2025年中考数学总复习《线段问题（旋转综合题）》专项检测卷附答案

第第页答案第=page11页，共=sectionpages22页2025年中考数学总复习《线段问题（旋转综合题）》专项检测卷附答案学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．在中，，，根据题意完成下列问题：(1)如图①，点为内的点，连接，，，将绕着点按逆时针方向旋转后得．连接，，若，，，求证：．(2)如图②，若点是中斜边上的点（点不与点、重合），试求、、的数量关系，并说明理由．2．在中，，以点为中心，将顺时针旋转，得到；再以点为中心，将顺时针旋转，得到；连结，

(1)如图，若，，求的长；(2)如图，，探究与的位置关系，并说明理由．3．在中，，点D是线段上的动点（不与点B，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段．(1)连结，证明：．(2)在线段延长线上取一点F，满足，作点E关于直线的对称点G，连接，，补充图形，直接写出的大小，并说明理由．4．如图1，在中，，，点D在上，交于点E，F是中点．(1)线段与线段的数量关系是_____，位置关系是_____；(2)如图2，将绕点B逆时针旋转，其他条件不变，线段与线段的关系是否发生变化？写出你的结论并证明；(3)将绕点B逆时针旋转一周，如果，，直接写出线段长的取值范围_______．5．如图1，已知、都是等腰直角三角形，，，E为的中点，将绕点B顺时针旋转角，如图2，连接．(1)求证：；(2)当时，求的值；(3)当A、D、E三点在同一直线上时，求的长．6．如图，已知点是等边内一点，且，，．(1)求的度数；以下是甲，乙，丙三位同学的谈话：甲：我认为这道题的解决思路是借助旋转，我选择将绕点顺时针旋转60°或绕点逆时针旋转60°；乙：我也赞成旋转，不过我是将进行旋转；丙：我是将进行旋转．请你借助甲，乙，丙三位同学的提示，选择适当的方法求的度数；(2)若改成，，，的度数＝______°，点到的距离为______；类比迁移：(3)已知，，，，，，求的度数．7．在中，，，为平面内的一点．(1)如图1，当点在边上时，，且，求的长；(2)如图2，当点在的外部，且满足，求证：；(3)如图3，，当、分别为、的中点时，把绕点顺时针旋转，设旋转角为，直线与的交点为，连接，直接写出旋转中面积的最大值．8．如图，在中，，，于点D．点G是射线AD上一点，过G作分别交AB、AC于点E、F：

(1)如图①所示，若点E，F分别在线段AB，AC上，当点G与点D重合时，求证：；(2)如图②所示，当点G在线段AD外，且点E与点B重合时，猜想AE，AF与AG之间存在的数量关系并说明理由；(3)当点G在线段AD上时，请直接写出的最小值．参考公式：9．已知，在中，，，E是边上一点．(1)如图1，点D是边上一点，连接，将绕点E逆时针旋转至，连接．若，，求的面积；(2)如图2，连接，将绕点E顺时针旋转至，连接，取的中点N，连接．证明：；(3)如图3，已知，连接，P为上一点，在的上方以为边作等边，刚好点Q是点P关于直线的对称点，连接，当取最小值的条件下，点G是直线上一点，连接，将沿所在直线翻折得到（与在同一平面内），连接，当取最大值时，请直接写出的值．10．在中，，是上一点．(1)如图1，是中点，，，，求线段的长度；(2)如图2，，点在线段上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，交于点，当时，试猜想与的数量关系，并证明你的结论；(3)如图3，在（2）的条件下，点在上，点在上，，连接，若，直接写出的最小值．11．在中，，，点是边上的一动点．是边上的动点．连接并延长至点，交于，连接．且，．

(1)如图1，若，，求的长．(2)如图2，若点是的中点，求证：．(3)如图3，在（2）的条件下，将绕点顺时针旋转，旋转中的三角形记作△，取的中点为，连接．当最大时，直接写出的值．12．通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．原题：如图1，点E、F分别在正方形的边上，，连接，试猜想之间的数量关系

(1)思路梳理：把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，由，得，，即点F、D、G共线，易证_________，故之间的数量关系为_________．(2)类比引申：如图2，点E、F分别在正方形的边的延长线上，．连接，试猜想之间的数量关系为_________，并给出证明．(3)联想拓展：如图3，在中，，点D、E均在边上，且．若，直接写出和的长．13．在中，，，，点是边上任意一点，点是直线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转，旋转角为，得到线段，连接．

(1)如图1，，，点在射线上，求的长；(2)如图2，，于点，，猜想线段之间存在的数量关系，并证明你的猜想：(3)如图3，，点在射线上，点是上一点且满足，连接，直接写出当最小时，点到的距离．14．如图所示，等腰直角中，．(1)如图1所示，若D是内一点，将线段绕点C顺时针旋转得到，连结，，则线段、的关系为______；(2)如图2所示，若D是外一点，将线段绕点顺时针旋转得到，且，求证：；(3)如图3所示，若是斜边的中线，为下方一点，且，，，求出的长．15．如图，将线段绕点A逆时针旋转α到，点D是平面内一点，连接，，，，且．

(1)如图1，当时，直接写出，，之间的数量关系；(2)如图2，当时，探究是否为定值，并说明理由；(3)当，，时，请直接写出的长．参考答案1．(1)证明见解析(2)，理由见解析【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得到，根据旋转的性质得到，，求得，根据全等三角形的性质得到，求得，根据平行线的判定定理得到；（2）根据旋转的性质得到，，求得，根据全等三角形的性质得到，，根据勾股定理得到结论．【详解】（1）证明：∵，，，∴，∴，∵将绕着点按逆时针方向旋转后得，∴，，∴，∵，，∴，即，在和中，，∴，∴，∴，∴，∴．（2）解：，理由：将绕着点逆时针旋转得到，连接，，则，，∵，，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴，∴．【点睛】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，正确地作出辅助线是解题的关键．2．(1)(2)平行，理由见详解【分析】（1）通过旋转的性质得，和，证明四边形为正方形，再根据正方形的性质即可求出．（2）过点作交于点，由旋转的性质和平行线的性质可得，易证，因为，所以四边形为平行四边形，故可得出．【详解】（1）解：根据旋转性质可得当时，，∴四边形为矩形，∵旋转的性质可得，∴四边形为正方形，∴．∴的长为．（2）与的位置关系是平行．理由：如图，过点作交于点，

则，由旋转的性质可得，，∴，∴，∴，又∵，∴四边形为平行四边形，∴．∴与的位置关系是平行．【点睛】本题考查了正方形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，旋转的性质，平行线的性质的判定，等腰三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．3．(1)见详解(2)【分析】（1）连接并延长，交于点M，取中点N，连接，由等腰三角形的“三线合一”得到，，可证明，再根据平行线的性质即可求证；（2）在射线上取点H，使得，连接，先证明，则可得，再证明，则，继而，可证明，因此，可证明，继而求解．【详解】（1）证明：连接并延长，交于点M，取中点N，连接，由题意得，，∵中点为点N，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，即：；（2）解：，在射线上取点H，使得，连接，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，∵，∴，∴∵点E与点G关于对称，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了旋转变换以及轴对称变换的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．4．(1)＝，⊥；(2)线段与线段的关系不发生变化．证明见解析；(3)．【分析】（1）由直角三角形斜边中线定理即可证明，进而可证；（2）如图，延长到M使得，延长到N，使得，连接、、、，延长交于H，交于O，证明，推出，再利用三角形中位线定理即可解决问题；（3）分别求出的最大值、最小值即可解决问题．【详解】（1）∵，，∴，∴，，∴，，∵，，∴，∴，∴，，故答案为：＝，⊥；（2）线段与线段的关系不发生变化．理由如下：如图，延长到M使得，延长到N，使得，连接、、、，延长交于H，交于O，

∵，，∴，∵，，∴，∴，∴，同理可证，∵，∴，∴，∴，，∵，，∴，，同理可证，，∴，∵，，∴，∴，∴，；（3）如图2，连接．

∵，∴如图3时取得最大值时，点E落在上时，

∵，，∴，∵，∴，∵点F是的中点，∴，∴的最大值；如图4中，当点E落在的延长线上时，的值最小，

∵，，∴，∵点F是的中点，∴，∴的最小值，综上所述，．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，三角形三边的关系，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．5．(1)见解析(2)(3)长为或．【分析】此题是相似形综合题，主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，判断出是等边三角形是解本题的关键．（1）先判断出，再判断出夹角相等，即可得出结论；（2）先判断出是等边三角形，进而判断出，求出，借助（1）的结论得出比例式，即可得出结论；（3）分两种情况：先判断出，利用勾股定理求出，进而得出，最后借助（1）结论得出比例式，即可得出结论．【详解】（1）证明：在中，，，，，同理：，，，，，，；（2）如图2，旋转前，点是的中点，，在中，取的中点，连接，，，由旋转知，，是等边三角形，，，，，，，由（1）知，，，；（3）①当点在线段上时，如图3，，，在中，根据勾股定理得，，在中，，，由（1）知，，，；②当点在线段的延长线上，如图4，同①的方法得，，，由（1）知，，，，即：满足条件的长为或．6．(1)(2)，4.(3)【分析】（1）甲：将绕点逆时针旋转，得到，连接，分别计算与的度数即可得到的度数．乙：将绕点顺时针旋转，得到，连接，分别计算与的度数即可得到的度数．（2）利用（1）中的方法，同理可得，再由30度直角三角形性质可求点到的距离；（3）利用（1）中的方法，将绕着点顺时针旋转，得到，同理可得，，由此即可求出．【详解】（1）解：（1）选择甲：如图1，作，且，连接，，则是等边三角形，，，是等边三角形，，，，，，，，；乙：如图2，同理可得，，，；丙：如图3同理可得，，，；（2）同理（1）可得：，∴，如图4，过点作的垂线，垂足为，∴，∴，故答案为：，4.（3）如图5，将绕着点顺时针旋转，得到，连接，∴，，，∴，，∴，∴【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了旋转和平移的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造等边三角形和全等三角形，依据图形的性质进行计算求解．7．(1)(2)见解析(3)【分析】（1）将沿折叠，得到，连接，利用全等三角形的判定与性质以及勾股定理求解即可；（2）过作，且，连接，利用全等三角形的判定与性质以及勾股定理求解即可；（3）连接交于G，证明出，得到，然后证明出为直角三角形，点P在以中点M为圆心，为半径的圆上，连接交所在直线于点N，当时，点P到直线的距离最大，然后利用三角形中位线和勾股定理求解即可．【详解】（1）证明：如图，将沿折叠，得到，连接，

∵，∴，将沿折叠，得到，∴∴，，，∴，∴为等边三角形，为等腰直角三角形∴，∴；（2）如图，过作，且，连接，

∵∴，又∵，∴∴又∵，∴，，即，，∴∴；（3）如图3，连接交于G点∵绕A点旋转∴，，∵∴∴∴∵∴∴为直角三角形∴点P在以中点M为圆心，为半径的圆上，连接交所在直线于点N，当时，点P到直线的距离最大，∵∴A、P、B、C四点共圆∵，∴N是的中点∵M是的中点∴∵，∴，∴，∴，∴点P到所在直线的距离的最大值为．∴的面积最大值为．【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，三角形中位线性质，四点共圆性质，勾股定理等知识，作出辅助线是解本题的关键．8．(1)证明见详解(2)，理由如下(3)【分析】（1）根据等腰三角形的性质和全等三角形的性质即可求证；（2）过点作上交延长线于点，由等腰直角三角形可得，，由““可证，可得，可得结论；（3）将绕点顺时针旋转得到△，连接，，过点作，交的延长线于点，由旋转的性质可得，则当点，点，点，点共线时，的值最小，最小值为的长，由角所对直角边是斜边一半和勾股定理可求解．【详解】（1）解：由题：在中，，，于点，,则也是上的中点，即是的垂直平分线，，，，，，，．（2），理由如下：如图1，过点作交延长线于点，AI

，，，，，，，，，，又，，，．（3）如图2，将绕点顺时针旋转得到△，连接，，过点作，交的延长线于点，

，，，，，，是等边三角形，，，当点，点，点，点共线时，的值最小，最小值为的长，，，，，，，的最小值为：．【点睛】考查综合运用旋转的知识作辅助线证明的能力，用旋转的知识解决几何最值问题，对于与等腰直角三角形有关的证明题往往要进行图形的旋转，把要证明的要素集中到一个熟悉的图形中进行，最值问题常常要通过轴对称和旋转把要求的线段之和或差转化为俱有固定端点的折线，然后据两点之间线段最短来解决．9．(1)(2)见解析(3)【分析】（1）证明，可得，由三角形的面积公式可求解；（2）作辅助线如解析图，证明，可得，进一步可得，证明，可得，从而可得结论；（3）作辅助线如解析图，可得当点，P，N三点共线时，有最小值，由折叠的性质可得，进而得点K在以C为圆心，为半径的圆上运动，可得当点K落在的延长线上时，有最大值，然后由直角三角形的性质和等边三角形的性质可求解．【详解】（1）解：如图1，过点F作直线于H，

∵将绕点逆时针旋转至，∴，∵，∴，∵，∴∴，∴，∴，∴的面积；（2）证明∶如图2，过点M作，交直线于点G，过点E作，交于Q，

∵，∴，∵点N是的中点，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵将绕点E顺时针旋转至，∴，∴，∴，∴，∴，∴；（3）解：如图，作点C关于的对称点，连接，

∵点Q是点P关于直线的对称点，∴平分垂直平分，∵是等边三角形，∴，∴，∵点C与点关于对称，∴，∴，∴为等边三角形，∵，∴当点，P，N三点共线时，有最小值，∵将沿所在直线翻折得到，∴，∴点K在以C为圆心，为半径的圆上运动，∴当点K落在的延长线上时，有最大值，∵为等边三角形，，∴垂直平分，∵，∴，∵，，∴，，

∴，∵将沿所在直线翻折得到，∴，∴，，∴，∴，∵，∴．【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，折叠的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，确定点P的位置是解题的关键．10．(1)(2)，证明见解析(3)【分析】（1）过点E作交于点G，由题意得到，利用勾股定理得到，根据是中点，，得到，推出是等腰三角形，即得到，利用勾股定理求出，，即可求出的长；（2）延长，在延长线上截取，取的中点Q，连接，证明，得到，设，则，根据点C，Q分别为的中点推出，得到，由三角形外角的性质得到，推出是等腰三角形，故得到，即可得出结论；（3）连接，取的中点P，连接，将绕点G逆时针旋转得到，过点P作，交于点S，交于点T；根据是等腰直角三角形，得，利用勾股定理求得，则，由题意证明，得到，进而得到，是等腰直角三角形，推出，，此时当点N与点T重合时，有，有最小值，则有最小值，最后根据，利用锐角三角函数求解出的长即可得出的长，即可得出结果．【详解】（1）解：如图，过点E作交于点G，

，，，即，，，即，，，是中点，，，，是等腰三角形，，，，，，；（2）解：，理由如下：如图，延长，在延长线上截取，取的中点Q，连接，

线段绕点顺时针旋转得到线段，，，，，，，，，设，则，点C，Q分别为的中点，，，，是等腰三角形，，，，即；（3）解：如图，连接，取的中点P，连接，将绕点G逆时针旋转得到，过点P作，交于点S，交于点T；

是等腰直角三角形，点P是的中点，，，，，，，则，，，，，，，，，是等腰直角三角形，，，如图，此时当点N与点T重合时，有，有最小值，则有最小值，

，在中，，，，都是直角三角形，，，设，则，，，，，，，即，解得：，，．【点睛】本题考查了三角形综合问题，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线的性质，解直角三角形，正确构造辅助线，证明三角形全等和构造直角三角形是解题的关键．11．(1)(2)见解析(3)【分析】（1）解等腰三角形求得，解斜三角形，求得，证明，进而求得结果；（2）作于，作于，连接，作交的延长线于，由得出，证明可得，解斜三角形可得，进而得出和的关系，进一步求得结论；（3）可得出点在以为圆心，为半径的圆上运动，当点运动到的延长线交的处时，最大，然后解直角三角形和斜三角形，进一步得出结果．【详解】（1）解：如图1，

作于，作交的延长线于，，，，，在四边形中，，，，，在中，，，，，，，在和中，，，；（2）证明：如图2，

作于，作于，连接，作交的延长线于，由（1）知：，，，，点是的中点，，，，，，点、、、共圆，，，，，，在中，，在和中，，，，，，，设，则，在中，，，，，，，，，，，，，，；（3）解：如图3，

由（2）得：，点是的中点，，，，点在以为圆心，为半径的圆上运动，当点运动到的延长线交的处时，最大，设，，，，，，，在中，，，，，，，．【点睛】本题考查了旋转综合题，涉及了全等三角形的判定与性质、勾股定理了、三角函数等．第三问的难度较大，确定动点的运动轨迹是解题关键．12．(1)，(2)，证明见解析(3)，【分析】（1）先根据旋转得：，计算，即点、、共线，再根据证明，得，可得结论；（2）作辅助线：把绕点逆时针旋转至，证明，得，所以；（3）同理作辅助线：把绕点逆时针旋转至，证明，得，先由勾股定理求的长，证明，求出，，继而得到，过A作，垂足为，根据等腰直角三角形的性质求出，可得，利用勾股定理可得．【详解】（1）解：如图1，把绕点逆时针旋转至，可使与重合，即，由旋转得：，，，，，即点、、共线，四边形为矩形，，，，，，在和中，，，，；故答案为：，；（2）如图2，，理由是：把绕点逆时针旋转至，可使与重合，则在上，

由旋转得：，，，，，，，，在和中，，，，；（3）如图3，把绕点逆时针旋转至，可使与重合，连接，，

由旋转得：，，，，，，，，，，由勾股定理得：，，，，，，，，，，，．，，，，过A作，垂足为，∵，，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质，通过类比联想，引申拓展，可达到解一题知一类的目的，本题通过旋转一三角形的辅助线作法，构建另一三角形全等，得出结论，从而解决问题．13．(1)；(2)，理由见解析；(3)．【分析】（1）过点作于点，由旋转及等腰直角三角形的性质得，，，，，进而求得，然后分别在、和中，解直角三角形即可得解；（2）如图，过点作，交的延长线于点，根据平行线的性质得，再利用三角形的内角和定理以及旋转的性质得，从而得最后证明，，即可得解；（3）如图，在、上分别取点、，使得，则，连接，延长到，使得，连接，先证、和都是等边三角形，得，，，，进而证明，得，由三角形相似得，于是有点在等边的外接圆的上运动，如图，连接、，分别过、作，于点、，则，利用解直角三角形及勾股定理以及相似三角形的性质即可得解．【详解】（1）解：过点作于点，

∵，，，点是边上任意一点，点是直线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转，旋转角为，，∴，，，，∴，∵，∴，在中，，即，解得，∴，在中，，即，∴，在中，，即，解得；（2）解：，理由如下：如图，过点作，交的延长线于点，

∵，∴，，∵，∴，化简得，∵，，，点是边上任意一点，点是直线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转，旋转角为，∴，，，∴，∵，∴，∴，∴，，即，∴，∵在和中，，，，，∴，∴，∴，∵，，∴，，∴，，∴，∴；（3）解：如下图，在、上分别取点、，使得，则，连接，延长到，使得，连接，

∵，，，点是边上任意一点，点是直线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转，旋转角为，，∴和都是等边三角形，∴，，，∴是等边三角形，∴，∵，，∴，∵，即，，∴，，∴，∵，∴，∴，∴点在等边的外接圆的上运动，如图，连接、，分别过、作，于点、，则，

∴，∵，∴，∵，，∴，∴即，解得，∴，，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，即，解得．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及性质、勾股定理、等边三角形的判定及性质、圆周角定理、垂径定理以及解直角三角形等知识，综合性较强，根据题意，作出相应辅助线是解题的关键．14．(1)垂直且相等(2)见解析(3)【分析】（1）由等腰直角三角形性质得，再由旋转的性质得，，然后由证，即可得出结论；（2）连接、，交于点，交于点，连接，证，得，再证，则，然后由等腰三角形的性质得，即可得出结论；（3）过点作，且，连接、，并延长交于点，交于点，连接，证，得，，再证，则是等腰直角三角形，得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解