，，，在和中，

，，，在中，，，为圆的直径，，即，

，，，．【点睛】本题主要考查了圆与四边形综合，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，圆周角定理，矩形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键．6．(1)见解析(2)【分析】（1）连接，由四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，再由与圆相切证明四边形是矩形即可；（2）可根据进行求解．【详解】（1）证明：连接，是⊙的直径，点O在上，，四边形是平行四边形，，，四边形是平行四边形，与⊙O相切于点D，，四边形是矩形，，是⊙O的半径，且，是⊙O的切线．（2）解：连接，则，，四边形是矩形，，四边形是正方形，，，，

，，，，阴影部分的面积为．【点睛】本题考查圆的切线的判定综合问题和求不规则图形的面积，解题的关键是证明直线与半径垂直，用割补法求不规则图形的面积，利用了平行四边形、矩形以及正方形的判定和性．7．(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）连接，，利用等弧所对的圆心角相等得到，再根据等腰三角形的三线合一即可证的结论；（2）先根据（1）和圆周角定理证得，进而证得，证明四边形是平行四边形即可证得结论；（3）连接，，，，过G作于M，过O作于K，则，设，，，证明平行四边形是菱形和四边形为矩形，得到，再证明，得到，，进而证得四边形是平行四边形，，，，，设，则，利用勾股定理可求得，，，再利用，求得即可求解．【详解】（1）证明：如图1，连接，，∵点A为弧的中点，∴，∴，∵，∴；（2）证明：如图2，连接，，，则，∵，∴，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∴，又，∴；（3）解：如图3，连接，，，，过G作于M，过O作于K，则，设，则，，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴平行四边形是菱形，∴,∴，则；∵，∴∴四边形为矩形，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，即，∴，∴四边形是平行四边形，∴，，∴，∵，∴设，则，∴，即，∴，则，∴，则，∴，，则，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴，∴．【点睛】本题考查圆的综合问题，涉及等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，垂径定理、圆周角定理，解直角三角形，特殊平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，综合程度较高，难度较大，需要学生灵活运用所学知识，第（3）作出合适的辅助线是解答的关键．8．(1)①见解析；②(2)存在，最大值为【分析】（1）①根据角平分线的作图方法画出，在连接即可；②由点是的中点，得出．根据等腰三角形的性质得出．结合是的直径，即得出经过圆心O，即，最后根据勾股定理求解即可．（2）连接，过点D作于点E，交于点，过点C作．由题意易证为等边三角形．根据，即得出为直径，是的中点．根据为等边三角形，可得出和边上的高都为定值，再根据根据，即得出当最大时，最大，此时点C与点重合，即当点C为中点时，最大，此时为直径，得出此时．易求出，结合勾股定理和含30度角的直角三角形的性质得出，，进而可求出，又易证，得出，从而可求出，即点C在运动过程中，四边形的面积存在最大值，最大值为．【详解】（1）解：①如图1，即为所作图形；②∵点是的中点，∴．∵是的平分线，∴．∵是的直径，∴经过圆心O，∴．∵的半径为6，∴，∴；（2）点C在运动过程中，四边形的面积存在最大值．理由：如图，连接，过点D作于点E，交于点，过点C作．∵，∴，，∴．∵四边形为内接四边形，∴，∴为等边三角形．∵，∴为直径，是的中点．∵，∴．∵为等边三角形，∴和边上的高都为定值，∴当最大时，最大，此时点C与点重合，∴当点C为中点时，最大，此时为直径，∴，如图3．∵的半径为6，∴．∵，∴，∴，∴．∵，∴，∴，∴，∴点C在运动过程中，四边形的面积存在最大值，最大值为．【点睛】本题考查作图—角平分线，勾股定理，圆周角定理的推论，垂径定理，弧、弦、圆心角的关系，圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，综合性强．正确作出辅助线，并利用数形结合的思想是解题关键．9．(1)见解析(2)当点运动时，的度数不会变化，的度数为【分析】（1）连接，根据等边三角形的性质可得，，再利用同弧所对的圆周角相等可得，从而可得，然后利用等弧所对的圆周角相等可得，从而利用证明，进而可得，最后利用等量代换可得，从而可得，再利用圆内接四边形对角互补以及平角定义可得，即可解答；（2）根据等弧所对的圆周角相等可得，然后利用三角形的外角性质可得，即可解答．【详解】（1）证明：连接，如图所示，是等边三角形，，，，，，，，，，，，四边形是圆内接四边形，，，，；（2）解：当点运动时，的度数不会变化，理由如下：，，，，的度数为．当点运动时，的度数不会变化．【点睛】本题考查了三角形的外接圆性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．10．(1)半圆O在矩形内的弧的长度为(2)t的值为8或9(3)或【分析】（1）通过判定为等边三角形，然后根据弧长公式求解；（2）通过判定，然后利用全等三角形的性质分析求解；（3）当半圆O与直线相切时，可求得，此时半圆O与直线只有一个交点；当点E与点A重合时，可求得，此时半圆O与直线有两个交点；当点F与点A重合时，可求得，此时半圆O与直线只有一个交点，即可得到t的取值范围．【详解】（1）设与交于点M当时，∵∴∴∴在矩形中，∴又∵∴∴是等边三角形

∴∴即半圆O在矩形内的弧的长度为.（2）连接，∵

∴，∵∴，在和中，∴∴∵

∴∴在中，∴

解得：即t的值为8或9．（3）或理由：当半圆O与直线相切时，过圆心O作于点P则∵四边形为正方形∴又∵∴为等腰直角三角形则∴则，此时半圆O与直线相切；当点E与点A重合时，，此时半圆O与直线有两个交点；当点F与点A重合时，，此时半圆O与直线只有一个交点，则t的取值范围为或．故答案为：或【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，弧长公式的计算，勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定（一线三垂直模型），结合勾股定理列方程是解题关键．11．(1)(2)见解析(3)，证明见解析(4)【分析】（1）证得P为OA的中点即可得出结论；（2）证得为等腰直角三角形，从而得出；（3）连接AC，可证得，进而得出，进一步得出结论；（4）设PQ的中点为，连接，可推出点在以O为圆心，3为半径的圆上运动，作CD与相切，切点为I，且，当在I时，MN最大，进一步得出结果．【详解】（1），，，，，，即P为OA的中点，；（2）PQ为直径，，，为等腰直角三角形，；（3），

证明：连接AC，∵四边形OPCQ是圆的内接四边形，

在和中，，，，，即；（4）如图，设PQ的中点为，连接，，，点在以O为圆心，3为半径的圆上运动，设到MN的距离为d，，，当到MN的距离最小时，MN最大，作CD与相切，切点为I，且，当在I时，MN最大，连接OI并延长交MN与点E，，，，，，，MN的最大值为；故答案为：．【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，圆中的圆周角、弧、弦、之间的关系，确定圆的条件，全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是结合所学知识利用数形结合的思想解决问题．12．(1)见解析(2)【分析】（1）作直径，连接，运用圆周角定理解题即可．（2）运用勾股定理求出的值并通过求出面积与的关系即可．【详解】（1）证明：如图1，作直径，连接，∴，∴，∵，∴，∴，对于：，∴；（2）解：如图2，∵平分，∴，∴当C点在运动时，，连接，∴，设垂足是F，∴，∴，∴，∵∴当时，最大为40．∴．【点睛】本题主要考查圆周角定理的运用，能够运用圆周角定理证明角度关系，垂径定理求线段长度是解题关键．13．(1)1秒或5秒(2)直角三角形，理由见解析(3)①存在，或；②【分析】（1）由题意可知，，从而得到，，然后根据的面积＝5列方程求解即可；（2）由，可求得，，，，由勾股定理可证明，由勾股定理的逆定理可知为直角三角形；（3）①当时，点P与点A重合时，点B与点Q重合，此时圆Q与相切；当正好与四边形的边相切时，由圆的性质可知，然后依据勾股定理列方程求解即可；②先求得与四边形有两个公共点时t的值，然后可确定出t的取值范围．【详解】（1）∵当运动时间为t秒时，，，∴，，∵的面积等于5，∴，∴＝5，解得：，，答：当t为1秒或5秒时，△PBQ的面积等于5；（2）的形状是直角三角形．理由：∵当秒时，，，，，在中，由勾股定理可知：,同理：在和中由勾股定理可得：，,∵，∴，所以的形状是直角三角形；（3）①（Ⅰ）由题意可知圆Q与、不相切，（Ⅱ）如图1所示：当时，点P与点A重合时，点B与点Q重合，∵，∴，∴，∴为圆Q的切线；（Ⅲ）当正好与四边形的边相切时，如图2所示，由题意可知：，，，在中，由勾股定理可知：，即，解得：，（舍去），综上所述可知当或时，与四边形的一边相切；②（Ⅰ）当时，如图1所示：与四边形两个公共点；（Ⅱ）如图3所示：当圆Q经过点D时，与四边形有两个公共点，由题意可知：，，，，由勾股定理可知：，，∵，∴，即，整理得：，解得：，（舍去），∴当时，与四边形有三个公共点．【点睛】本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了三角形的面积公式、勾股定理以及勾股定理的逆定理，根据题意画出图形，求得与四边形有两个公共点时t的值，从而确定出与四边形有三个公共点时t的取值范围是解题的关键．14．(1)见解析(2)①，②【分析】（1）、由圆内接四边形对角互补可知，则由同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，再由同圆或等圆中，弦、弧、圆心角之间的关系可证．（2）、①过点B作BH⊥AC于点H，易证△BAD是等腰直角三角形，由同弧所对的圆周角相等，可得△BHC是等腰直角三角形，再用勾股定理即可得证；②延长CO交AD于G，作OM⊥AB于M，根据三角形面积公式及已知条件，可得，设半径为r，用r表示OM、CG，代入即可求解．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∵∠BAD+2∠ACD＝180°，∴∠BCD＝2∠ACD，∵∠ACD+∠ACB＝∠BCD，∴2∠ACD＝∠ACD+∠ACB，∴∠ACD＝∠ACB，∴