2025年中考数学总复习《反比例函数综合》专项检测卷附答案

第第页答案第=page11页，共=sectionpages22页2025年中考数学总复习《反比例函数综合》专项检测卷附答案学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到一条坐标轴的距离等于a，到另一条坐标轴的距离不大于a的点叫做该函数图象的“a级方点”．例如，点为双曲线的“3级方点”，点为直线的“级方点”．(1)下列函数中，其图象的“1级方点”恰有两个的是（只填序号）；①y＝x；②；③．(2)判断直线的“2级方点”的个数，并说明理由；(3)已知y关于x的二次函数，当该函数图象的“a级方点”恰有三个时，求a的值．2．如图，在平面直角坐标系中，已知四边形是矩形，且，，若反比例函数的图象经过线段的中点A，交于点B，交于点F．设直线的解析式为．(1)求反比例函数和直线的解析式；(2)求的面积．3．已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点；与x轴交于点C．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)若点P在y轴上，且满足求点P的坐标；(3)我们将有一个内角为的三角形称为“半直角三角形”，这个角所对的边为“半直角边”．反比例函数在第四象限的图象上是否存在点Q，使得是不以为“半直角边”的“半直角三角形”？若存在，请求出点`Q的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点是．

(1)求出这两个函数的表达式，并直接写出这两个函数图象的另一个交点的坐标．(2)写出使反比例函数大于正比例函数的x的取值范围．(3)点在正比例函数的图象上，点，点，点都在反比例函数的图象上，比较，，，的大小关系，并用“<”连接．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=ax+b与双曲线交于A（1，3），B（3，m）两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，连接OA，OB．(1)求a，b，k的值；(2)求△OAB的面积；(3)在x轴上是否存在点P，使△PCD的面积等于△OAB的面积的3倍，若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，平行四边形的顶点在轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数（，）的图象经过、两点．(1)求直线的解析式；(2)若点的坐标为，求平行四边形的面积．7．如图，直线（，为常数，）与双曲线（为常数且）相交于，两点．(1)求反比例函数的解析式；(2)请直接写出关于的不等式的解集；(3)连接、，求的面积．8．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点C，与x轴交于点A，过点C作轴，垂足为B，连接．已知四边形是平行四边形，且其面积是6．(1)求点A的坐标及m和k的值；(2)①求一次函数图象与反比例函数图象的另一个交点坐标；②请结合图象，直接写出不等式的解集．(3)若直线与四边形有交点时，直接写出t的取值范围．9．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，．

(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)结合图像直接写出不等式时，的取值范围；(3)在轴上存在一点，使得是以为腰的等腰三角形，直接写出点M的坐标．10．如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点．(1)求一次函数的解析式；(2)若点关于轴的对称点为D点，连结、，求的面积．11．已知，在中，边的长为，边上的高为，的面积为3．小华准备画出此函数图像，列表如下：x…1234…y…632…(1)根据小华的列表直接写出y关于x的函数关系式______，x的取值范围是______．(2)请你在如图所示的坐标系中帮助他描点并连线，画出此函数图象；(3)如果，是此函数图象上的两个点，且，判断与的大小．12．如图，矩形的顶点O与坐标原点重合，点C在x轴上，点A在对角线OB上，且，．反比例函数的图象经过点A，交，于点M，N，，连接，，．(1)求反比例函数的解析式及点N的坐标；(2)若点P在x轴上，且的面积与四边形的面积相等，求点P的坐标．13．在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x与反比例函数的图象交于A、B两点，已知A点的纵坐标为，将直线y＝﹣x向上平移后与反比例函数y＝的图象在第二象限交于点C．(1)求k的值与点A的坐标；(2)若△ABC的面积为2，求平移后的直线函数解析式；(3)在（2）的条件下，将△ABC绕着点A逆时针旋转∠BAC，求点B、点C旋转后的点B'和C′的坐标．14．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于F，E两点，与反比例函数的图象交于点和点B．(1)求反比例函数解析式和B点坐标；(2)如图1，连接OA，P为线段OF上一点，使得，求P点坐标；(3)在反比例函数图象上是否存在一点M（不与A重合），直线AM分别与x轴，y轴交于点C，D两点，使得以A，C，F为顶点的三角形与相似，若存在，请求出此时直线AM的解析式；若不存在，请说明理由．15．定义：在平面直角坐标系中，点P的坐标为，点Q的坐标为．若，其中k为常数，且，则称点Q是点P的“k级变换点”．例如，点是点的“级变换点”．(1)函数的图象上是否存在点的“k级变换点”？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．(2)点与其“k级变换点”B分别在直线上，在上分别取点，若求证：(3)关于x的二次函数的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线上，求n的取值范围．参考答案1．(1)①③(2)两个，理由见解析(3)2，，【分析】（1）函数图象的“1级方点”是指函数图象上落在以原点为中心，边长为2且一边平行于x轴的正方形上的点，根据定义分别进行求解即可；（2）由可知函数过定点，由“a级方点”的定义可知，函数图象的“2级方点”是指函数图象上落在以原点为中心，边长为4且一边平行于x轴的正方形上的点，由点恰好落在该正方形的内部，直线与该正方形必有两个交点；（3）二次函数，则抛物线的开口向下，顶点为，分抛物线顶点在和抛物线经过点两种情况进行求解即可．【详解】（1）解：函数图象的“1级方点”是指函数图象上落在以原点为中心，边长为2且一边平行于x轴的正方形上的点，①直线与正方形有两个交点和；②反比例函数与正方形有两个交点；③抛物线与正方形有两个交点和．故答案为：①③；（2）的“2级方点”有两个，理由：∵，∴函数过定点，由“a级方点”的定义可知，函数图象的“2级方点”是指函数图象上落在以原点为中心，边长为4且一边平行于x轴的正方形上的点，∵点恰好落在该正方形的内部，直线与该正方形必有两个交点，∴的“2级方点”有两个；（3）∵二次函数，∴抛物线的开口向下，顶点为，①当抛物线顶点在时，抛物线恰有三个“a级方点”，如图，

则，解得；②当抛物线经过点时，抛物线恰有三个“a级方点”，如图，则，解得（不合题意，舍去），∴a的值为2，，．【点睛】此题主要考查了二次函数、一次函数、反比例函数的图象和性质等知识，熟练掌握函数图象的“a级方点”的定义是解题的关键．2．(1)反比例函数解析式为，直线的解析式为(2)【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法确定函数解析式．（1）先利用矩形的性质确定点坐标，再确定点坐标为，则根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，即反比例函数解析式为；然后利用反比例函数解析式确定点的坐标为，点坐标为，，再利用待定系数法求直线的解析式；（2）利用的面积进行计算求得即可．【详解】（1）四边形是矩形，且，，点坐标为，点为线段的中点，点坐标为，，反比例函数解析式为；把代入得，则点的坐标为；把代入得，则点坐标为，，把、的坐标代入得，解得，直线的解析式为；（2）的面积．3．(1)，(2)或(3)或【分析】（1）待定系数法进行求解即可；（2）设，根据，结合，列出方程进行求解即可；（3）分和两种情况，进行讨论求解即可．【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点；∴，∴，∴，，∴，解得：，∴；（2）设直线交轴与点，∵，∴当时，，时，，∴，∴，设，∴，∵，∴，∴，∴或，∴或；（3）存在；①当时，将绕点旋转90度得到，连接，交的延长线于点，如图，则：，，，∵，∴，∴，∴，设的解析式为：，则：，∴，∴，联立，解得：或（舍去）；∴；②当时，将绕点旋转90度得到，连接交于点，则，，∴，∴，同法可得：的解析式为：，联立，解得：或，∴；综上：或．【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，待定系数法求函数解析式，分割法求面积，旋转的性质，综合性强，难度大，计算量大，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．4．(1)，，这两个函数图象的另一个交点的坐标是(2)或(3)【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，正比例函数与反比例函数的图象及性质，正比例函数与反比例函数的交点问题．（1）把代入正比例函数与反比例函数的解析式中即可解答，解两函数组成的方程组即可得到另一交点坐标；（2）根据函数图象即可解答；（3）分别求出，，，，即可解答．【详解】（1）∵正比例函数的图象与反比例函数的图象都过点，∴，，∴正比例函数为，反比例函数为．解方程组得，，∴这两个函数图象的另一个交点的坐标为；（2）由图象可得，反比例函数大于正比例函数的x的取值范围为或．（3）∵在正比例函数的图象上，∴，∵点，点，点都在反比例函数的图象上，∴，，，∴．5．(1)a=-1，b=4，k=3(2)4(3)存在，P（-2，0）或（10，0）【分析】（1）把A点的坐标代入反例函数解析式即可求出反比例函数解析式，进而得出B的坐标，把A、B的坐标代入一次函数解析式即可求出一次函数解析式；（2）先由直线解析式求得D（0，4），C（4，0），根据△AOB的面积=△BOD的面积-△AOD的面积求得△AOB的面积；（3）根据题意得到PC•OD=12，即=12，即可求得PC的长，从而求得P的坐标．【详解】（1）将点A（1，3）代入y=得：3=，解得k=3，故反比例函数的表达式为：y=，将点B（3，m）代入y=得：m=1，故点B（3，1），将点A（1，3），B（3，1）代入y=ax+b，得，解得；故a=-1，b=4，k=3；（2）由一次函数y=-x+4可知，D（0，4），C（4，0），则△AOB的面积=△BOD的面积-△AOD的面积=-=4；（3）∵△PCD的面积等于△OAB的面积的3倍．∴PC•OD=12，即=12，∴PC=6，∴P（-2，0）或（10，0）．【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式的应用，主要考查学生的计算能力．6．(1)(2)【分析】（1）根据待定系数法直接求解析式；（2）根据解析式求出B、C的坐标，进行求解即可．【详解】（1）设的解析式为，∵经过点，则∴，∴的解析式为（2）∵点的坐标为，代入得：∴点纵坐标为3，设∵反比例函数（，）的图象经过点、，∴，∴∴【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式、反比例函数图象上的点的坐标特征，熟练掌握知识点是解题的关键．7．(1)(2)或(3)【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合应用，求一次函数和反比例函数解析式，解题的关键是数形结合，熟练掌握待定系数法．（1）用待定系数法求出反比例函数解析式即可；（2）根据函数图象得出不等式的解集即可；（3）先求出点，然后用待定系数法求出直线的解析式，然后求出直线与y轴的交点坐标，再求出三角形的面积即可．【详解】（1）解：由题意，将点代入双曲线解析式，，．双曲线为．（2）解：根据函数图象可知：当或时，一次函数图象在反比例函数图象的上面，∴关于的不等式的解集为或．（3）解：在双曲线为，，∴，将，代入，得：，解得：，，设与轴交于点，则坐标，，答：的面积为．8．(1)点A的坐标为，，(2)①；②或(3)【分析】（1）根据可得一次函数的图象过定点，进而可得，结合四边形的面积求出点C的坐标，代入一次函数和反比例函数解析式即可求出m和k的值；（2）①将一次函数与反比例函数解析式联立，可求另一个交点坐标；②利用图象求解；（3）当直线经过点C时，t取最大值，当直线经过点A时，t取最小值，由此可解；【详解】（1）解：，无论k取何值，当时，y的值恒为0，一次函数的图象过定点，点A的坐标为，，四边形是平行四边形，且其面积是6，，，，点C的坐标为，将代入，得：，解得，将代入，得：，解得；（2）解：①由（1）得一次函数解析式为，反比例函数解析式为：，令解得或，点C的坐标为，另一个交点的横坐标为6，将代入，得，另一个交点的坐标为；②由图可得，当或时，反比例函数的图象在一次函数的图象上方，不等式的解集为：或；（3）解：如图所示，当直线经过点C时，t取最大值，当直线经过点A时，t取最小值，将点代入，得，解得；将点代入，得，解得，若直线与四边形有交点时，t的取值范围为．【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，涉及一次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，图象法求不等式的解集等，熟练运用数形结合思想是解题的关键．9．(1)，(2)或(3)或【分析】（1）先将代入求出反比例函数解析式，再求出点B坐标，将点A和点B的坐标代入，即可求解一次函数解析式；（2）将变形为，根据图形和交点坐标，找出反比例函数图形高于一次函数图象时，自变量的取值范围即可；（3）根据题意进行分类即可，①当时，②当时．【详解】（1）解：∵点在反比例函数上，∴代入得：，∴反比例函数的解析式为，∵点在反比例函数上，代入得：，即，将，代入中，，解得：；∴一次函数的解析式为；（2）解：∵，∴，由图可知：当或时，；（3）解：把代入得：，把代入得：，解得：，∴，∴，①当时，∵点M在y轴上，∴，

②当时，∵，，∴，∴，

综上：，．【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数综合，根据函数图象求不等式解集，等腰三角形的性质，解题的关键是刷脸掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤，正确识别函数图象，掌握等腰三角形“三线合一”．10．(1)(2)30【分析】（1）由反比例函数的解析式求出点A、B两点坐标，利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；（2）利用一次函数的解析式求出点C坐标，根据对称的性质得出点D坐标，利用即可求得结论．【详解】（1）把，代入得：，，∴，∴将和代入得，解得∴一次函数的解析式为：（2）把代入得x=-6，∴∴∴【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法，反比例函数图象上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，关于轴对称的点的性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．11．(1)(2)见解析(3)【分析】（1）直接根据三角形的面积公式可求，利用实际问题有意义即可写出的取值范围；（2）描点，然后用平滑的曲线连接即可；（3）利用反比例函数的增减性即可求解．【详解】（1）解：根据题意得，，关于的函数关系式为，中，边的长为，的取值范围是．故答案为：，（2）描点，画出函数的图象，如图所示：（3）反比例函数中，，当时，随的增大而减小，，，，是函数图象上的两个点，当时，则．【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．12．(1)反比例函数的解析式为，点N的坐标为(2)点P的坐标为或【分析】（1）作轴于点E，由点的坐标与图形的性质求得点，代入反比例函数解析式求得该双曲线方程；由点M的坐标易得点B的坐标，再由此设点N的坐标为，代入求得n的值即可；（2）．设点P的坐标为，由“的面积与四边形的面积相等”可得，由此求得p的值即可．【详解】（1）解：作轴，由，，可得，．∴点A的坐标为．∴反比例函数的解析式为，由，，可得点M的坐标为．由，，可得．∴点B的坐标为．设点N的坐标为，代入中，得．∴点N的坐标为．（2）解：．设点P的坐标为．由，得．∴点P的坐标为或．【点睛】本题考查了反比例函数综合题，涉及到了待定系数法求反比例函数解析式，矩形的面积公式，三角形的面积公式，锐角三角函数的定义以及反比例函数图象上点的坐标特征等知识点，综合性比较强，但是难度不是很大．13．(1)k＝﹣，A（﹣，）(2)平移后的直线函数解析式为y＝﹣(3)点C′的坐标为（﹣﹣，+）【分析】(1)把点A的纵坐标代入y＝﹣x求得点A的坐标，后根据反比例函数的解析式求解即可．(2)过点C作CD∥y轴交AB于点D，利用计算出CD的长即为向上平移的单位的数．【详解】（1）把y＝代入y＝﹣x得，＝﹣，解得x＝﹣，∴A（﹣，），∵反比例函数的图象经过A点，∴k＝﹣×＝﹣．（2）∵直线y＝﹣x与反比例函数的图象交于A、B两点，∴A、B关于原点对称，∵A（﹣，），∴B（，﹣），∴，过点C作CD∥y轴交AB于点D，则，∴CD＝，根据题意，得四边形CDOQ是平行四边形，故OQ=CD，∴平移后的直线函数解析式为y＝﹣+．（3）分别过B′、C′作y轴的平行线，与过A、B′点分别作的x轴的平行线相交于D、E、F，由，解得或，∴C（，），∵，，，∴，∴∠ACB＝∠AC′B′＝90°，设直线AB′的解析式为y＝ax+b，把A、C的坐标代入得，解得，∴直线AB′的解析式为y＝x+2，∴∠B′AD＝45°，∴AD＝BD′＝AB′＝AB＝，∴B′的坐标为（，），∵∠AC′B′＝90°，∴∠AC′F+∠B′C′E＝90°＝∠C′B′E+∠B′C′E，∴∠AC′F＝∠C′B′E，∴△AC′F∽△C′B′E，∴，设AF＝a，FC′＝b，则EC′＝2a，EB′＝2b，则，解得，∴点C′的坐标为（，）．【点睛】本题考查了反比例函数解析式，一次函数与反比例函数综合，平移问题，待定系数法，勾股定理的逆定理，三角形相似的判定和性质，熟练掌握反比例函数的性质，三角形相似的判定和性质是解题的关键．14．(1)；B(6，1)(2)P(4，0)(3)存在，【分析】（1）把点A的坐标代入直线解析式即可求得点A的坐标，再代入反比例函数即可求得反比例函数的解析式；设点B，代入反比例函数中，可求得点B坐标；（2）由直线解析式可求得E、F两点的坐标，利用面积关系及割补思想即可求得点P的坐标；（3）过点A作AH⊥x轴于点H，利用相似三角形的性质可求得点C的坐标，即可求得直线的解析式．【详解】（1）由题意，把点A坐标代入直线中，得：，即A(3，2)