04空间的曲线及其方程省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件

高等数学北京工商大学杨益民3/23/20251第1页回顾1.三元方程F(x,y,z)=0表示空间一张曲面S。2.表示一张球面。3.表示空间一张平面。4.yoz平面上母线绕oz轴旋转得旋转曲面5.xoy平面上准线方程母线平行于z轴柱面方程为：3/23/20252第2页四、二次曲面三元二次方程所表示曲面称为二次曲面。目标：利用截痕法讨论二次曲面形状。即：用坐标面和平行于坐标面平面与曲面相截，考查其交线（即截痕）形状，然后加以综合，从而了解曲面全貌。（一）椭球面3/23/20253第3页椭球面几个特殊情况：旋转椭球面由椭圆或绕z轴旋转而成。球面方程可写为3/23/20254第4页（二）抛物面（p与q同号）（1）椭圆抛物面用截痕法讨论：（1）用坐标面xoy(z=0)去截；设p与q都大于零。（2）用平面去截；（3）用坐标面xoz或yoz去截；（4）用平面去截；yoxz3/23/20255第5页zxyo椭圆抛物面图形以下：xyzo特殊地：当p=q时，方程变为旋转抛物面3/23/20256第6页（2）双曲抛物面（马鞍面）(p与q同号)用截痕法讨论：设xzyo3/23/20257第7页（三）双曲面单叶双曲面xyoz（1）zoxy.3/23/20258第8页双叶双曲面xyo（2）xoyz3/23/20259第9页空间曲线普通方程空间曲线C可看作空间两曲面交线：注意：空间曲线曲线方程不是唯一。一、空间曲线普通方程第四节空间曲线及其方程C3/23/202510第10页例1以下方程组表示怎样曲线？3/23/202511第11页例2方程组表示怎样曲线？解上半球面,圆柱面,交线如图。3/23/202512第12页空间曲线参数方程二、空间曲线参数方程（2）消去参数t，可得到两个柱面方程，所以空间曲线参数方程也可视为两张柱面交线。注：（1）伴随参数t改变可得到曲线上全部点(x,y,z)。例3设空间一动点M在圆柱面上以角速度ω绕z轴旋转，同时又以线速度沿平行于z轴正方向上升，试求该动点M运动轨迹方程。3/23/202513第13页螺旋线参数方程取时间t为参数，动点M从A(a,0,0)点出发解经过t时间，运动到M(x,y,z)处在圆上，所以3/23/202514第14页螺旋线参数方程还能够写为螺旋线主要性质：上升高度与转过角度成正比，即上升高度螺距Pyz0xatMNQ螺距3/23/202515第15页三、空间曲线在坐标面上投影1.空间曲线C投影曲线与投影柱面CSC’xyozC’称为曲线C在xoy平面上投影曲线。S称为曲线C关于xoy平面投影柱面2.空间曲线C投影曲线与投影柱面方程设空间曲线C普通方程：3/23/202516第16页消去z得：表示：以曲线C(或C’)为准线，母线平行于z轴柱面——曲线C关于xoy平面投影柱面。表示：曲线C投影柱面与xoy平面交线——曲线C在xoy平面上投影曲线。类似地：可定义空间曲线在其它坐标面上投影面上投影曲线面上投影曲线3/23/202517第17页如图:投影曲线研究过程空间曲线投影曲线投影柱面3/23/202518第18页例4求曲线在坐标面上投影。解（1）消去变量z后得在面上投影为3/23/202519第19页所以在xoz面上投影为线段:（3）同理在yoz面上投影也为线段:（2）因为曲线在平面上，3/23/202520第20页截线方程为解xyz3/23/202521第21页补充:空间立体或曲面在坐标面上投影.空间立体曲面3/23/202522第22页例6设一个立体由上半球面和锥面解半球面和锥面交线为所围成，求它在xoy平面上投影。3/23/202523第23页思索题求椭圆抛物面与抛物柱面交线关于xoy平面投影柱面和在xoy平面上投影曲线方程。解交线方程为在xoy面上投影为3/23/2