专题提升一　静电力作用下的平衡与加速问题-物理人教版必修第三册

专题提升一静电力作用下的平衡与加速问题学习目标1.会进行静电力作用下物体的受力分析。2.能够应用平衡条件解决库仑力作用下的平衡问题。3.会应用牛顿运动定律结合库仑定律解决带电体的加速运动问题。提升1同一直线上三个点电荷的平衡问题1.平衡条件：每个点电荷受到的两个库仑力必须大小相等，方向相反。2.只要其中两个点电荷平衡，第三个点电荷一定平衡，只需根据平衡条件对其中的两个点电荷列式即可。例1如图所示，带电荷量分别为＋q和＋4q的两点电荷A、B，相距L，问：(1)若A、B固定，在何处放置点电荷C，才能使C处于平衡状态？(2)在(1)中的情形下，C的电荷量和电性对C的平衡有影响吗？(3)若A、B不固定，在何处放一个什么性质的点电荷，才可以使三个点电荷都处于平衡状态？答案见解析解析(1)由平衡条件，对C进行受力分析，C应在AB的连线上且在A、B之间，设与A相距r，则keq\f(qqC,r2)＝keq\f(4qqC,（L－r）2)解得r＝eq\f(L,3)。(2)C电荷的电荷量的大小和电性对平衡无影响。(3)设放置的点电荷的电荷量为Q，分别对A、B受力分析，根据平衡条件，对电荷A：keq\f(4qq,L2)＝keq\f(Qq,r2)对电荷B：keq\f(4qq,L2)＝keq\f(Q·4q,（L－r）2)联立可得r＝eq\f(L,3)，Q＝eq\f(4,9)q(负电荷)即应在AB连线上且在A、B之间，距A点电荷eq\f(L,3)处放置一个电荷量为eq\f(4,9)q的负电荷。同一直线上三个点电荷的平衡规律“两同夹异”——正、负电荷相互间隔；“两大夹小”——中间电荷的电荷量最小；“近小远大”——中间电荷靠近电荷量较小的电荷。训练1如图所示，光滑绝缘的水平地面上有相距为L的点电荷A、B，带电荷量分别为－4Q和＋Q，今引入第三个点电荷C，使三个点电荷都处于平衡状态，则C的电荷量和放置的位置是()A.－Q在A左侧距A为L处B.－2Q在A左侧距A为eq\f(L,2)处C.－4Q在B右侧距B为L处D.＋2Q在A右侧距A为eq\f(3L,2)处答案C解析要使三个点电荷处于平衡状态，可知C应放在B的右侧，且与A电性相同带负电，对电荷B，由FAB＝FCB得keq\f(4Q2,L2)＝keq\f(QCQ,req\o\al(2,BC))；对电荷C，由FAC＝FBC得keq\f(4QQC,（rBC＋L）2)＝keq\f(QQC,req\o\al(2,BC))，解得rBC＝L，QC＝4Q，故选项C正确。提升2非共线力作用下带电体的平衡分析静电力作用下点电荷的平衡问题时，方法仍然与力学中分析物体的平衡方法一样，具体步骤如下：例2如图所示，A、B是两个带等量同种电荷的小球，A固定在竖直固定的10cm长的绝缘支杆上，B静止于光滑绝缘的倾角为30°的斜面上且恰与A等高，若B的质量为30eq\r(3)g，则B带电荷量是多少？(取g＝10m/s2，小球A、B视为点电荷，k＝9.0×109N·m2/C2)答案1.0×10－6C解析因为B静止于光滑绝缘的倾角为30°的斜面上且恰与A等高，设A、B之间的水平距离为L，依据题意可得tan30°＝eq\f(h,L)则L＝eq\f(h,tan30°)＝10eq\r(3)cm对B进行受力分析如图所示，依据共点力平衡条件，解得静电力F＝mgtan30°＝30eq\r(3)×10－3×10×eq\f(\r(3),3)N＝0.3NA、B带等量同种电荷，设电荷量为q，依据F＝keq\f(q1q2,r2)有F＝keq\f(q2,L2)q＝eq\r(\f(FL2,k))＝eq\r(\f(0.3,9×109)×（10\r(3)×10－2）2)C＝1.0×10－6C。训练2如图，绝缘光滑圆环竖直放置，a、b、c为三个套在圆环上可自由滑动的空心带电小球，已知小球c位于圆环最高点，a、c连线与竖直方向成60°角，b、c连线与竖直方向成30°角，三个小球均处于静止状态。下列说法正确的是()A.a、b、c小球带同种电荷B.a、b小球带异种电荷，b、c小球带同种电荷C.a、b小球电荷量之比为eq\f(\r(3),6)D.a、b小球电荷量之比为eq\f(\r(3),9)答案D解析a受到重力、环的支持力以及b、c对a的库仑力，重力的方向在竖直方向上，环的支持力以及b对a的库仑力均沿圆环直径方向，故c对a的库仑力为引力，同理可知，c对b的库仑力也为引力，所以a与c的电性一定相反，a与b的电性一定相同，即a、b小球带同种电荷，b、c小球带异种电荷，故A、B错误；对c小球受力分析，将力沿水平方向和竖直方向正交分解后可得keq\f(qaqc,req\o\al(2,ac))sin60°＝keq\f(qbqc,req\o\al(2,bc))sin30°，又rac∶rbc＝1∶eq\r(3)，解得qa∶qb＝eq\r(3)∶9，故C错误，D正确。提升3静电力作用下的动力学问题静电力作用下的动力学问题可以归纳为“电学问题、力学方法”。遵循力学规律和力的运算法则。在分析具体问题时应注意：(1)受力分析：除分析重力、弹力、摩擦力等之外，还要分析静电力的作用。(2)状态分析：通过分析确定带电体运动状态。(3)根据问题情境和提供的条件选取适当的物理规律列方程求解。例3如图所示，带电小球A和B放在倾角为30°的光滑绝缘斜面上，质量均为m，所带电荷量分别为＋q和－q，沿斜面向上的恒力F作用于A球，可使A、B保持间距r不变沿斜面向上加速运动，已知重力加速度为g，静电力常量为k，求：(1)加速度a的大小；(2)F的大小。答案(1)eq\f(kq2,mr2)－eq\f(1,2)g(2)eq\f(2kq2,r2)解析(1)根据库仑定律，两球相互吸引的库仑力为F库＝keq\f(q2,r2)隔离B球，由牛顿第二定律有F库－mgsin30°＝ma联立解得加速度大小为a＝eq\f(kq2,mr2)－eq\f(1,2)g。(2)把A球和B球看成整体，由牛顿第二定律有F－2mgsin30°＝2ma，解得F＝eq\f(2kq2,r2)。训练3(2023·广州大学附属中学月考)如图所示，在A点固定一正电荷，电荷量为Q，在A正上方高度为H的C处由静止释放某带同种电荷的液珠，其开始运动的瞬间加速度大小恰好为重力加速度g。已知静电力常量为k，两电荷均可看成点电荷，不计空气阻力。(1)求液珠的比荷；(2)求液珠速度最大时离A点的距离h。答案(1)eq\f(2gH2,kQ)(2)eq\r(2)H解析(1)设液珠的电荷量为q，质量为m，释放瞬间有keq\f(Qq,H2)－mg＝ma由题意可知，a＝g解得液珠的比荷为eq\f(q,m)＝eq\f(2gH2,kQ)。(2)当液珠速度最大时，库仑力与重力大小相等，有keq\f(Qq,h2)＝mg，解得h＝eq\r(2)H。当题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼时，表明题述的过程存在着极值。这个极值点往往又是临界点，当物体做加速度减小的变加速运动时，速度达到最大时加速度为零，此时物体所受的合外力为零。随堂对点自测1.(同一直线上三个点电荷的平衡问题)如图所示，水平天花板下用长度相同的绝缘细线悬挂起来的两个相同的带电轻质小球a、b，左边放一个带正电的固定球，电荷量为＋Q，两悬球都保持竖直方向。下面说法中正确的是()A.a球带正电，b球带正电，并且a球带电荷量较大B.a球带负电，b球带正电，并且a球带电荷量较小C.a球带负电，b球带正电，并且a球带电荷量较大D.a球带正电，b球带负电，并且a球带电荷量较小答案B解析要使a、b平衡，必须有a带负电，b带正电，且a球电荷量较小，故B正确。2.(非共线力作用下的平衡问题)(多选)两个大小相同的小球带有同种电荷，质量分别为m1和m2，带电荷量分别为q1和q2，用绝缘细线悬挂后，因静电力而使两悬线张开，分别与重垂线方向成夹角α1和α2，且两球静止时同处一水平线上，若α1＝α2，则下述结论正确的是()A.q1不一定等于q2B.一定满足eq\f(q1,m1)＝eq\f(q2,m2)C.m1一定等于m2D.必然同时满足q1＝q2，m1＝m2答案AC解析题中小球带的电荷量可能不同，也可能相同，但各自所受的库仑力大小却相同，方向相反。由于它们与竖直线所成的角度相等，且两球同处一水平线上，所以根据共点力平衡条件可知，F库＝m1gtanα1＝m2gtanα2，它们的质量一定相等，故A、C正确，B、D错误。3.(静电力作用下的动力学问题)如图所示，光滑绝缘的水平面上的P点固定一个带正电的点电荷，在它的右侧N点由静止开始释放一个也带正电的小球(可视为质点)，以向右为正方向，下列选项中能反映小球运动速度随时间变化规律的是()答案B解析N点的小球由静止释放后，受到向右的库仑力作用，开始向右运动，根据库仑定律F＝keq\f(q1q2,r2)可知，随着两者之间距离的增大，小球受到的库仑力在减小，根据牛顿第二定律a＝eq\f(F,m)知，小球的加速度减小，在v－t图像中的斜率减小，故选项B正确。对点题组练题组一同一直线上点电荷的平衡问题1.如图所示，a、b、c为真空中三个带电小球，b小球带电荷量为＋Q，用绝缘支架固定，a、c两小球用绝缘细线悬挂，处于平衡状态时三小球球心等高，且a、b和b、c间距离相等，悬挂a小球的细线向左倾斜，悬挂c小球的细线竖直，则下列判断正确的是()A.a、b、c三小球带同种电荷B.a、c两小球带异种电荷C.a小球带电荷量为－4QD.c小球带电荷量为＋4Q答案C解析根据力的平衡条件可知，因b球带正电，要使a、c两球平衡，所以a、c两球一定带负电，故A、B、D错误；对c小球进行分析，a、c间的距离是b、c间的两倍，由库仑定律，则有keq\f(QQc,r2)＝eq\f(kQaQc,4r2)，解得Qa＝4Q，即a小球带电荷量为－4Q，故C正确。2.如图所示，两个点电荷的电荷量分别为q1＝4×10－9C和q2＝－9×10－9C，分别固定于光滑绝缘水平面上相距20cm的a、b两点，有一个点电荷c(不计重力)放在a、b所在直线上且静止不动，则该电荷所处的位置是()A.在a点左侧40cm处B.在a点右侧8cm处C.在b点右侧20cm处D.无法确定答案A解析根据平衡条件，该点电荷应在a点的左侧，设它所带电荷量为q，距a点的距离为x，则keq\f(q1q,x2)＝keq\f(|q2|q,（x＋rab）2)，代入数据解得x＝40cm，故选项A正确。3.如图所示，点电荷q1、q2、q3固定在一条直线上，q2与q3的距离是q1与q2距离的2倍，每个电荷所受静电力的合力均为0，由此可以判定，三个电荷的电荷量之比q1∶q2∶q3为()A.(－9)∶4∶(－36) B.9∶4∶36C.(－3)∶2∶(－6) D.3∶2∶6答案A解析根据“两同夹异，两大夹小”知，B、D错误；由于三个电荷均处于平衡状态，所以对q1有：keq\f(|q1q2|,leq\o\al(2,1))＝keq\f(|q1q3|,（l1＋l2）2)，对q2有：keq\f(|q1q2|,leq\o\al(2,1))＝keq\f(|q2q3|,l22)，对q3有：keq\f(|q1q3|,（l1＋l2）2)＝keq\f(|q2q3|,leq\o\al(2,2))，又l2＝2l1，联立解得|q1|∶|q2|∶|q3|＝9∶4∶36，由于q1、q3是同种电荷，q1、q2是异种电荷，即q1∶q2∶q3＝(－9)∶4∶(－36)，故A正确，C错误。4.如图所示，将带电荷量为q的小球A固定在绝缘支架上，将另一质量为m、与小球A电荷量相等的带电小球B放在距离A球正上方r处恰好处于平衡状态(r远大于小球直径)，重力加速度为g，则()A.A、B两球可能带异种电荷B.两小球的电荷量q＝eq\r(\f(mgr2,k))C.如果小球B的质量变为2m，则A、B两球平衡时的距离为2rD.如果小球B的电荷量变为2q，则A、B两球平衡时的距离为2r答案B解析带电小球B处于平衡状态，因此A对B的库仑力与B的重力平衡，两球应该带同种电荷，选项A错误；由keq\f(q2,r2)＝mg得q＝eq\r(\f(mgr2,k))，选项B正确；如果小球B的质量变为2m，则A、B两球平衡时的距离为eq\f(\r(2),2)r，选项C错误；如果小球B的电荷量变为2q，则A、B两球平衡时的距离为eq\r(2)r，选项D错误。题组二非共线力作用下带电体的平衡5.一端固定在天花板上的绝缘细线的另一端与一带正电的小球M相连接，在小球M下面的一绝缘水平面上固定了另一个带电小球N，在图中，小球M能处于静止状态的是()答案B解析根据电荷间的相互作用和平衡条件分析，只有B项中小球M能处于静止状态，故B正确。6.如图所示，质量为m的带电小球用绝缘丝线悬挂于P点，另一带正电小球M固定在带电小球的左侧，小球平衡时，绝缘丝线与竖直方向夹角为θ，且两球球心在同一水平线上。关于悬挂小球的电性和所受库仑力的大小，下列判断正确的是(重力加速度为g)()A.正电，eq\f(mg,tanθ) B.正电，mgtanθC.负电，mgtanθ D.负电，eq\f(mg,tanθ)答案B解析以悬挂小球为研究对象进行受力分析，若使悬挂小球处于平衡状态，则M对悬挂小球的库仑力应水平向右，则悬挂小球应带正电；悬挂小球的受力分析图如图所示，根据平衡条件可知，在水平方向有F＝FTsinθ，在竖直方向有FTcosθ＝mg，解得F＝mgtanθ，则小球所受库仑力大小为mgtanθ，故选项B正确。7.竖直绝缘墙壁上有一个固定的质点A，在A的正上方的P点用丝线悬挂另一质点B，A、B两质点因为带电而相互排斥，致使悬线与竖直方向成θ角，如图所示，现增大A的电荷量，当B再次平衡后，关于丝线对悬点P的拉力大小说法正确的是()A.减小 B.不变C.增大 D.不能确定答案B解析以质点B为研究对象，质点B受到重力G，A的斥力F和丝线的拉力T三个力作用，作出受力图，如图所示。作出F、T的合力F′，则由平衡条件得F′＝G，根据三角形相似得eq\f(F′,PA)＝eq\f(T,PB)，得T＝eq\f(PB,PA)G，增大A的电荷量，PB、PA、G均不变，则丝线的拉力T的大小不变，故B正确。题组三静电力作用下的动力学问题8.如图所示，在绝缘光滑水平面上，相隔一定距离有两个带同种电荷的小球，同时从静止释放，则两个小球的加速度大小和速度大小随时间变化的情况是()A.速度变大，加速度变大 B.速度变小，加速度变小C.速度变大，加速度变小 D.速度变小，加速度变大答案C解析因电荷间的静电力与电荷的运动方向相同，故电荷将一直做加速运动，又由于两电荷间距离增大，它们之间的静电力越来越小，加速度越来越小，故C正确。综合提升练9.(2023·江苏南通市高一期中)如图所示，a、b是两个带有同种电荷的小球，用绝缘丝线悬挂于同一点，两球静止时处于同一水平高度，丝线与竖直方向间的夹角分别为α、β，且β>α，则()A.a球的质量一定比b球的大B.a球的电荷量一定比b球的大C.a球受到的库仑力比b球的小D.丝线对a球的拉力比对b球的小答案A解析小球a受力图如图，根据受力分析可知eq\f(F库,mag)＝tanα，同理可得eq\f(F库,mbg)＝tanβ，其中F库＝keq\f(qaqb,r2)，由牛顿第三定律可知两球之间的库仑力大小相等，但是无法判断两球电荷量之间的关系，所以B、C错误；由于β>α，则ma>mb，所以A正确；由于eq\f(F库,FTa)＝sinα，eq\f(F库,FTb)＝sinβ，则FTa>FTb，所以D错误。10.如图所示，V形绝缘斜面M、N固定在水平面上，两斜面与水平面间的夹角均为α＝60°，其中斜面N光滑。两个质量相同的带电小滑块P、Q分别静止在M、N上，P、Q连线垂直于斜面M，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法正确的是()A.两小滑块所带电荷为异种电荷B.两小滑块间的库仑力大小等于小滑块重力的两倍C.P与M间的动摩擦因数至少为eq\f(\r(3),6)D.P与M间的动摩擦因数至少为eq\f(\r(3),3)答案D解析滑块Q在光滑斜面N上静止，由平衡条件知Q所受库仑力方向斜向右上方，P、Q相互排斥，则P与Q带同种电荷，A错误；设两者之间的库仑力大小为F，两滑块的受力分析和角度关系如图所示，对滑块Q在沿着斜面N方向有mgcos30°＝Fcos30°，可得F＝mg，B错误；对滑块P，静止时的摩擦力恰好为最大静摩擦力，此时动摩擦因数最小，由平衡条件有FN2＝F＋mgsin30°，Ff＝mgcos30°，又Ff＝μFN2，联立解得μ＝eq\f(\r(3),3)，C错误，D正确。11.如图所示，把一电荷量为Q＝－5×10－8C的小球A用绝缘细绳悬起来，若将电荷量为q＝＋4×10－6C的带电小球B靠近A，当两个带电小球在同一高度相距r＝0.3m时，绳与竖直方向夹角α＝45°，取g＝10m/s2，k＝9.0×109N·m2/C2，且A、B两小球均可看成点电荷，求：(1)A、B两球间的库仑力大小；(2)A球的质量。答案(1)0.02N(2)2×10－3kg解析(1)由库仑定律得F库＝keq\f(Qq,r2)＝9.0×109×eq\f(5×10－8×4×10－6,0.32)N＝0.02N。(2)对A受力分析如图所示根据平衡条件得FTcosα＝mg，FTsinα＝F库代入数据可得m＝eq\f(F库,gtanα)＝eq\f(0.02,10×1)kg＝2×10－3kg。12.如图所示，在光滑绝缘的水平面上沿一直线等距离排列三个小球A、B、C，三球质量均为m，A与B、B与C相距均为L(L比球半径r大得多)。若小球均带电，且qA＝＋10q，qB＝＋q，为保证三球间距不发生变化，将一水平向右的恒力F作用于C球，使三者一起向右匀加速运动。求：(1)F的大小；