直接证明和间接证明教案

直接证明和间接证明教案一、教学目标1.知识与技能目标学生能理解直接证明（综合法、分析法）和间接证明（反证法）的概念及证明思路。熟练掌握综合法、分析法、反证法的证明步骤，并能运用它们证明一些简单的数学命题。2.过程与方法目标通过对典型案例的分析，培养学生观察、分析、归纳、推理的能力，体会数学证明的严谨性和逻辑性。让学生经历从具体问题出发，探索证明方法，再到用规范格式进行证明的过程，提高学生的推理论证能力。3.情感态度与价值观目标通过数学证明的学习，培养学生勇于探索、敢于创新的精神，激发学生学习数学的兴趣。使学生体会数学的理性之美，感受数学在生活中的广泛应用，增强学生学习数学的自信心。

二、教学重难点1.教学重点综合法、分析法、反证法的证明原理和证明步骤。运用综合法、分析法、反证法证明数学命题。2.教学难点理解综合法、分析法、反证法的证明思路，选择合适的证明方法解决问题。分析法证明过程中如何正确地寻找使结论成立的充分条件。

三、教学方法讲授法、讨论法、练习法相结合

四、教学过程

第一课时：综合法1.导入通过回顾三角形面积公式的推导过程，引导学生思考如何从已知条件出发，逐步推导出结论，从而引出综合法的概念。2.综合法的概念教师讲解：综合法是从已知条件出发，利用定义、公理、定理等，经过一系列的推理、论证，最后推出所要证明的结论成立的证明方法。用符号表示为：$P\RightarrowQ_1$，$Q_1\RightarrowQ_2$，$Q_2\RightarrowQ_3$，$\cdots$，$Q_n\RightarrowQ$，其中$P$表示已知条件，$Q$表示要证明的结论。3.例题讲解例1：已知$a,b,c\inR^+$，且$a+b+c=1$，求证：$a^2+b^2+c^2\geq\frac{1}{3}$。分析：从已知条件$a+b+c=1$出发，利用完全平方公式进行变形，逐步推导出$a^2+b^2+c^2\geq\frac{1}{3}$。证明：因为$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=1$。又因为$ab+bc+ca\leqa^2+b^2+c^2$（当且仅当$a=b=c$时等号成立）。所以$1=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)\leq3(a^2+b^2+c^2)$。则$a^2+b^2+c^2\geq\frac{1}{3}$。例2：在$\triangleABC$中，三个内角$A,B,C$的对边分别为$a,b,c$，且$A,B,C$成等差数列，$a,b,c$成等比数列，求证：$\triangleABC$为等边三角形。分析：根据已知条件，利用等差数列和等比数列的性质，结合余弦定理进行推理。证明：因为$A,B,C$成等差数列，所以$2B=A+C$。又因为$A+B+C=\pi$，所以$B=\frac{\pi}{3}$。因为$a,b,c$成等比数列，所以$b^2=ac$。由余弦定理得$b^2=a^2+c^22ac\cosB=a^2+c^2ac$。把$b^2=ac$代入上式得$ac=a^2+c^2ac$，即$(ac)^2=0$，所以$a=c$。又因为$B=\frac{\pi}{3}$，所以$\triangleABC$为等边三角形。4.课堂练习已知$a,b\inR$，且$a+b=1$，求证：$a^3+b^3\geq\frac{1}{4}$。在$\triangleABC$中，已知$\sinA\sinB+\sinA\sinC+\cos2A=1$，求证：$\triangleABC$是等腰三角形。5.课堂小结综合法的证明思路是"由因导果"，从已知条件出发，逐步推导出结论。证明过程中要注意运用已知的定义、公理、定理等，以及一些基本的代数变形和逻辑推理。强调书写证明过程时要条理清晰，逻辑严谨。

第二课时：分析法1.导入提出问题：如何证明$\sqrt{3}+\sqrt{7}<2\sqrt{5}$？引导学生思考从结论出发，逐步寻找使结论成立的条件，从而引出分析法。2.分析法的概念教师讲解：分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止的证明方法。用符号表示为：$Q\LeftarrowP_1$，$P_1\LeftarrowP_2$，$P_2\LeftarrowP_3$，$\cdots$，$P_n\LeftarrowP$，其中$Q$表示要证明的结论，$P$表示已知条件。3.例题讲解例1：已知$a>0,b>0$，求证：$\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}$。分析：从结论$\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}$出发，逐步寻找使它成立的充分条件。证明：要证$\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}$，只要证$a+b\geq2\sqrt{ab}$。只要证$a+b2\sqrt{ab}\geq0$，即证$(\sqrt{a}\sqrt{b})^2\geq0$。因为$(\sqrt{a}\sqrt{b})^2\geq0$显然成立，所以$\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}$。例2：求证：$\sqrt{6}+\sqrt{7}>2\sqrt{2}+\sqrt{5}$。分析：通过分析法将不等式两边平方，逐步化简找到使结论成立的条件。证明：要证$\sqrt{6}+\sqrt{7}>2\sqrt{2}+\sqrt{5}$，只要证$(\sqrt{6}+\sqrt{7})^2>(2\sqrt{2}+\sqrt{5})^2$。即证$6+7+2\sqrt{42}>8+5+4\sqrt{10}$。即证$2\sqrt{42}>4\sqrt{10}$，即证$\sqrt{42}>2\sqrt{10}$。只要证$42>40$，显然成立，所以$\sqrt{6}+\sqrt{7}>2\sqrt{2}+\sqrt{5}$。4.课堂练习已知$a,b,c\inR^+$，求证：$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\geq\frac{3}{2}$。求证：$\sqrt{2}+\sqrt{10}<2\sqrt{6}$。5.课堂小结分析法的证明思路是"执果索因"，从结论出发，逐步寻找使结论成立的充分条件。证明过程中要注意每一步推理的依据，确保得到的条件是充分的。分析法和综合法是两种不同的证明方法，但在实际证明中可以相互结合使用。

第三课时：综合法与分析法的综合应用1.导入通过回顾综合法和分析法的概念及特点，提出问题：在实际证明中，如何根据问题的特点选择合适的证明方法？或者如何将两种方法结合起来使用？从而引出本节课的主题。2.例题讲解例1：已知$a,b,c$是不全相等的正数，求证：$a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2)>6abc$。分析：可先用分析法从结论出发，逐步寻找使结论成立的条件，再用综合法进行证明。证明：要证$a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2)>6abc$，只要证$b^2+c^2\geq2bc$，$c^2+a^2\geq2ca$，$a^2+b^2\geq2ab$同时成立。因为$b^2+c^2\geq2bc$，$c^2+a^2\geq2ca$，$a^2+b^2\geq2ab$（当且仅当$a=b=c$时等号不成立）。又因为$a,b,c$是不全相等的正数，所以上述三个不等式不能同时取等号。由综合法得：$a(b^2+c^2)\geq2abc$，$b(c^2+a^2)\geq2abc$，$c(a^2+b^2)\geq2abc$。三式相加得$a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2)>6abc$。例2：设$a,b,c$为一个三角形的三边，$s=\frac{1}{2}(a+b+c)$，且$s^2=2ab$，求证：$s<2a$。分析：先用分析法从结论$s<2a$出发，逐步转化为已知条件，再用综合法进行证明。证明：要证$s<2a$，只要证$\frac{1}{2}(a+b+c)<2a$，即证$b+c<3a$。因为$s^2=2ab$，即$(\frac{1}{2}(a+b+c))^2=2ab$，展开得$a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=8ab$。即$b^2+c^22ab+2bc+2ca=0$，即$(b+c)^22ab+2bc+2ca=0$。要证$b+c<3a$，只要证$(b+c)^2<9a^2$，即证$(b+c)^29a^2<0$。把$(b+c)^22ab+2bc+2ca=0$变形为$(b+c)^2=2ab2bc2ca$。则只要证$2ab2bc2ca9a^2<0$，即证$2a(bc\frac{9}{2}a)<0$。因为$b+c>a$，所以$bc\frac{9}{2}a<0$，$2a>0$，所以$2a(bc\frac{9}{2}a)<0$成立。由综合法得：因为$b+c>a$，所以$b+c<3a$，即$\frac{1}{2}(a+b+c)<2a$，所以$s<2a$。3.课堂练习已知$a,b,c\inR^+$，且$a+b+c=1$，求证：$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\leq\sqrt{3}$。已知$a,b,c$是正实数，且$ab+bc+ca=1$，求证：$a+b+c\geq\sqrt{3}$。4.课堂小结综合法和分析法各有特点，在证明问题时，应根据具体情况选择合适的证明方法，有时也可将两种方法结合使用。选择证明方法的关键是分析问题的已知条件和结论之间的关系，找到合适的推理途径。强调在证明过程中要注意逻辑的严密性和推理的合理性。

第四课时：反证法1.导入通过讲述"道旁苦李"的故事，引导学生思考王戎是如何得出"树在道边而多子，此必苦李"的结论的，从而引出反证法的概念。2.反证法的概念教师讲解：反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法的步骤：（1）反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。（2）归谬：从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果。（3）存真：由矛盾结果，断定反设不成立，从而肯定原结论成立。3.例题讲解例1：已知$a,b,c\in(0,1)$，求证：$(1a)b,(1b)c,(1c)a$不能都大于$\frac{1}{4}$。分析：假设$(1a)b,(1b)c,(1c)a$都大于$\frac{1}{4}$，然后推出矛盾。证明：假设$(1a)b,(1b)c,(1c)a$都大于$\frac{1}{4}$。因为$a,b,c\in(0,1)$，所以$1a>0$，$1b>0$，$1c>0$。则$\frac{(1a)+b}{2}\geq\sqrt{(1a)b}>\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$。同理，$\frac{(1b)+c}{2}>\frac{1}{2}$，$\frac{(1c)+a}{2}>\frac{1}{2}$。三式相加得：$\frac{(1a)+b}{2}+\frac{(1b)+c}{2}+\frac{(1c)+a}{2}>\frac{3}{2}$。即$\frac{3}{2}>\frac{3}{2}$，矛盾。所以$(1a)b,(1b)c,(1c)a$不能都大于$\frac{1}{4}$。例2：求证：$\sqrt{2}$是无理数。分析：假设$\sqrt{2}$是有理数，然后推出矛盾。证明：假设$\sqrt{2}$是有理数，则可设$\sqrt{2}=\frac{p}{q}$（$p,q$为互质的正整数）。两边平方得$2=\frac{p^2}{q^2}$，即$p^2=2q^2$。所以$p^2$是偶数，