用导数求切线方程 教案

用导数求切线方程教案一、教学目标1.知识与技能目标理解导数的几何意义，能根据导数的定义求函数在某点处的切线斜率。掌握利用导数求曲线在某点处切线方程的一般方法，能够准确地求出切线方程。能够运用切线方程解决一些与曲线切线相关的实际问题，如求切线的倾斜角、判断切线与其他直线的位置关系等。2.过程与方法目标通过对导数几何意义的探究，培养学生观察、分析、归纳和概括的能力，体会从特殊到一般的数学思维方法。在利用导数求切线方程的过程中，让学生经历求导、代入计算、确定切线方程等步骤，提高学生的运算能力和逻辑推理能力。通过解决实际问题，使学生学会将数学知识应用于实际，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。3.情感态度与价值观目标通过导数几何意义的探究，激发学生对数学的好奇心和求知欲，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。在教学过程中，让学生体验数学的严谨性和科学性，感受数学的美感，增强学生学习数学的兴趣和自信心。

二、教学重难点1.教学重点理解导数的几何意义，掌握利用导数求曲线在某点处切线方程的方法。能够准确地求出函数在某点处的导数，并代入切线方程的公式进行计算。2.教学难点对导数几何意义的理解，尤其是当函数在某点处不可导时，切线的情况。如何引导学生将实际问题转化为数学问题，利用导数求切线方程来解决实际问题。

三、教学方法1.讲授法：讲解导数的几何意义、切线方程的概念和求法等重要知识点，使学生系统地掌握本节课的基础知识。2.探究法：通过创设问题情境，引导学生探究导数的几何意义，让学生在探究过程中体会数学知识的形成过程，培养学生的探究能力和创新思维。3.练习法：安排适量的课堂练习和课后作业，让学生通过练习巩固所学知识，提高运用导数求切线方程的能力。

四、教学过程

（一）导入新课（5分钟）1.展示问题同学们，我们在初中已经学习过圆的切线，那么什么是圆的切线呢？对于一般的曲线，我们如何定义它在某点处的切线呢？2.引导思考让学生回忆圆的切线的定义：直线与圆只有一个公共点时，称这条直线为圆的切线。提出问题：对于一般的曲线，能否用类似的方法定义切线呢？引导学生思考：当直线与曲线有一个公共点时，直线不一定是曲线的切线；当直线与曲线有两个公共点时，直线也不一定不是曲线的切线。那么，如何准确地定义曲线在某点处的切线呢？3.引入课题通过以上问题的引导，引出本节课的课题用导数求切线方程。

（二）讲授新课（25分钟）1.导数的几何意义切线的逼近以函数\(y=x^2\)为例，在平面直角坐标系中画出函数的图象。取点\(P(1,1)\)，过点\(P\)作曲线的割线\(PQ\)，其中\(Q\)为曲线上异于\(P\)的点。当点\(Q\)沿着曲线逐渐靠近点\(P\)时，观察割线\(PQ\)的变化情况。让学生计算不同位置的割线\(PQ\)的斜率\(k_{PQ}\)，并填写如下表格：

|\(Q\)点坐标|割线\(PQ\)斜率\(k_{PQ}\)||::|::||\((1.1,1.21)\)|||\((1.01,1.0201)\)|||\((1.001,1.002001)\)||计算可得：当\(Q(1.1,1.21)\)时，\(k_{PQ}=\frac{1.211}{1.11}=2.1\)；当\(Q(1.01,1.0201)\)时，\(k_{PQ}=\frac{1.02011}{1.011}=2.01\)；当\(Q(1.001,1.002001)\)时，\(k_{PQ}=\frac{1.0020011}{1.0011}=2.001\)。引导学生观察表格中的数据，发现当点\(Q\)无限靠近点\(P\)时，割线\(PQ\)的斜率无限趋近于\(2\)。切线斜率的定义给出导数的几何意义：函数\(y=f(x)\)在点\(x_0\)处的导数\(f^\prime(x_0)\)就是曲线\(y=f(x)\)在点\(P(x_0,f(x_0))\)处的切线的斜率，即\(k=f^\prime(x_0)=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{\Deltay}{\Deltax}=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{f(x_0+\Deltax)f(x_0)}{\Deltax}\)。强调：切线斜率是割线斜率的极限值，它反映了曲线在某点处的变化率。2.切线方程的求法步骤已知函数\(y=f(x)\)，求曲线在点\(P(x_0,f(x_0))\)处的切线方程。第一步：求函数\(y=f(x)\)在点\(x_0\)处的导数\(f^\prime(x_0)\)，得到切线的斜率\(k\)。第二步：根据点斜式方程\(yy_0=k(xx_0)\)，其中\((x_0,y_0)=(x_0,f(x_0))\)，\(k=f^\prime(x_0)\)，写出切线方程。例题讲解例1：求曲线\(y=x^2\)在点\((1,1)\)处的切线方程。解：首先求函数\(y=x^2\)的导数\(y^\prime=2x\)。然后将\(x=1\)代入导数\(y^\prime\)中，得到切线的斜率\(k=y^\prime|_{x=1}=2\times1=2\)。最后根据点斜式方程，切线方程为\(y1=2(x1)\)，整理得\(2xy1=0\)。例2：已知函数\(y=\frac{1}{x}\)，求曲线在点\((1,1)\)处的切线方程。解：先对\(y=\frac{1}{x}=x^{1}\)求导，根据求导公式\((x^n)^\prime=nx^{n1}\)，可得\(y^\prime=x^{2}=\frac{1}{x^2}\)。把\(x=1\)代入导数\(y^\prime\)，得到切线斜率\(k=y^\prime|_{x=1}=\frac{1}{1^2}=1\)。由点斜式方程可得切线方程为\(y1=1\times(x1)\)，即\(x+y2=0\)。

（三）课堂练习（15分钟）1.布置练习求曲线\(y=2x^3\)在点\((1,2)\)处的切线方程。已知曲线\(y=\sqrt{x}\)，求曲线在点\((4,2)\)处的切线方程。2.学生练习让学生在练习本上独立完成上述练习，教师巡视指导，及时发现学生存在的问题。3.练习讲解请两位同学上台板演，其他同学认真观看。对于曲线\(y=2x^3\)：先求导，\(y^\prime=6x^2\)。把\(x=1\)代入导数得切线斜率\(k=y^\prime|_{x=1}=6\times1^2=6\)。由点斜式可得切线方程为\(y2=6(x1)\)，整理得\(6xy4=0\)。对于曲线\(y=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\)：求导得\(y^\prime=\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)。当\(x=4\)时，切线斜率\(k=y^\prime|_{x=4}=\frac{1}{2\sqrt{4}}=\frac{1}{4}\)。切线方程为\(y2=\frac{1}{4}(x4)\)，即\(x4y+4=0\)。针对学生在练习中出现的问题进行详细讲解，强调求导公式的正确运用和计算的准确性。

（四）拓展延伸（10分钟）1.切线方程与函数单调性的关系提出问题：观察函数\(y=x^2\)的图象，在点\((1,1)\)处的切线斜率为\(2\)，那么在\(x>1\)和\(x<1\)时，函数的单调性与切线斜率有什么关系呢？引导学生分析：当\(x>1\)时，切线斜率大于\(0\)，函数单调递增。当\(x<1\)时，切线斜率小于\(0\)，函数单调递减。总结归纳：一般地，设函数\(y=f(x)\)在某个区间内可导，如果\(f^\prime(x)>0\)，则\(y=f(x)\)在这个区间内单调递增；如果\(f^\prime(x)<0\)，则\(y=f(x)\)在这个区间内单调递减。2.切线方程在实际问题中的应用例3：已知一个物体的运动方程为\(s(t)=t^3+2t^2\)，求物体在\(t=1\)时的瞬时速度和此时的运动方向。解：首先求速度函数\(v(t)=s^\prime(t)=3t^2+4t\)。把\(t=1\)代入速度函数得\(v(1)=3\times1^2+4\times1=7\)，即物体在\(t=1\)时的瞬时速度为\(7\)。因为\(v(1)=7>0\)，所以物体在\(t=1\)时的运动方向与规定的正方向相同。例4：有一个用铁皮制作的圆柱形罐头盒，其容积为\(V\)，问怎样设计才能使所用的铁皮最省？解：设圆柱底面半径为\(r\)，高为\(h\)，则\(V=\pir^2h\)，所以\(h=\frac{V}{\pir^2}\)。罐头盒的表面积\(S=2\pir^2+2\pirh=2\pir^2+\frac{2V}{r}\)。对\(S\)求导，\(S^\prime=4\pir\frac{2V}{r^2}\)。令\(S^\prime=0\)，即\(4\pir\frac{2V}{r^2}=0\)，解得\(r=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}\)。当\(r=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}\)时，\(S\)取得最小值，此时\(h=\sqrt[3]{\frac{4V}{\pi}}\)。

（五）课堂小结（5分钟）1.引导回顾引导学生回顾本节课所学的主要内容，包括导数的几何意义、切线方程的求法以及切线方程在实际问题中的应用。2.总结归纳总结：导数的几何意义是函数在某点处的导数就是曲线在该点处切线的斜率。求切线方程的步骤为：先求函数的导数，再代入该点的横坐标得到切线斜率，最后利用点斜式写出切线方程。切线方程在研究函数单调性和解决实际问题中有重要应用。3.强调重点强调重点：理解导数的几何意义是关键，准确求导和运用切线方程公式是重点，能够将实际问题转化为数学问题并利用导数求解是难点。

（六）布置作业（5分钟）1.书面作业教材第[X]页练习第[X]题、习题第[X]题。已知曲线\(y=x^33x\)，求曲线在点\((2,2)\)处的切线方程。求曲线\(y=\sinx\)在点\((\frac{\pi}{6},\frac{1}{2})\)处的切线方程。2.拓展作业思考：如果函数在某点处不可导，那么曲线在该点处是否一定没有切线？请举例说明。查阅资料，了解导数在物理学、经济学等领域的其他应用，并撰写一篇简短的报告。

五、教学反思通过本节课的教学，学生对导数的几何意义有了较为深入的理解，掌握了利用导数求切线方程的方法，并能运用切线方程解决一些相关问题。在教学过程中，通过创设问题情境、引导学生探究、例题讲解和课堂练习等环节，培养了学生的观察、分析、归